1、导数公式1、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y f(x)c ； (2)yf(x)x ；(3)yf(x)x 2；(4)yf(x) ；(5)yf(x) .1x x问题：上述函数的导数是什么？提示：（1） 0，y 0.yx fx x fxx c cx lim x 0yx2)(x)1， (3)(x2)2x，(4) ，(5)( ) .(1x) 1x2 x 12x函数(2)(3)(5) 均可表示为 yx (Q *)的形式，其导数有何规律？提示：(2)(x )1x 11 ，(3)( x2)2x 21 ，(5)( )(x ) xx1212 ，( x)x 1 .1212x基本初等函数的导数公式原函数 导函
2、数f(x)c(c 为常数) f(x)0f(x)x(Q*) f(x)x 1f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)sin xf(x) ax f(x) axln af(x) ex f(x) exf(x) logaxf(x)1xln af(x) ln xf(x)1x2、导数运算法则已知 f(x)x，g(x) .1x问题 1：f( x)，g(x)的导数分别是什么？问题 2：试求 Q(x)x ，H(x)x 的导数1x 1x提示：y(x x ) x ，1x x (x 1x) xxx x 1 ，Q(x )yx 1xx x 1 .同理 H(x )1 .limx 0yx lim x 0
3、1 1xx x 1x2 1x2问题 3：Q(x)，H(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x) 的导数等于 f(x)，g(x )导数的和，H(x)的导数等于 f(x)，g(x)导数的差导数运算法则1 f(x)g(x)f(x )g(x)2 f(x)g(x)f(x )g(x)f( x)g(x)3. (g(x)0)fxgx fxgx fxgxgx2题型一 利用导数公式直接求导例 1 求下列函数的导数：(1)y 10 x；(2) ylg x；(3) ；xy21log(4)y ；(5) .4x3 12cosinx解 (1)y (10x)10 xln 10；(2) y(lg x) ；
4、1xln 10(3)y ；(4)y ( ) ；(5)1xln 12 1xln 2 4x3 344xy 21sin 2 2sin cos cos 2 1sin (sin x2 cos x2) x x2 x2 xx，y(sin x)cos x.练习 求下列函数的导数：(1)y x；(2)y x；(3)y lg 5；(4)y3lg ；(5)y 2cos 2 1.(1e) (110) 3x x解：(1)y xln e x ；(2)(1e)x (1e) 1e 1exy xln 10 x ln 10； (3)ylg 5 是常数(110)x (110) 110 ln 1010x函数，y (lg 5)0 ；(
5、4)y3lg lg x，y(lg x) ；(5)y2cos 2 1cos 3x1xln 10 xx，y(cos x)sin x.题型二 利用导数的运算法则求函数的导数例 2 求下列函数的导数：(1)yx 3ex；(2) yx sin cos ；(3)yx 2log 3x；(4)y .x2 x2 ex 1ex 1解 (1)y (x3)e xx 3(ex)3x 2exx 3exx 2(3x )ex.(2)yx sin x，yx (sin x)1 cos x.12 12 12(3)y(x 2log 3x)(x 2)(log 3x)2x .1xln 3(4)y ex 1 ex 1 ex 1ex 1ex
6、 12 exex 1 ex 1exex 12. 2exex 12练习 求下列函数的导数：(1)y ；(2) yxsin x ；(3)y ；(4)ylg x .cos xx x 1 x1 x 1 x1 x 1x2解：(1)y (cos xx ) cos x x cos xxx2 xsin x cos xx2.xsin x cos xx2(2)y(xsin x)( )sin xxcos x .x12x(3)y 2，y 1 x21 x 1 x21 x 2 2x1 x 41 x ( 41 x 2) . 41 x1 x2 41 x2(4)y (lg x) .(lg x 1x2) (1x2) 1xln 1
7、0 2x3题型三 导数几何意义的应用例 3 (1)曲线 y5e x3 在点(0，2)处的切线方程为_(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：yx 310x 13 上，且在第一象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_解析 (1)y 5e x，所求曲线的切线斜率ky| x0 5e05，切线方程为 y(2)5(x0)，即 5xy 20.(2)设点 P 的坐标为(x 0，y 0)，因为 y3x 210，所以 3x 102，解20得 x02. 又点 P 在第一象限内，所以 x02，又点 P 在曲线 C 上，所以 y02 310 2131 ，所以点 P 的
