1、第 1 页（共 10 页） 2017 年江西省中考数学试卷 12 已知点 A（ 0， 4）， B（ 7， 0）， C（ 7， 4），连接 AC， BC 得到矩形 AOBC，点D 的边 AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应边为 A若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 1： 3，则点 A的坐标为 20如图，直线 y=k1x（ x 0）与双曲线 y= （ x 0）相交于点 P（ 2， 4）已知点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3），连接 AB，将 Rt AOB 沿 OP 方向平移，使点 O 移动到点 P，得到 APB过点 A作 AC y 轴交双曲线于点 C （ 1）求 k1 与 k
2、2 的值； （ 2）求直线 PC 的表达式； （ 3）直接写出线段 AB 扫过的面积 第 2 页（共 10 页） 23我们定义：如图 1，在 ABC 看，把 AB 点绕点 A 顺时针旋转 （ 0 180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC当 +=180时，我们称 ABC是 ABC 的 “旋补三角形 ”， ABC边 BC上的中线 AD 叫做 ABC 的 “旋补中线 ”，点 A 叫做 “旋补中心 ” 特例感知： （ 1）在图 2，图 3 中， ABC是 ABC 的 “旋补三角形 ”， AD 是 ABC 的 “旋补中线 ” 如图 2，当 ABC 为等边三角形时， AD
3、 与 BC 的数量关系为 AD= BC； 如图 3，当 BAC=90， BC=8 时，则 AD 长为 猜想论证： （ 2）在图 1 中，当 ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明 拓展应用 （ 3）如图 4，在四边形 ABCD， C=90， D=150， BC=12， CD=2 ， DA=6在四边形内部是否 存在点 P，使 PDC 是 PAB 的 “旋补三角形 ”？若存在，给予证明，并求 PAB 的 “旋补中线 ”长；若不存在，说明理由 第 3 页（共 10 页） 2017 年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 12已知点 A（ 0， 4）， B（ 7， 0）
4、， C（ 7， 4），连接 AC， BC 得到矩形 AOBC，点 D 的边 AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应边为 A若点 A到矩形较长两对边的距离之比为 1： 3，则点 A的坐标为 ：（ ， 3）或（ ， 1）或（ 2 ， 2） 【考点】 PB：翻折变换（折叠问题）； D5：坐标与图形性质； LB：矩形的性质 【分析】 由已知得出 A=90， BC=OA=4， OB=AC=7，分两种情况：（ 1）当点 A在矩形 AOBC 的内部时，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，当 AE： AF=1：3 时，求出 AE=1， AF=3，由折叠的性质得： OA=OA
5、=4， OAD= A=90，在 Rt OAF 中，由勾股定 理求出 OF= = ，即可得出答案； 当 AE： AF=3： 1 时，同理得： A（ ， 1）； （ 2）当点 A在矩形 AOBC 的外部时，此时点 A在第四象限，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，由 AF： AE=1： 3，则 AF： EF=1： 2，求出 AF= EF= BC=2，在 Rt OAF 中，由勾股定理求出 OF=2 ，即可得出答案 【解答】 解： 点 A（ 0， 4）， B（ 7， 0）， C（ 7， 4）， BC=OA=4， OB=AC=7， 分两种情况： （ 1）当点 A在矩形 AOBC 的
6、内部时，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图 1 所示： 当 AE： AF=1： 3 时， AE+AF=BC=4， AE=1， AF=3， 由折叠的性质得： OA=OA=4， 在 Rt OAF 中，由勾股定理得 ： OF= = ， A（ ， 3）； 当 AE： AF=3： 1 时，同理得： A（ ， 1）； 第 4 页（共 10 页） （ 2）当点 A在矩形 AOBC 的外部时，此时点 A在第四象限，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图 2 所示： AF： AE=1： 3，则 AF： EF=1： 2， AF= EF= BC=2， 由折叠的性质
7、得： OA=OA=4， 在 Rt OAF 中，由勾股定理得： OF= =2 ， A（ 2 ， 2）； 故答案为：（ ， 3）或（ ， 1）或（ 2 ， 2） 20如图，直线 y=k1x（ x 0）与双曲线 y= （ x 0）相交于点 P（ 2， 4）已知点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3），连接 AB，将 Rt AOB 沿 OP 方向平移，使点 O 移动到点 P，得到 APB过点 A作 AC y 轴交双曲线于点 C （ 1）求 k1 与 k2 的值； （ 2）求直线 PC 的表达式； （ 3）直接写出线段 AB 扫过的面积 第 5 页（共 10 页） 【考点】 G8：反比例函数与一次函数的
8、交点问题； FA：待定系数法求一次函数解析式； Q3：坐标与图形变化平移 【分析】 （ 1）把点 P（ 2， 4）代入直线 y=k1x，把点 P（ 2， 4）代入双曲线 y= ，可得 k1 与 k2 的值； （ 2）根据平移的性质，求得 C（ 6， ），再运用待定系数法，即可得到 直线 PC的表达式； （ 3）延长 AC 交 x 轴于 D，过 B作 BE y 轴于 E，根据 AOB APB，可得线段 AB 扫过的面积 =平行四边形 POBB的面积 +平行四边形 AOPA的面积，据此可得线段 AB 扫过的面积 【解答】 解：（ 1）把点 P（ 2， 4）代入直线 y=k1x，可得 4=2k1，
