1、单元综合测试三(第三章)时间：90 分钟 分值：150 分第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1已知 f(x)( xa) 2，且 f( )3，则 a 的值为( )12A1 B2C 1 D2解析：f(x) ( xa) 2，f(x)2(x a)又 f( ) 3，12 a3，解得 a2.12答案：B2函数 y sinx(cosx1)的导数是( )Ay cos2xcosx Bycos2x sin xC y cos2x cos x Dycos 2xcosx解析：y (sinx)(cosx1) sin x(cosx1)cos 2xcosx sin 2xcos2x cosx
2、.答案：C3函数 y 3xx 3 的单调递增区间是( )A(0，) B(，1)C (1,1) D(1，)解析：f(x)33x 20x( 1,1)答案：C4某汽车启动阶段的路程函数为 s(t)2t 35t 22，则 t2 秒时，汽车的加速度是( )A14 B4C 10 D6解析：依题意 v(t)s (t)6t 210t，所以 a(t) v(t)12t 10，故汽 车在 t2 秒时的加速度为 a(2)241014.答案：A5若曲线 f(x)xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2y102互相垂直，则实数 a 的值为( )A2 B1C 1 D2解析：f(x)xcosxsinx，f( )1，2k
3、 1， a2.a2答案：D6已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点A 的纵坐标为( )A1 B3C4 D8解析：如图所示，由已知可设 P(4，y1)，Q(2，y 2)，点 P，Q 在抛物线 x22y 上，Error!Error!P(4,8)，Q(2,2)又抛物线可化为 y x2，yx.12过点 P 的切 线斜率为 y| x4 4，过点 P 的切 线为 y84(x4) ，即 y4x8.又过点 Q 的切线斜率 为 y| x2 2.过点 Q 的切 线为 y22(x2) ，即 y2x2.联立Error!解得
4、x1，y4.点 A 的纵 坐标为4.答案：C7若函数 ya(x 3x)的递增区间是(， )，( ，)，33 33则 a 的取值范围是( )Aa0 B11 D00 的解集为(， )，33( ，)，故 a0.33答案：A8对任意的 xR，函数 f(x)x 3ax 27ax 不存在极值点的充要条件是( )A0a21 Ba0 或 a7C a21 Da0 或 a21解析：f(x)3x 22ax7a，当 4a 284a0，即 0a21时， f( x)0 恒成立，函数 f(x)不存在极值点故选 A.答案：A9已知函数 f(x)x 33x，若对于区间3,2上任意的 x1，x 2，都有| f(x1) f(x2)
5、|t，则实数 t 的最小值是( )A0 B10C 18 D20解析：f(x)3x 23，令 f(x)0，解得 x1 ，所以 1，1 为函数 f(x)的极值点，因为 f(3)18，f (1) 2，f (1)2，f(2) 2，所以在区间 3,2 上，f(x )max2，f(x )min 18，所以对于区间 3,2上任意的 x1，x2，|f(x1) f(x2)|20，所以 t20 ，从而 t 的最小值为 20.答案：D10设函数 f(x)的定义域为 R，x 0(x00) 是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )AxR，f(x)f(x 0)Bx 0 是 f(x )的极小值点Cx 0 是f(
6、x)的极小值点Dx 0 是 f(x)的极小值点解析：取函数 f(x)x 3x，则 x 为 f(x)的极大值点，但 f(3)33f( )，排除 A.取函数 f(x)(x1) 2，则 x1 是 f(x)的极大值点，33f(x )( x1) 2，1 不是 f(x) 的极小值 点，排除 B；f (x)( x1)2，1 不是 f(x)的极小 值点，排除 C.故选 D.答案：D11若函数 yf(x )满足 xf(x )f (x)在 R 上恒成立，且 ab，则( )Aaf(b) bf(a) Baf(a)bf(b)C af(a)0，g(x)在 R 上是增函数，又 ab，g(a)g(b)即 af(a)bf(b)
7、答案：B12设函数 f(x)满足 x2f(x)2xf (x) ，f(2) ，则 x0 时，exx e28f(x)( )A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由题意知 f(x) .令 g(x)exx3 2fxx ex 2x2fxx3e x2x 2f(x)，则 g( x)e x2x 2f(x)4xf (x)e x2(x 2f( x)2xf( x)e x e x .由 g(x) 0 得 x2，当 x2 时，g(x)2exx (1 2x)mine 222 2 0，即 g(x)0，则当 x0 时，f(x ) 0，故e28 gxx3f(x)在(0，)上单
