1、第五章 静 电 场 5 9 若电荷 Q均匀地分布在长为 L的细棒上 .求证 ： (1)在棒的延长线 ， 且离棒中心为 r处的电场强度为 220 41 Lr QE (2)在棒的垂直平分线上 ， 离棒为 r处的电场强度为 220 421 Lrr QE 若棒为无限长 (即 L )， 试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较 . 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度 .此时棒的长度不能忽略 ， 因而不能将棒当作点电荷处理 .但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上 .如图所示 ， 在长直线上任意取一线元 dx， 其电荷为 dq Qdx/L， 它在点 P的电场强度为 rr q eE 20 d
2、4 1d 整个带电体在点 P的电场强度 EE d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分 . (1)若点 P在棒的延长线上 ， 带电棒上各电荷元在点 P的电场强度方向相同 ， L EiE d (2)若点 P 在棒的垂直平分线上 ， 如图 (A)所示 ， 则电场强度 E沿 x轴方向的分量因对称性叠加为零 ， 因此 ， 点 P的电场强度就是 Ly EE jjE ds ind 证 (1)延长线上一点 P的电场强度 L rqE 202 d， 利用几何关系 r r x统一积分变量 ，则 2200222 0 4 12/12/14d4 1 Lr QLrLrLQxrL xQE L/- L /P 电场强度的方向沿
3、x轴 . (2)根据以上分析 ， 中垂线上一点 P 的电场强度 E的方向沿 y轴 ， 大小为 Er qE L d4 dsin 20 利用几何关系 sin r/r ， 22 xrr 统一积分变量 ， 则 2203/22222 0 4 12d4 1 LrrQrxL xrQE L/- L / 当棒长 L 时 ， 若棒单位长度所带电荷 为常量 ， 则 P 点电场强度 rLrLQrE l02202 /41/21li m 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同 图 (B) .这说明只要满足 r2/L2 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线 . 5 14 设匀强电场的电场强度 E与半径为 R的半球面的
4、对称轴平行 ， 试计算通过此半球面的电场强度通量 . 分析 方法 1： 由电场强度通量的定义 ， 对半球面 S求积分 ， 即 S Sds E方法 2： 作半径为 R的平面 S 与半球面 S一起可构成闭合曲面 ， 由于闭合面内无电荷 ，由高斯定理 01d 0 qS SE 这表明穿过闭合曲面的净通量为零 ， 穿入平面 S 的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量 .因而 SS SESE dd 解 1 由于闭合曲面内无电荷分布 ， 根据高斯定理 ， 有 SS SESE dd 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元 dS的方向 ， ERRE 22 c o s 解 2 取球坐标系 ， 电场强度
5、矢量和面元在球坐标系中可表示为 r E eeeE s ins inc o ss inc o s rR eS dds ind 2 ERERERSS2002222ds inds indds ins ind SE5 17 设在半径为 R的球体内 ， 其电荷为球对称分布 ， 电荷体密度为 Rr kr 0 Rr0 k为一常量 .试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度 E与 r的函数关系 . 分析 通常有两种处理方法 ： (1)利用高斯定理求球内外的电场分布 .由题意知电荷呈球对称分布 ， 因而电场分布也是球对称 ， 选择与带电球体同心的球面为高斯面 ， 在球面上电场强度大小为常量 ， 且方向垂直于球面
6、 ， 因而有 2S 4d rE SE根据高斯定理 V d1d 0SE， 可解得电场强度的分布 . (2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布 .将带电球分割成无数个同心带电球壳 ， 球壳带电荷为 rrq d4d 2 ， 每个带电球壳在壳内激发的电场 0d E ， 而在球壳外激发的电场 rrq eE 204 dd 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 RrrrRrdRr0 d00EEEE 解 1 因电荷分布和电场分布均为球对称 ， 球面上各点电场强度的大小为常量 ， 由高斯定理 V d1d 0SE 得球体内 (0 r R) 400 202 d414 r krrkrrrE r rkrr
7、eE 024 球体外 (r R) 400 202 d414 r krrkrrrE R rkRr eE 024 解 2 将带电球分割成球壳 ， 球壳带电 rrrkVq d4dd 2 由上述分析 ， 球体内 (0 r R) rrr krr rrrkr eeE 022 20 0 4d44 1 球体外 (r R) rrR rkRr rrrkr eeE 20 22 20 0 4d44 1 5 20 一个内外半径分别为 R1和 R2的均匀带电球壳 ， 总电荷为 Q1， 球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面 ， 球面带电荷为 Q2.求电场分布 .电场强度是否为离球心距离 r的连续函数 ？ 试分析 .
