1、16-1 频率为 的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量Hz41025.，棒的密度 .求该纵波的波长./90.1mNE 3/106.7mKg分析 纵波在固体中传播，波速由弹性模量与密度决定。解：波速 ,波长 /u/u2/0.4E6-2 一横波在沿绳子传播时的波方程为： )(5cos(.0SIxty(1)求波的振幅、波速、频率及波长；(2)求绳上的质点振动时的最大速度；(3)分别画出 t=1s 和 t=2s 的波形，并指出波峰和波谷.画出 x=1.0m 处的质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同.分析 与标准方程比较即可确定其特征参量。解：（1）用比较法，由 得)2cos()5.2cos(
2、04. xtAxty 0.4Am/1Hz2,.ums（2） 314/ms题图 6-2（3）t=1(s)时波形方程为： )5.2cos(04.1xyt=2(s)时波形方程为： 2x=1(m)处的振动方程为： ).cs(.ty6-3 一简谐波沿 x 轴正方向传播，t=T/4 时的波形图如题图 63 所示虚线，若各点的振动以余弦函数表示，且各点的振动初相取值区间为（-，.求各点的初相.2分析 由 t=T/4 时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出 t=0 时的波形图。依旋转矢量法可求 t=0 时的各点的相位。解:由 t=T/4 时的波形图(图中虚线)和波的传播方向,作出t=0 时的波形图(图中实
3、线),依旋转矢量法可知质点 1 的初相为 ; 质点 2 的初相为 /2;质点 3 的初相为 0;质点 4 的初相为-/2.6-4 有一平面谐波在空间传播,如题图 64 所示.已知 A 点的振动规律为，就图中给出的四种坐标,分别写出它们波的表达式.并说明这四个表达)tcos(Ay式中在描写距 A 点为 b 处的质点的振动规律是否一样?分析 无论何种情况，只需求出任意点 x 与已知点的相位差，同时结合相对坐标的传播方向（只考虑相对于坐标方向的正负关系）即可求解波的表达。只要把各种情况中 b 的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得 b 点的振动规律。解: 设其波长为 ,选 o 点处为坐标原点,由方程
4、 )tcos(Ay可得取图中 所示的坐标,则 x 处质点的振动比 A 点滞后 ,故a 2x.cs(2)yAt同理可得 .os()xbtc2lyA.s()xdt要求距 A 为 b 的点的振动规律,只要把各种情况中 b 的坐标值分别代入相应的波动方程就可求得.从结果可知,取不同的坐标只是改变了坐标的原点,波的表达式在形式上有所不同,但b 点的振动方程却不变.即题图 6-3t=T/4题图 6-43cos(2)byAt6-5 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅为 A，频率为 ，波速为 u.设 时刻的波t形曲线如题图 65 所示.求(1)x=0 处质点振动方程；(2)该波的波方程.分析 由于图中是
5、时刻波形图，因此，对 x=0 处质点，由图得出的相位也为 时刻的t t相位。再由旋转矢量推算出 t=0 时刻的初相位。进而写出波动方程。解：(1)设 处质点的振动方程为0x)(2costAy由图可知， 时 ，t 0csysin0A所以 /处的振动方程为：0x21)(costAy(2)该波的表达式为： )/(suxt6-6 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，波的振幅 ，波的角频率 ，当10Acm7/rads时， 处的 质点正通过其平衡位置向 y 轴负方向运动，而 处1.0tscma 20xcm的 质点正通过 点向 y 轴正方向运动.设该波波长 ，求该平面波的波b5.0y10c方程.分析 通过旋转矢
6、量图法，结合 点和 点，在 的运动状态，可10xc2xc.ts得到波长和初相。解：设平面简谐波的波长为 ，坐标原点处质点振动初相为 ，则该列平面简谐波的表达式可写成 )(/27cos(1.0SIxty时 处 1.0tsxm0/1.0因此时 质点向 y 轴负方向运动，故a72(0.1/)()2题图 6-5t4而此时, 质点正通过 处，有bmy05.，且质点 向 y 轴正方向运动，故.)/2(7cos1.0y b1. (2)3由(1)、(2)两式联立得 ， m4.03/17所以，该平面简谐波的表达式为： )(2.0cosSIxty6-7 已知一平面简谐波的波方程为 5(2.(1)分别求 两点处质点
7、的振动方程；mx25,10(2)求 、 两点间的振动相位差；x2(3)求 点在 t=4s 时的振动位移.1分析 波方程中如果已知某点的位置即转化为某点的振动方程。直接求解两点的振动相位差和某时刻的振动位移。解：(1) 、 的振动方程分别为：mx102510.25cos(3.7)(,xytSI9(2) 与 两点间相位差 2x1 215.rad(3) 点在 t=4s 时的振动位移 0.cos(43.7)029ym6-8 如题图 6-8 所示，一平面波在介质中以波速 沿 x 轴负方向传播，已知 A 点/us的振动方程为 .)(4cos1032SIty(1)以 A 点为坐标原点写出波方程；(2)以距
8、A 点 5m 处的 B 点为坐标原点，写出波方程.分析 由波相对坐标轴的传播方向和已知点的振动方程直接写出波方程。解：(1)坐标为 x 处质点的振动相位为)20/(4)/(4xtuxtt 波的表达式为 cos1032SIy uB A题图 6-85(2)以 B 点为坐标原点，则坐标为 x 点的振动相位为)(2054 SIxtt波的表达式为 )()20(4cos132SIty6-9 有一平面简谐波在介质中传播，波速 ，波线上右侧距波源 O（坐标原点）1/ums为 75m 处的一点 P 的运动方程为 ,求：)(2c(3. Ity(1)波向 x 轴正向传播的波方程；(2)波向 x 轴负向传播的波方程.
