1、第六章 机 械 波6-1 图（a）表示 t 0 时的简谐波的波形图，波沿 x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线则图（a ）中所表示的 x 0 处振动的初相位与图（ b）所表示的振动的初相位分别为（ ）题 6-1 图（） 均为零 （） 均为 （） 均为22（） 与 （） 与2分析与解 本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义图（a）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在 t 时刻的位移状态其中原点处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿 y 轴负向，利用旋转矢量法可以方便的求出该质点振动的初相位为 /2而图（b
2、）是一个质点的振动曲线图，该质点在 t0 时位移为 0，t 0 时，由曲线形状可知，质点向 y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为 /2，答案为（D）6-2 一横波以速度 u 沿 x 轴负方向传播，t 时刻波形曲线如图（a）所示，则该时刻（）（A）A 点相位为 （B ）B 点静止不动（C）C 点相位为 （D）D 点向上运动23分析与解 由波形曲线可知，波沿 x 轴负向传播，B 、 D 处质点均向 y 轴负方向运动，且 B 处质点在运动速度最快的位置. 因此答案（B）和（D）不对. A 处质点位于正最大位移处，C 处质点位于平衡位置且向y 轴正方向运动，它们的旋转矢量图如图（b）所示.A
3、、 C 点的相位分别为 0 和 .故答案为（C）23题 6-2 图6-3 如图所示，两列波长为 的相干波在点 P 相遇波在点 S1 振动的初相是 1 ，点 S1 到点 P 的距离是 r1 波在点 S2 的初相是 2 ，点 S2 到点 P 的距离是 r2 ，以 k 代表零或正、负整数，则点 P 是干涉极大的条件为（ ）2/2A11212 krkr分析与解 P 是干涉极大的条件为两分振动的相位差 ，而两列波传到 P 点时的两分振动相位2k差为 ，故选项（D）正确/1212题 6-3 图6-4 在波长为 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为（ ）（A） （B ） 42（C） （D） 3分析与解 驻波方
4、程为 ，它不是真正的波 .其中 是其波线上txAyv2cos2 xA2cos各点振动的振幅.显然，当 时，振幅极大，称为驻波的波腹.因此，相邻波腹间,10,k距离为 .正确答案为（B）26-5 一横波在沿绳子传播时的波动方程为 ，式中 y 的单位为 m，t 的单位为xy5.2cos0.s（1） 求波的振幅、波速、频率及波长；（ 2） 求绳上质点振动时的最大速度；（3） 分别画出 t 1s 和 t 2 s 时的波形，并指出波峰和波谷画出 x 1.0 处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同分析 （1） 已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速 u、频率 、振幅 A 及波长 等），通常采用比较
5、法将已知的波动方程按波动方程的一般形式 书写，然后通过0cosxtAy比较确定各特征量（式中 前“-” 、“+” 的选取分别对应波沿 x 轴正向和负向传播）比较法思路清晰、ux求解简便，是一种常用的解题方法（2） 讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即 v dy/dt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质的性质决定介质不变，波速保持恒定（3） 将不同时刻的 t 值代入已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程 y y（x ），从而作出波形图
6、而将确定的 x 值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程 y y（t），从而作出振动图解 （1） 将已知波动方程表示为 m5.2/.cos20.xty与一般表达式 比较，可得cosuxtAy/ 0sm1,.,.则 .2/Hz251/vuv（2） 绳上质点的振动速度 1sm5./.sin.0d/ xtty则 1max57v（3） t 1 和 t 2 时的波形方程分别为 5cos20.1xy波形图如图（a）所示x 1.0m 处质点的运动方程为 m5.2cos0.ty振动图线如图（b）所示波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示
7、某确定位置的一个质点，其位移随时间变化的情况题 6-5 图6-6 波源作简谐运动，其运动方程为 ，它所形成的波形以 30 -1 mtcos2401.43y的速度沿一直线传播（1） 求波的周期及波长；（2） 写出波动方程分析 已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式进行比较，求出振幅A、角频率 及初相 0 ，而这三个物理量与波动方程的一般形式 中相应0cosuxtAy/的三个物理量是相同的再利用题中已知的波速 u 及公式 2 2T 和 u T 即可求解解 （1） 由已知的运动方程可知，质点振动的角频率 根据分析中所述，波的周期就是1s240振动的周期，故有 3.8/2T
8、波长为uT 0.25 （） 将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得 A 4.0 10-3m， ， 0 0 故以波源为原点，沿 x 轴正向传播的波的波动方程为1s24m8240cos1.4/3tutAy6-7 波源作简谐运动，周期为 0.02，若该振动以 100m -1 的速度沿直线传播，设 t 0 时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1） 距波源 15.0 和 5.0 m 两处质点的运动方程和初相；（2） 距波源为 16.0 m 和 17.0m 的两质点间的相位差分析 （1） 根据题意先设法写出波动方程，然后代入确定点处的坐标，即得到质点的运动方程并可求得振动的初相（
