1、1圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨21,F|21F迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21a21|21a（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0(2byax )0(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ),(,(21cF),(,0(21cF焦
2、距 )|1bac离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两)0(12bayx 21,F1BA,点，则 的周长= ABF（2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直线)(2byax 21,1A12交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的21,F|21F轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aP|12
3、|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|F（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21a ),0(,2a对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 ),(,21cF),(,21c焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径2b（3）双曲线的渐近线：求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到 。12byax 02yax0xyaby3与双曲线 共
4、渐近线的双曲线系方程是 ；12byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲线)0,(12byax 21,F1的同一支于 两点，则 的周长= BA,F（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的),(2yx 21,1直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向左焦点在 轴上，y开口向
5、上焦点在 轴上，y开口向下标准方程 py2py2px2px2图 形 xOFPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxyy通 径 p24焦半径 2|0pxPF 2|0pyPF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 的系数2x求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ，
6、，由韦达定理求出 ，,0CBA),(1yxA),(2BAB21；（3）代入弦长公式计算。x21法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应的弦长,02CyA公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkkykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 xxx|4)(212121 Ayyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去
7、 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；（3）,0CBxA),(1yxA),(2BAB21设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出 。),(0yM0x0x0y法（二）：用点差法，设 ，),(1yx5F xy ABCO，中点 ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出),(2yxB),(0yxM5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，而
8、双曲线离心率取值范围是 e1)1.设 为过抛物线AB的焦点的弦，则 的最小值为（ ）)(2pxyABA B C D无法确定22.若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ ）xy2PPA B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)843.如图，过抛物线 的焦点 F 的直线 交抛物线于点 AB ，交其准线于点 C，若02pxyl，且 ，则此抛物线的方程为 （ ）FC3AA B 32 xy2C Dxy994.设抛物线2=2x的焦点为F ，过点M（ 3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C， B=2，则 BCF与 ACF的成面积之比CFS=
9、A45B23C47D12w5.点 P在直线 :1lyx上，若存在过 P的直线交抛物线2yx于 ,AB两点，且 |PAB，则称点 为“点”，那么下列结论中正确的是A直线 l上的所有点都是“ 点” B直线 l上仅有有限个点是“ 点”C直线 上的所有点都不是“ 点” D直线 上有无穷多个点是“ 点”6.设 F1， F2 分别是双曲线 12byax的左右6焦点，若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90且|AF 1|=3|AF2|，则双曲线的离心率等于 （ ）A 25B 10C 5D7.双曲线 的实轴长和虚轴长分别是( )43yxA ，4 B4， C3，4 D2，22 38.若点 P 为共焦点的椭圆
10、1C和双曲线 的一个交点, 1F、 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e，双曲线离心率为 2e，若 02PF,则 （ ） 21eA1 B 2 C3 D 4 9.已知点 P 是椭圆 上的动点， 、 为椭圆的两个焦点， 是坐标原)0,(186yxyx 1F2O点，若 M 是 的角平分线上一点，且 ，则 的取值范围是 （ ）12F1MPA B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m0,30, 2,30,410.已知 p、 q、 p+q 是等差数列，p 、 q、 pq 是等比数列，则椭圆 的准线方程21xypqA. B. 2yC. D. 63263x11.双曲线 的渐近线方程为（ ）12y