9、分析 先根据假设的标准波方程表示已知点 P 的振动方程，并与实际给出的 P 点方程比较求出特征量，进而求解波方程。解：(1)设以 处为波源，沿轴正向传播的波方程为：0x0cos(/)yAtu在上式中，代入 ，并与该处实际的振动方程 比较75m)2/cos(30.ty可得： ， 100.3,2,s可得： 为所求)(co(SIxty(2)设沿轴负向传播的波方程为： 0cos(/)yAtxu在上式中，代入 ，并与该处实际的振动方程 比较75xm )2/cos(3.ty可得： ，100.3,2,As可得： 为所求)(coSIxty6-10 一平面谐波沿 ox 轴的负方向传播,波长为 ，P 点处质点的振
10、动规律如题图 610所示.求:（1）P 点处质点的振动方程;（2）此波的波动方程；（3）若图中 ,求 O 点处质点的振动方程./2d分析 首先由已知振动规律结合旋转矢量图可得 P 点振动的初相与周期，从而得到其振动方程。波动方程则由 P 与原点的距离直接得到。波动方程中直接代入某点的坐标就可求出该点的振动方程。解:（1）从图中可见 ,且 ,则 P 点处质点的振动方程为4Ts00,potyA62cos()cos()42pyAtAtSI（2）向负方向传播的波动方程为 s()xdt（3）把 代入波动方程即得/2,00 3cos()cos()24yAtAt6-11 一平面简谐波的频率为 500Hz，在
11、空气( )中以 的速度传播，3/.1mKg40/s达到人耳时的振幅为 .试求波在人耳中的平均能量密度和声强.m610.分析 平均能量密度公式直接求解。声强即是声波的能流密度。解:波在耳中的平均能量密度： 2263.410/wAJ声强就是声波的能流密度，即： 3.180/IuWm6-12 一正弦空气波,沿直径为 的圆柱形管传播,波的平均强度为 ,0.4m329/Jsm频率为 300Hz,波速为 .求:3/s(1) 波中的平均能量密度和最大的能量密度各是多少?(2) 每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量?分析 平均能量密度为其在一个周期内的平均值，为最大值的一半。两个相邻同相面既是相距一个波长的
12、距离的波段。解: (1) Iwv353910/Jmmax2又 53610/wJ(2) 两个相邻同相面间的波段所对应的体积为 222230.1433. .5410duV m74.610WwJ题图 6-10t (s) 0 -A 1 yP (m) x O P d 7613 在均匀介质中，有两列余弦波沿 Ox 轴传播，波动表达式分别为与 ，试求 Ox 轴上合振幅最大与合)/(2cos1xtAy )/(2cos2xtAy振幅最小的那些点的位置。分析 合振幅大小由相位差确定。解：(1)设合振幅最大处的合振幅为 ，有max22ax()cosA式中 /4x因为当 时，合振幅最大，即有1cos kx2/4所以，
13、合振幅最大的点 （k=0,1,2,）kx21(2)设合振幅最小处的合振幅为 ，有minA22in()cosA式中 /4x因为当 时，合振幅最小，即有1cos)12(/4kx所以，合振幅最小的点 （k=0,1,2,）)12(kx6-14 相干波源 ,相距 11m, 的相位比 超前 .这两个相干波在 、 连线21S和 S2 1S2和延长线上传播时可看成两等幅的平面余弦波，它们的频率都等于 100Hz，波速都等于400m/s.试求在 、 的连线之间，因干涉而静止不动的各点位置. 12分析 首先确定两相干波连线上任意点两波的相位差，再根据干涉静止条件确定位置。解：取 、 连线为 x 轴，向右为正，以
14、为坐标原点.令 .1S2 1SlS21取 P 点如图.由于 ，从 、 分别传播来的两波在 P 点的相位差mu4/2)6()()(12 xxxl 由干涉静止的条件可得： 16k(0,12,k得： （ ） 即 x=1,3,5,7,9,11m 为干涉静止点.7kx23题图 6-148615 一微波探测器位于湖岸水面以上 0.5m 处，一发射波长 21cm 的单色微波的射电星从地平线上缓缓升起，探测器将继续指出信号强度的极大值和极小值.当接受到第一个极大值时，射电星位于湖面以上什么角度？分析 探测器信号出现极值是由于两列波干涉叠加造成，一列为直接接收的微波，另一列为经过水面反射后得到的。计算两列波在相