9、2） 波的传播也可以看成是相位的传播由波长 的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为 2x 解 （1） 由题给条件 ，可得1s0s20uT,. m2;/ uT当 t 0 时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为 0 2（或 32）若以波源为坐标原点，则波动方程为 2/10cosx/tAy距波源为 x1 15.0 m 和 x2 5.0 m 处质点的运动方程分别为 5.t10cos21y它们的初相分别为 10 15.5 和 20 5.5（若波源初相取 03/2 ，则初相 10 13.5， 20 3.5）（2） 距波源 16.0m 和 17.0 m 两点间的相位差/21
10、12 x6-8 图示为平面简谐波在 t0 时的波形图，设此简谐波的频率为 250Hz，且此时图中质点 P 的运动方向向上求：（1） 该波的波动方程；（ 2） 在距原点 O 为 7.5 m 处质点的运动方程与 t 0 时该点的振动速度分析 （1） 从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径具体步骤为：1. 从波形图得出波长 、振幅 A 和波速 u ；2. 根据点 P 的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相 0 （2） 在波动方程确定后，即可得到波线上距原点 O 为 x 处的运动方程 y y（t），及该质点的振动速度 dy
11、/dt解 （1） 从图中得知，波的振幅 A0.10 m，波长 20.0m，则波速 u 5.0 103 -1 根据 t 0 时点 P 向上运动，可知波沿 Ox 轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿 Oy 轴负方向运动利用旋转矢量法可得其初相 0 /3 故波动方程为m3/50/cos1. xtuy（2） 距原点 O 为 x 7.5 处质点的运动方程为 120.y/tt 0 时该点的振动速度为 -10 s40.6/3sin5/dtv题 6-8 图6-9 一平面简谐波以速度 沿 Ox 轴正向传播，图示为其在 t 0 时刻的波形图，求1sm08.u（1）该波的波动方程；（2）P 处质点的运动方程题
12、 6-9 图分析 （1） 根据波形图可得到波的波长 、振幅 A 和波速 u，因此只要求初相 ，即可写出波动方程而由图可知 t 0 时，x 0 处质点在平衡位置处，且由波的传播方向可以判断出该质点向 y 轴正向运动，利用旋转矢量法可知 /2 （2） 波动方程确定后，将 P 处质点的坐标 x 代入波动方程即可求出其运动方程 yP y P（t）解 （1） 由图可知振幅 A 0.04 ， 波长 0.40 ， 波速 u 0.08 -1 ，则 2/ T 2 u/（2/5） -1 ，根据分析已知 /2，因此波动方程为 m208.520.4cosxt（2） 距原点 O 为 x 0.20 处的 P 点运动方程为
13、 .csy*6-10 一平面简谐波，波长为 12 m，沿 Ox 轴负向传播图（a）所示为 x 1.0 m 处质点的振动曲线，求此波的波动方程题 6-10 图分析 该题可利用振动曲线来获取波动的特征量，从而建立波动方程求解的关键是如何根据图（a） 写出它所对应的运动方程较简便的方法是旋转矢量法解 由图（a）可知质点振动的振幅 A0.40 ，t0 时位于 x1.0 m 处的质点在 A/2 处并向 Oy 轴正向移动据此作出相应的旋转矢量图（b），从图中可知 又由图（a）可知，t5 s 时，质3/0点第一次回到平衡位置，由图（b）可看出 t 56，因而得角频率 （/6） rad.s-1 由上述特征量可
14、写出 x 1.0 m 处质点的运动方程为 30.4cosyt将波速 及 x1.0 m 代入波动方程的一般形式1.2/Tu中，并与上述 x 1.0 m 处的运动方程作比较，可得 0 2，则波0cosxtAy动方程为 210/6.4costy6-11 平面简谐波的波动方程为 ,式中 y 和 x 的单位为 m，t 的单位为 s,xty24cos08.求：（1） t2.1 s 时波源及距波源 0.10m 两处的相位；（2） 离波源 0.80 m 及 0.30 m 两处的相位差解 （1）将 t2.1 s 和 x0 代入题给波动方程，可得波源处的相位 .1将 t2.1 s 和 x0.10 m 代入题给波动
15、方程，得 0.10 m 处的相位为 2.8（2）从波动方程可知波长 1.0 m这样，x 10.80 m 与 x20.30 m 两点间的相位差6-12 为了保持波源的振动不变，需要消耗 4.0 W 的功率若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）求距离波源 5.0 m 和 10.0 m 处的能流密度分析 波的传播伴随着能量的传播由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率 而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 I /SP P解 由分析可知，半径 r 处的能流密度为
16、 24/rPI当 r1 5.0 m、r 2 10.0m 时，分别有 22211 mW07./ rI224P6-13 两相干波波源位于同一介质中的 A、B 两点，如图（a）所示其振幅相等、频率皆为 100 Hz，B 比 A 的相位超前 若 A、B 相距 30.0 m，波速为 u400 ms-1 ，试求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置题 6-13 图分析 两列相干波相遇时的相位差 因此，两列振幅相同的相干波因干涉而r212静止的点的位置，可根据相消条件 获得k解 以 A、B 两点的中点 O 为原点，取坐标如图（b）所示两波的波长均为 u/ 4.0 m在 A、B 连线上可分三个部分进行讨论1.
