1、第二章 干涉理论基础和干涉仪2.1 用迈克耳逊干涉仪进行精密测长,光源波长为 633nm,其谱线宽度为 10 nm,光电接4收元件的灵敏度可达 1/10 个条纹,问这台仪器测长精度是多少?一次测长量程是多少?解答:设测长精度为 ,则 由探测器接受灵敏度 所决定,ll 10NNl2( 32nm)m032.一次测长量程 由相干长度 所决定,MlclcMl2122.2 雨过天晴,马路边上的积水上有油膜,太阳光照射过去,当油膜较薄时呈现出彩色,解释为什么油膜较厚时彩色消失。解答:太阳光是一多色光,相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超过了入射光的相干长度,因而干涉条纹消失。2.3 计
2、算下列光的相干长度(1)高压汞灯的绿线, 546.15nmn(2)HeNe 激光器发出的光, 31MHz解答:计算相干长度(1) 6.592cL(2) 30m2.4 在杨氏双缝实验中(1)若以一单色线光源照明,设线光源平行于狭缝,光在通过狭缝以后光强之比为1:2,求产生的干涉条纹可见度。(2)若以直径为 0.1mm 的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源,为使横向相干宽度大于1mm,双缝必须与灯丝相距多远?设 =550nm解答:(1) cos200III23V(2)由(2-104)式 MdbPP18.0b2.5 图 p2-5 所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为 p,光源波长为 5893 ,针孔 P1
3、、P 2 大A小相同,相距为 d,Z 0=1m, Z1=1m(1)当两孔 P1、P 2 相距 d=2mm 时,计算光源的宽度由 =0 增大到 0.1mm 时观察屏上可见度变化范围。(2)设 p=0.2mm,Z 0、Z 1 不变,改变 P1P2 之间的孔距 d,当可见度第一次为 0 时 d=?(3)仍设 p=0.2mm,若 d=3mm, .求 面上 z 轴附近的可见度函数。0m0图 p2-5解答:(1)由(2-106)式 00sinsin.82pdZpdVcZ(2)由(2-107)式 mm02.95dp(3) 301076.49.3sinsi ZpdV2.6 有两束振幅相等的平行光,设它们相干,
4、在原点处这两束光的初相位 ,021偏振方向均垂直于 平面,这两束光的入射方向与 轴的夹角大小相等(如图 p2-6xoyx所示) ,对称地斜射在记录面 上,光波波长为 633 。znm(1) 作出 平面,并在该平面上大致画出干涉条纹的形状,画三条即可。yz(2) 当两束光的夹角 和 时,求 平面上干涉条纹的间距和空间频率。103yo(3) 设置于 平面上记录面感光物质的空间分辨率为 2000 条/mm,若要记录干涉条oz纹,问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角 最大不能超过多少度。图 p2-6-1解答:参考教材(2-31)式,干涉条纹的间距 sin2d(1) 在 平面上干涉条纹的大致形状如图 p
5、2-6-2 所示。yoz图 p2-6-2(2)两光束夹角 时, ,0151, 条/mm11.63m.sin2sid 1276fd两光束夹角 时, , 025, 条/mm22.631.sinsid 2180fd(3) 由 和 计算得到10im63nm7.52.7 如图 p2-7 所示,三束相干平行光传播方向均与 平面平行,与 轴夹角分别为 、0、xzz。光波波长为 ,振幅之比 。设它们的偏振方向均垂直于 平1:2:321Axz面,在原点 处的初相位 。求在 的平面上o00z(1) 合成振幅分布(2) 光强分布(3) 条纹间距图 p2-7 解答:(1)三束光在 平面上的复振幅分布分别为xoy )s
6、inexp(),(2i,31jkAyjU总的复振幅分布 )sico(12),(31xx(2)在 平面上光强分布xoy 22)sinco(14),(),( kxAyxI U(3)条纹间距 i2.8 如图 p2-8 所示,S 为一单色点光源,P 1、P 2 为大小相同的小孔,孔径间距为 ,透镜d的半径为 ,焦距为 f,P 1、P 2 关于 z 轴对称。a(1)若在观察平面 上看到干涉条纹,条纹的形状和间距如何?(2)当观察屏 的位置由 Z=0 开始增大时,求 面上观察到的条纹横向总宽度,讨论条纹总数与 Z 的关系。图 p2-8-1解答:图 p2-8-2由 P1P2 点发出的光波经透镜后变成两束平行
7、光,设这两束光与 轴的夹角大小为 ,z两束光重叠区域 坐标的最大值为 。当观察屏 由 开始向右移动时屏上干涉区域z0Z0z的横向宽度为 。X(1) 2/12)4(sinfd条纹垂直于纸面,间距 2/12)(sin2fl(2) dafZ2tg0增至 时条纹消失,由0zZ012XZza当 0 时,条纹的总宽度 z0Z0()2dazf条纹总数 221/2()4(4)zXffNl dd2.9 在图 P2-9 所示的维纳驻波实验中,设光不是垂直入射而是以 角入射。对于以下两5种情况,求电能密度的时间平均值(1) 入射光的偏振方向垂直于入射面;(2) 入射光的偏振方向平行于入射面;(3) 以上两种情形中那
8、一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中乳胶膜与镜 M 成 角时,求乳胶膜 F 上条纹的间距。图 p2-9 维纳驻波实验解答:(1)入射光的偏振方向垂直于入射面时 ,在入射角 时由(2-41)式给出0)(/iE450 2exp2sin)( zyxEkxtjkz所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿 方向是周期变化的。由(1-81)式,电z能密度的时间平均值 kzEnni2s)Re(4)Re(41 )(02*20*D结果与坐标 有关,与坐标 、 无关。zxy(2)入射光的偏振方向平行于入射面时, ,在入射角 时,由(2-41)式给0)(iE45出 kxtjkzEkxtjkzi