9、k1=2， 把点 P（ 2， 4）代入双曲线 y= ，可得 k2=2 4=8； （ 2） A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， AO=4， BO=3， 如图，延长 AC 交 x 轴于 D， 由平移可 得， AP=AO=4， 又 AC y 轴， P（ 2， 4）， 点 C 的横坐标为 2+4=6， 当 x=6 时， y= = ，即 C（ 6， ）， 设直线 PC 的解析式为 y=kx+b， 把 P（ 2， 4）， C（ 6， ）代入可得 ，解得 ， 直线 PC 的表达式为 y= x+ ； （ 3）如图，延长 AC 交 x 轴于 D， 第 6 页（共 10 页） 由平移可得， AP AO， 又
10、AC y 轴， P（ 2， 4）， 点 A的纵坐标为 4，即 AD=4， 如图，过 B作 BE y 轴于 E， PB y 轴， P（ 2， 4）， 点 B的横坐标为 2，即 BE=2， 又 AOB APB， 线段 AB 扫过的面积 =平行四边形 POBB的面积 +平行四边形 AOPA的面积 =BOBE+AO AD=3 2+4 4=22 23我们定义：如图 1，在 ABC 看，把 AB 点绕点 A 顺时针旋转 （ 0 180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连接 BC当 +=180时，我们称 ABC是 ABC 的 “旋补三角形 ”， ABC边 BC上的中线 AD 叫做 A
11、BC 的 “旋补中线 ”，点 A 叫做 “旋补中心 ” 特例感知： （ 1）在图 2，图 3 中， ABC是 ABC 的 “旋补三角形 ”， AD 是 ABC 的 “旋补中线 ” 如图 2，当 ABC 为等边三角形时， AD 与 BC 的数量关系为 AD= BC； 如图 3，当 BAC=90， BC=8 时，则 AD 长为 4 猜想论证： （ 2）在图 1 中，当 ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明 拓展应用 第 7 页（共 10 页） （ 3）如图 4，在四边形 ABCD， C=90， D=150， BC=12， CD=2 ， DA=6在四边形内部是否存在点
12、 P，使 PDC 是 PAB 的 “旋补三角形 ”？若存在，给予证明，并求 PAB 的 “旋补中线 ”长；若不存在，说明理由 【考点】 LO：四边形综合题 【分析】 （ 1） 首先证明 ADB是含有 30是直角三角形，可得 AD= AB即可解决问题； 首先证明 BAC BAC，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （ 2）结论： AD= BC如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 AD=DM，连接 EM， CM，首先证明四边形 ACMB是平行四边形，再证明 BAC ABM，即可解决问题； （ 3）存在如图 4 中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE AD 于 E，作线段BC 的
13、垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA、 PD、 PC，作 PCD 的中线 PN连接 DF 交 PC 于 O想办法证明 PA=PD， PB=PC，再证明 APD+ BPC=180，即可； 【解答】 解：（ 1） 如图 2 中， ABC 是等边三角形， AB=BC=AB=AB=AC， DB=DC， AD BC， BAC=60， BAC+ BAC=180， BAC=120， 第 8 页（共 10 页） B= C=30， AD= AB= BC， 故答案为 如图 3 中， BAC=90， BAC+ BAC=180， BAC= BAC=90， AB=AB， AC=AC， BAC BAC
14、， BC=BC， BD=DC， AD= BC= BC=4， 故答案为 4 （ 2）结论： AD= BC 理由：如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 AD=DM，连接 EM， CM BD=DC， AD=DM， 四边形 ACMB是平行四边形， AC=BM=AC， 第 9 页（共 10 页） BAC+ BAC=180， BAC+ ABM=180， BAC= MBA， AB=AB， BAC ABM， BC=AM， AD= BC （ 3）存在 理由：如图 4 中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE AD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA、 P
15、D、 PC，作 PCD 的中线 PN 连接 DF 交 PC 于 O ADC=150， MDC=30， 在 Rt DCM 中， CD=2 ， DCM=90， MDC=30， CM=2， DM=4， M=60， 在 Rt BEM 中， BEM=90， BM=14， MBE=30， EM= BM=7， DE=EM DM=3， AD=6， AE=DE， BE AD， PA=PD， PB=PC， 在 Rt CDF 中， CD=2 ， CF=6， tan CDF= ， CDF=60= CPF， 易证 FCP CFD， CD=PF， CD PF， CDP=90， ADP= ADC CDP=60， ADP 是等边三角形， ADP=60， BPF= CPF=60， BPC=120， APD+ BPC=180， PDC 是 PAB 的 “旋补三角形 ”， 在 Rt PDN 中， PDN=90，PD=AD=6， DN= ， PN= = 第 10 页（共 10 页） 四边形 CDPF 是矩形，