17、 位于点 A 左侧部分 142ABABr因该范围内两列波相位差恒为 2 的整数倍，故干涉后质点振动处处加强，没有静止的点2. 位于点 B 右侧部分 6ABABr显然该范围内质点振动也都是加强，无干涉静止的点3. 在 A、B 两点的连线间，设任意一点 P 距原点为 x因 ， ，则两列波在点x15xrP 的相位差为 /2ABABr根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程 15kx得 2,.0m2k因 x15 m，故 k 7即在 A、B 之间的连线上共有 15 个静止点6-14 图（a）是干涉型消声器结构的原理图，利用这一结构可以消除噪声当发动机排气噪声声波经管道到达点 A 时，分成两路而在点 B 相
18、遇，声波因干涉而相消如果要消除频率为 300 Hz 的发动机排气噪声，则图中弯管与直管的长度差 rr 2 r 1 至少应为多少？ （设声波速度为 340 ms-1 ）题 6-14 图分析 一列声波被分成两束后再相遇，将形成波的干涉现象由干涉相消条件，可确定所需的波程差，即两管的长度差 r解 由分析可知，声波从点 A 分开到点 B 相遇，两列波的波程差 r r 2 - r1 ，故它们的相位差为/21r由相消静止条件 （2k 1），（k 0，1 ，2，）得 r （2k 1）2根据题中要求令 k 0 得 r 至少应为 m570./vu讨论 在实际应用中，由于噪声是由多种频率的声波混合而成，因而常将具
19、有不同 r 的消声单元串接起来以增加消除噪声的能力图（b）为安装在摩托车排气系统中的干涉消声器的结构原理图*6-15 如图所示，x 0 处有一运动方程为 的平面波波源，产生的波沿 x 轴正、负方向tAycos传播MN 为波密介质的反射面，距波源 34求：（1） 波源所发射的波沿波源 O 左右传播的波动方程；（2） 在 MN 处反射波的波动方程；（ 3） 在 O MN 区域内形成的驻波方程，以及波节和波腹的位置；（4） x 0 区域内合成波的波动方程题 6-15 图分析 知道波源 O 点的运动方程 ，可以写出波沿 x 轴负向和正向传播的方程分别为tAycos和 因此可以写出 y1 在 MN 反射
20、面上 P 点的运动方uxtAy/cos1 ux/2程设反射波为 y3 ，它和 y1 应是同振动方向、同振幅、同频率的波，但是由于半波损失，它在 P 点引起的振动和 y1 在 P 点引起的振动反相利用 y1 在 P 点的运动方程可求 y3 在 P 点的运动方程，从而写出反射波 y3 在 OMN 区域由 y1 和 Y3 两列同频率、同振动方向、同振幅沿相反方向传播的波合成形成驻波在 x 0 区域是同传播方向的 y2 和 y3 合成新的行波解 （1） 由分析已知：沿左方向和右方向传播的波动方程分别为和uxtA/cos1 uxtA/cos2（2） y1 在反射面 MN 处引起质点 P 振动的运动方程
21、23s432s1 tTtTp 因半波损失反射波 y3 在此处引起的振动为2cos23cos3 tTAtTAyp设反射波的波动方程为 ，则反射波在 x 3 /4 处引起的振动/3xt为 23cos3tTAyp与上式比较得 ，故反射波的波动方程为2 xtTxtTy 2cos2cos3（3） 在 O MN 区域由 y1 和 y3 合成的驻波 y4 为 tTxAxtAxtAxty 2coss2cos2cos,314波节的位置： ，取 k 1， 2，即 x /4， 3/4 4/,/2kk处为波节波腹的位置： ，取 k0，1，即 x 0，/2 处为波腹2/,/xx（4） 在 x 0 区域，由 y2 和 y
22、3 合成的波 y5 为 xtTAxtTAxtTAty 2cos22coscos,325这表明：x0 区域内的合成波是振幅为 2A 的平面简谐波6-16 如图（a）所示，将一块石英晶体相对的两面镀银作电极，它就成为压电晶体，两极间加上频率为的交变电压，晶片就沿竖直方向作频率为 的驻波振动，晶体的上下两面是自由的，故而成为波腹.设晶片 d=2.00 mm，沿竖直方向的声速 ，试问要激起石英片发生基频振动，外加13sm0746u电压的频率应是多少？分析 根据限定区域内驻波形成条件（如图（b）所示），当晶体的上下两面是自由的而成为波腹时，其厚度与波长有关系式 成立，k 为正整数.可见取不同的 k 值，得到不同的 ，晶体内就出现d2 k不同频率 的波.对应 k=1 称为基频，k=2，3，4， 称为各次谐频.k解 根据分析基频振动要求 ，于是要求频率2d