8、分析 以球心 O 为原点 ， 球心至场点的距离 r为半径 ， 作同心球面为高斯面 .由于电荷呈球对称分布 ， 电场强度也为球对称分布 ， 高斯面上电场强度沿径矢方向 ， 且大小相等 .因而24d rE SE .在确定高斯面内的电荷 q 后 ， 利用高斯定理 0/d qSE 即可求出电场强度的分布 . 解 取半径为 r的同心球面为高斯面 ， 由上述分析 02 /4 qrE r R1， 该高斯面内无电荷 ， 0q ， 故 01E R1 r R2， 高斯面内电荷 31323131RR RrQq 故 23132031312 4 rRR RrQE R2 r R3， 高斯面内电荷为 Q1， 故 2013
9、4 rQE r R3， 高斯面内电荷为 Q1 Q2， 故 20 214 4 r QQE 电场强度的方向均沿径矢方向 ， 各区域的电场强度分布曲线如图 (B)所示 .在带电球面的两侧 ， 电场强度的左右极限不同 ， 电场强度不连续 ， 而在紧贴 r R3的带电球面两侧 ， 电场强度的跃变量 0230234 4 RQEEE 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果 ， 且具有普遍性 .实际带电球面应是有一定厚度的球壳 ， 壳层内外的电场强度也是连续变化的 ， 本题中带电球壳内外的电场 ， 在球壳的厚度变小时 ， E 的变化就变陡 ， 最后当厚度趋于零时 ， E的变化成为一跃变 . 5 21 两
10、个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面 ， 半径分别为 R1和 R2 R1)， 单位长度上的电荷为 .求离轴线为 r处的电场强度 ： (1)r R1， (2) R1 r R2， (3)r R2. 分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上 ， 电场强度也必定沿轴对称分布 ， 取同轴圆柱面为高斯面 ， 只有侧面的电场强度通量不为零 ， 且 rLEd 2SE ， 求出不同半径高斯面内的电荷 q .即可解得各区域电场的分布 . 解 作同轴圆柱面为高斯面 ， 根据高斯定理 0/2 qrLE r R1， 0q 01E 在带电面附近 ， 电场强度大小不连续 ， 电场强度有一跃变 R1 r R2， Lq rE 02
11、2r R2， 0q 03E 在带电面附近 ， 电场强度大小不连续 ， 电场强度有一跃变 000 22 rLLrE 这与 5 20题分析讨论的结果一致 . 5 22 如图所示 ， 有三个点电荷 Q1、 Q2、 Q3沿一条直线等间距分布且 Q1 Q3 Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零 ， 求在固定 Q1、 Q3的情况下 ， 将 Q2从点 O 移到无穷远处外力所作的功 . 分析 由库仑力的定义 ， 根据 Q1、 Q3所受合力为零可求得 Q2.外力作功 W应等于电场力作功W 的负值 ， 即 W W.求电场力作功的方法有两种 ： (1)根据功的定义 ， 电场力作的功为 lEd0 2 QW 其中 E是
12、点电荷 Q1、 Q3产生的合电场强度 . (2)根据电场力作功与电势能差的关系 ， 有 0202 VQVVQW 其中 V0是 Q1、 Q3在点 O产生的电势 (取无穷远处为零电势 ). 解 1 由题意 Q1所受的合力为零 0244 20 312021 d QQdQQ 解得 QQQ 414132 由点电荷电场的叠加 ， Q1、 Q3激发的电场在 y轴上任意一点的电场强度为 2/322031 2 yd QEEE yyy 将 Q2从点 O沿 y轴移到无穷远处 ， (沿其他路径所作的功相同 ， 请想一想为什么 ？ )外力所作的功为 dQyyd QQQW y 022/322000 2 8d241d lE