9、zyix 2exp2cos02e2sn)(/)(/ 由(1-81)式电能密度的时间平均值 2)(/0*20*20* )(4)Re(4)Re(41 izxEnEnn D经时间平均后电能密度与 无关。z(3)比较以上结果,当入射光的偏振方向平行于入射面时, 与 无关因而感光乳胶在z曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时, 与 有关,与 、x无关,在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。y干涉条纹的间距 2sind考虑到乳胶膜与镜 M 成 角,在乳胶膜上得到的条纹的间距siiD2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源,发出波长为 和 的光,光强均为 I0,双孔距12离为 d,孔所在
10、的屏与观察屏的距离为 D,求:(1)观察屏上条纹的可见度函数。(2)在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。(3)设 =5890 , =5896 ,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第1A2一次为 0 时在观察屏上的位置。解答: (1) , xDdIxI10cos2)(xDdIxI202cos1)(kIII ss4)()(02其中 , 1k2k图 p2.10以及 , 表达式中有一个函数 ,它是21k21k)(xI xDdkcoscs周期函数 被一个 的振幅包络所调制的结果(见图 P2-10), 条纹的可见Ddxcosdcos度 xDdkxVcos)((2)可见度变化
11、周期 klT条纹间距为 dDl2在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为 ,则有N22)(kdlxT式中 ( )12N(3)由 ,得2xDdkmm (可见度函数第一次为 0)23.48kd由 ,得2xdk(条纹第一次消失)9xmk2.11 光源的光谱分布规律如图 p2-11 所示,图中以波数 作为k横轴,波数的中心值为 在光谱宽度 范围内 F( )不变,0kk将从光源来的光分成强度相等的两束,设这两束光再度 相遇时的偏振方向相同,光程差为 ,试求:S(1)两光束干涉后所得光强的表达式 I( )S(2)干涉条纹的对比度 V( )(3)对比度 V 的第一个零点所对应的 ?图 p2-11 解答:两束
12、光的每一束在 范围内光的强度为dk, kdII201Sk(1) )cos1(cos)( 02IxI SkkISkdIxIk 0020 cs2in)cs1()((2)可见度 0ksin()2VkS(3)第一个零点处 ,由这一关系式得到)2sin(k |2.12 如图 p2-12 所示,一辐射波长范围为 、中心波长为 的准单色点光源 S 置于 z 轴上,与透镜 La 相距 ( 为 La 的焦距)在与 z 轴相垂直的屏 0 上有两个长狭缝f S1、S 2,它们垂直于纸面对称放置,透镜 Lb 紧靠在 0 在 Lb 的后焦 面上观察干涉条纹,当 X 由 0 增大时求条纹第一个零点所对应的 X 值。图 p
13、2-12-1解答: 图 p2-12-1方法一 , cLdsin2d2, dffXb2方法二 即 , , dS2kS2bXff2.13 图 p2-13 所示是一个由光波导制成的马赫曾特尔干涉仪。它由三个部分组成:第 I部分是对输入信号进行分路的耦合器,耦合器的长度为 ;第 II 部分是长度相差d的两条波导,它们的折射率 ;第 III 部分与第 I 部分的结构和功能相Lefn21同,也是一个耦合器,其作用是将信号进行复合。以下讨论中不计光在波导中的传输损耗。耦合区长度为 的耦合器传输矩阵为ddjjMcouplercossini式中 为常数。图 p2-13 中第 II 部分的传输矩阵为 2exp00
14、2exI LjkLjk(1) 若 I、III 部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能,试证明它的传输矩阵为 12jM(2) 设频率 附近有频率相差 ( )的两个单色光信号 、 分别从图1,inE2,ip2-13 中左端的两个入口处输入,在进入端口时它们的初始相位相同。若要全部光功率只在右端的同一个端口,如端口 2 探测到,求干涉仪两臂差应满足的条件。图 p2-132.13 解(1)对于一个平分功率的 3dB 耦合器来说,传输矩阵 中 ,因此有couplerM4d12couplerjM(2)两个臂的输出光场 和 与输入场 和 的关系为out,1Et,2in,Ei,2(P2.13-
15、1)2,in12,out1式中 2sin2coscin21 LkkjMMcouplercoupler(P2.13-2)图 P2-13 所示的结构就构成了一个复用器,设波长为 的光从 处注入,波长为11,inE的光从 处注入。利用(P2.13-1)式得到输出场 和 分别是两个输入场单22,inEout,t,2独分布时的总和:(P2.13-3a ) 2cs)(2sin)(2,in11,i,out LkELkj (P2.13-3b) si)(cos)(2,in11,in2,outEj式中 , ( ) 。输出光功率jefjk2 ,(P2.13-4a )2,in21,inout,1t, cossi PLkPLkEP (P2.13-4b)2,in21,in2out,t,2 scs