8、坐标为(2,1)(1)5xy20 (2)(2,1)练习 若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x 2bx 1 在交点(0，m )处有公切线，则 ab_.解析：f( x)asin x ，g(x)2xb，曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x 2bx1 在交点(0，m )处有公切线，f(0)ag (0)1，且 f (0)0g(0)b，ab1.答案：11.切 线 方 程 的 求 法典例 已知 aR，函数 f(x)x 33x 23ax3a 3，求曲线 yf (x)在点(1， f(1)处的切线方程解 由已知得 f( x)3x 26x3a，故 f(1)363a3a3，且 f(1)13 3a
9、3a 31.故所求切线方程为 y1(3a3)(x1)，即 3(a 1)xy43a0.一、已知斜率，求切线方程此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线 x4y 1 0 垂直的曲线 f(x)2x 21 的切线方程解：所求切线与直线 x 4y10 垂直，所以所求切线的斜率 k4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则 f(x 0)4x 04，即 x01.所以切点坐标为(1,1)故所求切线方程为 y1 4(x1)，即 4xy3 0.二、已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切
10、线方程例：求过曲线 f(x)x 32x 上的点(1，1)的切线方程解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为 f( x)3x 22，所以 f( x0)3x 2，且 y0f(x 0)x 2x 0.20 30所以切线方程为 yy 0(3x 2)(xx 0)，20即 y(x 2 x0)(3x 2)(xx 0)30 20因为切线过点(1，1) ，故1(x 2x 0)(3x 2)(1 x 0)30 20即 2x 3x 10，30 20解得 x01 或 x0 ，12故所求切线方程为 xy 20 或 5x4y10.三、已知过曲线外一点，求切线方程这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点
11、，从而求出切线方程例：已知函数 f(x)x 33x，过点 A(0,16)作曲线 yf(x)的切线，求切线方程解：由题意知点 A(0,16)不在曲线 f(x)x 33x 上，设切点坐标为M(x0，y 0)则 f( x0)3x 3，20故切线方程为 yy 03(x 1)(xx 0)20又点 A(0,16)在切线上，所以 16(x 3x 0)3(x 1)(0 x 0)，30 20化简得 x 8，解得 x02，即切点为 M(2， 2)，30故切线方程为 9xy 16 0.课后练习1给出下列结论：(cos x) sin x； cos ；(sin3) 3若 y ，则 y ； .1x2 1x ( 1x) 1
12、2xx其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D3解析： (cos x)sin x，所以错误；sin ，而 0，所以3 32 ( 32)错误； 2x 3 ，所以错误；(1x2) 0 x2x4 2xx4 x ，( 1x) 0 xx12xx 1212xx所以正确答案：B 2函数 ysin x cos x 的导数是( )Aycos 2xsin 2x Bycos 2xsin 2xCy2cos xsin x Dycos xsin x解析： y (sin xcos x)cos x cos xsin x( sin x)cos 2xsin 2x.3若 f(x)(2xa) 2，且 f(2)20，则 a_ .解析
13、：f( x)4x 24axa 2，f(x) 8x4a，f(2)164a20，a1.答案：14已知曲线 yx 4ax 21 在点(1，a2)处切线的斜率为 8，则a_.解析：y 4x32ax，因为曲线在点(1，a2)处切线的斜率为 8，所以 y| x1 42a 8，解得 a6.答案：65求下列函数的导数：(1)yx ；(x2 1x 1x3)(2)y ；1 cos xx2(3)y(4 xx)(e x1)解：(1)yx x 31 ，y3x 2 .(x2 1x 1x3) 1x2 2x3(2)y .1 cos x x2 1 cos xx2x4 xsin x 2cos x 2x3(3)法一：y(4 xx )(ex1)4 xex4 xxe xx ，y(4 xex4 xx exx) (4x)e x4 x(ex)(4 x)xe xx(e x)xe x4xln 44 xex4 xln 4e xxe x1e x(4xln 44 x1x )4 xln 41.法二：y (4xx )(e x1)(4 xx)(e x1)(4 xln 41)(e x1)(4 xx)e xe x(4xln 44 x1x)4 xln 41.