8、调递 增，既无极大值也无极小值答案：D第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13若抛物线 yx 2 xc 上一点 P 的横坐标为 2，抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点，则 c 的值为_解析：y 2x 1，y| x2 5.又 P(2,6 c)， 5.6 c 2c4.答案：414如果函数 f(x)x 36bx3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的切线，则实数 b 的取值范围是_解析：存在与 x 轴平行的切 线，即 f(x )3x 26b0 有解，x(0,1)，b (0， )x22 12答案：b|00，若x R，恒有 f(x)0，则 的最小值是_f1f 0
9、解析：二次函数 f(x) ax2bxc( a0)的导 数为 f( x)2ax b，由 f(0)0，得 b0，又对xR，恒有 f(x)0，则 a0，且 b 2 4ac0，故 c0，所以 1f1f 0 a b cb ab cb2 12 12，acb2 ac4ac所以 的最小 值为 2.f1f 0答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70分)17(10 分) 已知函数 f(x)ln(2xa) x 2，且 f(0) .23(1)求 f(x)的解析式；(2)求曲线 f(x)在 x1 处的切线方程解：(1) f(x)ln(2xa)x 2，f( x) (2xa)2x 2x.12x
10、a 22x a又f (0) ， ，解得 a3.23 2a 23故 f(x)ln(2x3)x 2.(2)由(1)知 f( x) 2x ，22x 3 4x2 6x 22x 3且 f( 1) ln(23) (1) 21，f( 1) 0，4 12 6 1 22 1 3因此曲线 f(x)在( 1,1)处的切线方程是 y10(x 1)，即 y1.18(12 分) 已知函数 f(x) x3ax b(a，b R) 在 x2 处取得13极小值 .43(1)求函数 f(x)的增区间；(2)若 f(x)m 2m 对 x4,3 恒成立，求实数 m 的取值范103围解：(1) 由已知得 f(2) ，f(2) 0，又 f
11、( x)x 2a，所以432ab ，4a0，所以 a4， b 4，则 f(x) x34x 4，83 43 13令 f( x)x 240 ，得 x2，所以增区间为( ，2)，(2，) (2)f(4) ，f(2) ，f(2) ，f(3) 1，则当 x4,3时，43 283 43f(x)的最大值为 ，故要使 f(x)m 2m 对 4,3 恒成立，只要283 103m 2m ，283 103所以实数 m 的取值范围是 m2 或 m3.19(12 分) 已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf(x )在点(0， f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(
12、x)的单调性，并求 f(x)的极大值解：(1) f(x)e x(axab) 2x4.由已知得 f(0)4， f(0)4，故 b4，ab44，所以a4， b4.(2)由(1)知，f(x)4e x(x1)x 24x，f(x)4e x(x2)2x44( x2)(e x )12令 f(x) 0，得 xln2 或 x2.从而当 x(， 2)(ln2，)时，f ( x)0；当x( 2，ln2)时， f( x)0)，2x所以 f(1) 1，f(1)1，所以 yf (x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1 (x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1 ，x0 可知：ax x ax当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为(0 ， ) 上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa；因为 x(0，a)时， f( x)0，所以 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上：当 a0 时，函数 f(x)无极值，当 a0 时，函数 f(x)在 xa处取得极小值 aalna，无极大值