13、 解 2 与解 1相同 ， 在任一点电荷所受合力均为零时 QQ 412 ， 并由电势 的叠加得 Q1、 Q3在点 O的电势 dQdQdQV 003010 244 将 Q2从点 O推到无穷远处的过程中 ， 外力作功 dQVQW 0202 8比较上述两种方法 ， 显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁 .这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大 ， 而求电势分布要简单得多 . 5 23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为 rr eE 02为电荷线密度 .(1)求在 r r1和 r r2两点间的电势差 ； (2)在点电荷的电场中 ， 我们曾取 r 处的电势为零 ， 求均匀带电长直线附近的
14、电势时 ， 能否这样取 ？ 试说明 . 解 (1)由于电场力作功与路径无关 ， 若沿径向积分 ， 则有 12012 ln2d21 rrU rr rE(2)不能 .严格地讲 ， 电场强度rerE 02只适用于无限长的均匀带电直线 ， 而此时电荷分布在无限空间 ， r 处的电势应与直线上的电势相等 . 5 27 两个同心球面的半径分别为 R1和 R2， 各自带有电荷 Q1和 Q2.求 ： (1)各区域电势分布 ，并画出分布曲线 ； (2)两球面间的电势差为多少 ？ 分析 通常可采用两种方法 (1)由于电荷均匀分布在球面上 ， 电场分布也具有球对称性 ， 因此 ， 可根据电势与电场强度的积分关系求电
15、势 .取同心球面为高斯面 ， 借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布 ， 再由 ppV lE d可求得电势分布 .(2)利用电势叠加原理求电势 .一个均匀带电的球面 ， 在球面外产生的电势为 rQV 04在球面内电场强度为零 ， 电势处处相等 ， 等于球面的电势 RQV 04其中 R是球面的半径 .根据上述分析 ， 利用电势叠加原理 ， 将两个球面在各区域产生的电势叠加 ， 可求得电势的分布 . 解 1 (1)由高斯定理可求得电场分布 22021321201211440RrrQQRrRrQRrrreEeEE由电势 rV lE d可求得各区域的电势分布 . 当 r R1时 ， 有 2021012
16、021210132114441140ddd2211RQRQRQQRRQVRRRRr lElElE当 R1 r R2时 ， 有 202012021201322444114dd22RQrQRQQRrQVRRr lElE当 r R2时 ， 有 r QQV r 0 2133 4d lE(2)两个球面间的电势差 2101212 114d21 RRQU RR lE 解 2 (1)由各球面电势的叠加计算电势分布 .若该点位于两个球面内 ， 即 r R1， 则 2021011 44 RQRQV 若该点位于两个球面之间 ， 即 R1 r R2， 则 202012 44 RQrQV 若该点位于两个球面之外 ， 即
17、 r R2， 则 rQQV 0 213 4(2)两个球面间的电势差 2011012112 442 RQRQVVU Rr 第六章 静电场中的导体与电介质 6 1 将一个带正电的带电体 A从远处移到一个不带电的导体 B附近 ， 则导体 B的电势将（ ） （ A） 升高 （ B） 降低 （ C） 不会发生变化 （ D） 无法确定 分析与解 不带电的导体 B相对无穷远处为零电势 。 由于带正电的带电体 A移到不带电的导体 B附近时 ， 在导体 B的近端感应负电荷 ； 在远端感应正电荷 ， 不带电导体的电势将高于无穷远处 ， 因而正确答案为 （ A）。 6 3 如图所示将一个电量为 q的点电荷放在一个半径为 R的不带电的导体球附近 ， 点电荷距导体球球心为 d， 参见附图 。 设无穷远处为零电势 ， 则在导体球球心 O点有 （ ） （ A）dqVE 04,0 （ B）dqVdqE 020 4,4 （ C） 0,0 VE （ D）RqVdqE 020 4,4
