1、数列通项公式的常见求法学案一、 观察归纳法：观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例 1 写出下列各数列的一个通项公式。 496,;2507 1,3 ,;48621,203,2005,20007，；0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0，； 3157,;246二、 公式法 ： 等差数列通项公式；等比数列通项公式例 2等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列， 求数nanS931,a25aS列 的通项公式.n解：设数列 公差为 )0(d 成等比数列， ，931, 9123a即 8)2(1ada
2、， 0 5S 211)4(25d由得： ，31ad nn5)(5练一练：1.已知等差数列 的公差 大于 ,且 是方程 的两根,数列 052a02712xnb的前 项和为 ,且 .求数列 , 的通项公式； nTnb21nb三、累加法：若 求 ，f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函1()nafna数、分式函数形式的函数。（1） 若 f(n)是常数，则为等差数列，利用等差数列通项公式即可；若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后转化为等差数列求和。例 3 已知 na的首项 1， nan2（ *N）求通项公式。解： )(21 1n)3(32a12nnan 21)( 2练习：已知数列
3、满足 ， ，则 =_ ；n1an1(2)na（2） 若 f(n)是二次函数形式，累加后利用分组求和。例 4 已知数列 满足 求 （补充：n11,.nan）222()136（3） 若 f(n)是含指数函数形式，累加后转化等比数列求和。例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123nnaa， na解：由 得 则123n1nn12321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.na练习：已知 中， 3a，nna21，求 。（4）若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 6 在数列 中，a113,(1)nnaa求练习：已知数列 满足 ， ，求此数列
4、的通项公式.na31)2(11nan四 累乘法 适用于： 的形式，其中 f(1)f(2)f(3)f(n)的值可求。1()nnafa例 7 ，11,()2)nnna在 数 列 中 ， 已 知 有 na求 数 列 的 通 项 公 式 。练习：1、 1+14,5nn naaa在 数 列 中 ， 已 知 有 求 数 列 的 通 项 公 式 。2、 （提高）数列 各项均为正数， 且na1a211()0,.nnnaa求五、构造法（1）形如 的递推数列都可以用待定系数法1(01,0)nnaABAB、 为 常 数 ， 且转化为公比为 A 的等比数列后，再求 。na（i）若 A=1 时，数列 为等差数列；若 B
5、=0 时，数列 为等比数列;nana（ii） 时方法：令 ，则 ，则 为公比等1,0B1+()ntAt-,tB求 t即 可 +nat于 A 的等比数列，利用公式求解。例 8 已知数列 中， ， ，求 .na1321nan解：设递推公式 可以转化为 即 .故32n )(1tt 321tan递推公式为 ,令 ，则 ,且)3(21nna3nab431ab231nab所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所以 .nb41 12nn 1练习 1 已知 ，求 ；1,3nana(2) 形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nnqap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nn1若 时，即：
6、，1pnnqap1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令 ，则 ,然后类型 1，累加求nnqpap)(11nabnnqpb)(1通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,令 ,1nq qapqnn1 nab则可化为 .然后转化为类型(1)来解，bpnn1iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.)(11 nnnn paqa 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11243nna， na
7、解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，112(nnn)124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 11435a所以 ，即152nn11nn解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1np12n nn)(1练习：1、已知 na中， 112,(),nn naa求扩展视野：（3）形如 时将 作为 求解21 nnapqan()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列211() nna 为等比数列。1na例 10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na211256
8、,nnaana解：设 211()nn比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）322则 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnaa1na，所以143n 14352nn练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na,821a03412nnaan答案： .n3六、倒数法 形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。分子只有一项1nakb例 11： ,31an解：取倒数： 113nnna是等差数列，na1)(1n 3)(21na练一练：1.已知数列 中，a ，a ，a （nN ） 求 ann121nnn七、阶差法（逐项相减法） 递推公式中既有 ，又有nSna分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用1,2nnSanaS相应的方法求解。例 12已知数列 的前 项和 满足 求数列 的通项公式。nn 1,)(ann解：由 1211aS当 时，有 ,2(21nnnn 1(),na21， .12a21()nnnn.)1(233)()(11nnn 经验证 也满足上式，所以a )1(23nna点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一11Snn定要合并练一练： 1.数列 满足 ，求 ；na11154,3nnan2、已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0n2)1(nnaSna