11、xA、 B、3xy31C、 D、xy12.已知抛物线方程为 ，过该2 (0)p7抛物线焦点 且不与 轴垂直的直线 交抛物线于 两点，过点 ,点 分别作 垂FxAB,AB,MN直于抛物线的准线，分别交准线于 两点，那么 必是 （ ）,MNFA锐角 B直角 C钝角 D 以上皆有可能13.已知方程 ，它们所表示的曲线0,(02 cbacbyaxbyax中中可能是（ ） 14.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点)0(12bayx )0,(12nmnyx和 ，若 是 与 的等比中项， 是 与 的等差中项，则椭圆的离心率是)0,(c,cmc. . . . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3A2)(B
12、41)(C21)(D15.已知椭圆 上的一点 P 到左焦点的距离为 ，则点 P 到右准线的距离为（ ）142yx 23A B C5 D316.已知点 分别是双曲线的两个焦点， P 为该曲线上一点，若 为等腰直角三角形，则该21,F 21F双曲线的离心率为 （ ）A B C D313217.在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 动 点 B的 轨 迹 方 程 （ ）,sin2isn),0(,A且A. ； B. ； )(1432xyx )0(143yx8HBEFDCBAC. ； D. 。)0(1342yx )0(1342xyx1 2(40)() 159xyABBC的 顶 点 是 ， 、 ， 、 ，
13、又 是 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 点则 ( )CsinA、2 B、 C、 D、 545341219.如图,用与圆柱的母线成 角的平面截圆柱得一椭圆截线 ,60则该椭圆的离心率为 ( )A B C D非上述结论123220. 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面垂直，且P，,4,8,6,DABAPCB则点 P 在平面 内的轨迹是（ ）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分21.设 是曲线 上的点，(,)xy19252yx， 则必有（ ）14,0F,A B12P1021PFC D122.有一矩形纸片 ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折
14、叠后点 B 都落在边 AD 上，将 B 的落点记为 ，其中 EF 为折痕，点 F 也可落在边 CD 上，过 作 H CD 交 EF 于点 H，则点 H 的轨迹B 为（ ）A四分之一圆 B四分之一椭圆 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分DCBAP923.已知椭圆21(0)xyab的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且 Fx轴，直线 AB交 轴于点 P若 2AB，则椭圆的离心率是（ ） .w.k.s.5.u.c.o.m A 32 B C 13 D 1224.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是（ ）Ay 2=x1 By 2=2(x1) Cy 2=x D.y2=2x125.
15、直线 与曲线 的交点个数为（ ）53x159|2xA3 个 B2 个 C1 个 D0 个26.已知双曲线 (a0, b0) 的离心率为 e ，则它的两条渐近线所成的角中以实轴为by 2,平分线的角的大小为（ ）A B C D2,62,33,2,3227.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM= ,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P1到直线 A1D1 的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则动点的轨迹是 ( )A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线28.不论 为何值 ,直线 与双曲线 总有公共点 ,实数 的取值范围是( )k(2
16、)ykxb21xybA. B. C. D.33,30.直线 交抛物线 于 M,N 两点,向量 与弦 MN 交于点 E,若 E1yx20ypxOMN点的横坐标为 ,则 的值为 ( )A.2 B.1 C. D.41231.直线 交椭圆 于 M,N 两点,MN 的中点为 P,若 (O 为原点),则1yx2mny2opk等于 ( )mnA. B. C. D. 22221032.已知定点 ，点 P 为抛物线 上一动点，点 P 到直线 的距离为 ，则|PA|+d)4,3(Axy421xd的最小值为（ ）A4 B C6 D5 32833.点 是双曲线 右支上一点， 是该双曲线的右焦点，点 为线段 的中点。若
17、P142yxFMPF，则点 到该双曲线右准线的距离为 （ ）3OMA、 B、 C、 D、43233234.过双曲线 的右焦点 F，作渐近线 的垂线与双曲线左右两支都)0,(12bayx xaby相交，则双曲线的离心率 的取值范围为 ( )eA、 B、 C、 D、122e2e35.定义椭圆 的面积为 ，若 ，2xyabab(,)UxyR， ，则 所表示图形的面积2(,)14A(,)20B()ABI为 （ ）A、1 B、 C、 D、23136.一条线段 AB (|AB| = 2a)的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴上、y 轴上滑动，则线段 AB 中点 M 的轨迹方程为（ ）Ax 2 + y2 = a2 (x0) Bx 2 + y2 = a2 (y0)Cx 2 + y2 = a2 (x0 且 y0) Dx 2 + y2 = a237.如果方程 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）A.1pqB. C. D. 2xyq21xyp21xyq21xypq38.已知椭圆的焦点是 ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 到 Q,使得 ,那么动点12F1FP2QPF