15、遇点（即探测器处）的波程差并根据相干加强求解。解:如图，P 为探测器，射电星直接发射到 P 点波(1)与经过湖面反射有相位突变 的波(2)在P 点相干叠加，波程差为（取 k=1）1cos22sinhOPDk整理得： )co(h解得： 105.4/sin6(1)(2) DPOh题图 615616 如题图 6-16 所示， , 为两平面简谐波相干波源. 的相位比 的相位超前1S2 2S1，波长 ， ， 在 P 点引起的振动振幅为 0.30m，4/m0.8mrr0.14,1在 P 点引起的振动振幅为 0.20m，求 P 点的合振幅.2S分析 合振幅由分振动的振幅和分振动在该点的相位差共同确定。解：
16、212121()/44rr/21(cos0.6()AAm617 如题图 617 中 A、B 是两个相干的点波源，它们的振动相位差为 （反相） 。A、B相距 30cm,观察点 P 和 B 点相距 40cm，且 .若发自 A、B 的两波在 P 点处最大限PB度地互相削弱，求波长最长能是多少？9题图 617分析 最大限度地削弱，即要求两振动在 P 点反相。故求两波在 P 点相位差即可求解。解：在 P 最大限度地削弱，即两振动反相.现两波源是反相的相干波源，故要求因传播路径不同而引起的相位差等于 。2(1,)k由图 . cmA50,2/405k所以 ，1/kmaxkc当 时 ，6-18 如题图 618
17、 所示，两列相干波在 P 点相遇.图中 ， ，若B45.0mCP30.一列波在 B 点引起的振动是 ；另一列波在 C 点引起的振动是)(2cos1030SIty；两波的传播速度 ，不考虑传播途中振)(2cos(10320 SIty ./us幅的减小，求 P 点的合振动的振动方程.分析 重点在于求出两列波在 P 点的相位差。根据相位差确定合振动的振动方程。解:第一列波在 P 点引起的振动的振动方程是： )(29cos(103SIty第二列波在 P 点引起的振动的振动方程是： 52P 点的合振动的振动方程是： )(cs(6321 Ity题图 618题图 616106-19 一驻波中相邻两波节的距离
18、为 d=5.00cm，质元的振动频率为 ，求形Hz310.成该驻波的两个相干行波的传播速度 u 和波长 .分析 驻波的相邻波节或波腹间的距离为波长的一半。解：波长 ， 波速 )(10.2md )/(10sm6-20 两波在一很长的弦线上传播，其波方程分别为：)(24(3cos.421 SItxy102 求：(1)两波的频率、波长、波速；(2)两波叠加后的节点位置；(3)叠加后振幅最大的那些点的位置.分析 首先得到驻波方程，然后根据节点和波腹相位特点求得节点和波腹位置。解：(1)与波动的标准表达式 对比可得：)/(2cosxtAy， ， 波速Hz4m50.1smu/0.6(2)节点位置 31/3
19、()(),n,12.4xn即(3)波腹位置 /,.x即6-21 在弹性媒质中有一沿 x 轴正向传播的平面波，其表达式为(SI)若在 处有一媒质分界面，且在分界面处)214cos(01.ty 5.0mx反射波相位突变，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式分析 反射点固定，且反射波在反射点有相位突变。两波的相位差为波从 x 点开始，反射后回到 x 点所形成的相位延迟。解：反射波在 x 点引起的振动相位为 21)5(4xtt021x反射波表达式为 0.cos(4)(ytSI或 1.12x6-22 两平面谐波分别沿 ox 轴正、 负向传播,其波动方程分别是和 .求:)t(2cosAy1 )xt(cosAy2 5 x (m) O x 图6图21
