1、第一章 绪论 p192设 的相对误差为 2%，求 的相对误差。xnx解：设 ，则函数的条件数为()nf()|pxfC又 , 1()nfx1|npx又 *(*)rprC且 为 2%()rex0.2nr5 计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为 34VR则何种函数的条件数为 234pRCA(*)()(*)rprrVR又 1r故度量半径 R 时允许的相对误差限为 1()0.3r7求方程 的两个根，使它至少具有 4 位有效数字（ ） 。25610x 7832.9解： ，故方程的根应为 1,2873x故 1.95.82x具有 5 位有效数字211873
2、0.17863287.95.2x 具有 5 位有效数字29正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？21cm解：正方形的面积函数为 p72()Ax当 时，若 ,*10x*1则 2()故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 21cm第二章 插值法 p481当 时， , 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求,2x()034fx的二次插值多项式。 ()f解： 012200102101222,()()3()4;1(2)()6()1)(3xxfffl xxl x则二次拉格朗日插值多项式为 20()()kLxylx22341()(1)3576
3、llxx2给出 的数值表()lnfxX 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值及二次插值计算 的近似值。ln0.54解：由表格知， 01234124.,.5,0.6,.7,0.8;()9()9.8,.54xxxfff若采用线性插值法计算 即 ，ln0.(.4)f则 0.5.62112212()(.)0.5()()()xlxLxflxflx6.9347.6180.5)1(05)0.9若采用二次插值法计算 时，ln5412000111202212()()(0.).6.(.)()5(0
4、.4).5()()(xl xxl xLflflfl50.960.5(.6)9.3147(0.).605182(0.4).5xxx2(.4).1384.2L4设 xj 为互异节点，求证：（1） 0()nkkjlx(0,);n（2） 0()(nkjjjl(,1);k证明（1） 令 ( k=n )()kfx若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。,01,jxn ()fxn0()()nkjLxlx插值余项为(1)1() ()!nnnnfRfL又 ,k(1)0nfRx0()nkkjl(,1);n0002()(nkjjjjikikjjinniikjixlClxxl由上题结论可知又 0()nkijxl
5、0()()nikiikCxx原 式得证。8 求 及 。 P3174()31,fxx0172,F 0182,F解： 若 2,0,8iix则 ()01,!nff (7)01, 1!ffx(8)01, 0!ffx14求一个次数不高于 3 次的多项式 P（x） ，使它满足x-x2+x318求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。2()fx,ab()hI解：在区间 上，,01,0,1,niiixhxn012max()iinhf函数 在小区间 上分段线性插值函数为1,ix111221()()()i ihi iii iixIffx误差为 p291 222max()max()8(),()ax4ii hibh
6、bfIfhffIx A第四章 数值积分与数值微分P1351.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 10121 120()()()();)(3()2()3)/;4)0/(0);hhhfxdAfhfAfhfffxfxdhafh解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若 101()()()()hfxdAfhfAfh令 ，则f1012hA令 ，则()fx1令 ，则2()fx31hA从而解得 01433Ah令 ，则()fx3
7、0hhdx101()()()AffAf故 成立。01()hxhfh令 ，则4()f451012()()()3hhfxdxAfAfh故此时， 101()()()()hfxdfff故 hAhAh具有 3 次代数精度。（3）若 1 12()()2()3)/fxdffxf令 ，则f1 12()2()()/xffxf令 ，则f1203x令 ，则()f21x从而解得或120.8956x120.689x令 ，则3()f110xdx12()2()3)/fff故 不成立。1 12(3)/xxf 因此，原求积公式具有 2 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：(3)12011091260(),8
8、;4),0;(3)4sin,6;xdned解： 21(1)8,()84xabhf复化梯形公式为 781()2()0.1khTffxfb复化辛普森公式为 778102()4()()0.1576kkhSfafxfxfb2()(2)1,)xenbhf复化梯形公式为 9101()2()1.3948khTfafxfb复化辛普森公式为 9910102()4()()1.576kkSffxfxfb(3),nabhf复化梯形公式为 341()2()17.24khTffxfb复化辛普森公式为 3341022()()()17.36(),4sin6kkSfafxfxfbnbhf复化梯形公式为 561()2()1.03
9、562khTfafxfb复化辛普森公式为 556102()4()()1.0357kkSffxfxfb6。若用复化梯形公式计算积分 ，问区间 应人多少等分才能使截断误差不10xIed,超过 ？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间 应分多少等分？5102 0,1解：p108采用复化梯形公式时，余项为 2()(),)1nbaRfhfab又 10xIed故 (),(),01.xffab221neRhh若 ，则5()f260he当对区间 进行等分时，,1n故有 5102.86e因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为 4()(),(,)1802nbahRffab又 ,xe(4)4()41|280280nf eRhfh若 ，则5()f41he当对区间 进行等分时0,nh故有 1540()3.7e因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。
