1、 1奥数举一反三21. 平均数（一）专题简析：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数例 1 有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36个，苹果和桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个？分析与解答：（1）1 箱苹果1 箱梨1 箱橘子=423=126（个） ；（2）1 箱桃1 箱梨1 箱橘子=363=108（个）（3）1 箱苹果1 箱桃=372=74（个）由（1） （2）两
2、个等式可知：1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18（个） ，再根据等式（3）就可以算出：1 箱桃有（7418）2=28（个） ，1 箱苹果有 2818=46（个） 。1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个：372=74（个）1 箱苹果比 1 箱桃多多少个：42336=18（个）1 箱苹果有多少个：2818=46（个）练 习 一1，一次考试，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁二人平均分 95 分。问：甲、丁各得多少分？32，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的
3、平均体重是多少千克？3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树 18 棵，甲、丙两组平均每组植树 17 棵，乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵？例 2 一次数学测验，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分；男生平均每人 90.5 分。求这个班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高 9291.2=0.8（分） ，而男生每人比全班平均分低91.290.5=0.7（分） 。全体女生高出全班平均分 0.821=16.8（分） ，应补给每个男生 0.7 分，16.8 里包含有 24 个 0.7，即全班有 24 个男生。练 习 二1，两
4、组学生进行跳绳比赛，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下。乙组有多少人？2，有两块棉田，平均每亩产量是 92.5 千克，已知一块地是 5 亩，平均每亩产量是101.5 千克；另一块田平均每亩产量是 85 千克。这块田是多少亩？43，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖 7 元，乙知甲级糖有 4 千克，平均每千克 8 元；乙级糖有 2 千克，平均每千克多少元？例 3 某 3 个数的平均数是 2，如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3。被改的数原来是多少？分析：原来三个数的和是 23=6，后来三个数的和是 33=9，9 比 6 多出了 3
5、，是因为把那个数改成了 4。因此，原来的数应该是 43=1。练 习 三1，已知九个数的平均数是 72，去掉一个数之后，余下的数的平均数是 78。去掉的数是多少？2，有五个数，平均数是 9。如果把其中的一个数改为 1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？3，甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了 87 分，因此，算得四人的平均分是 88 分。求甲在这次考试中得了多少分？52. 平 均 数（二）例 1 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分。问这是他第几次测验？分析与
6、解答：100 分比 86 分多 14 分，这 14 分必须填补到前几次的平均分 84 分中去，使其平均分成为 86 分。每次填补 8684=2（分） ，14 里面有 7 个 2，所以，前面已经测验了 7 次，这是第 8 次测验。练 习 一1，老师带着几个同学在做花，老师做了 21 朵，同学平均每人做了 5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了 7 朵。求有多少个同学在做花？2，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是 94 分，如果数学算在内，平均每门 95 分。已知他数学得了 100 分，问这位同学一共考了多少门功课？3，两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳 152 次。甲组
7、有 6 人，平均每人跳 140 次，如果乙组平均每人跳 160 次，那么，乙组有多少人？例 2 两地相距 360 千米，一艘汽艇顺水行全程需要 10 小时，已知这条河的水流速度为每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，6要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为 36010=36（千米）是顺水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是366=30（千米） 。而逆水速度=静水速度水流速度，所以汽艇的逆水速度是306=24（千米） 。逆水行全程时所用时间是 36024=15（
8、小时） ，往返的平均速度是 3602（1015）=28.8（千米） 。练 习 二1，甲、乙两个码头相距 144 千米，汽船从乙码头逆水行驶 8 小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶 21 千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？2，甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小时，返回原地需要 10 小时；乙船逆水航行同样的一段水路需要 20 小时，返回原地需要多少小时？例 3 王强从 A 地到 B 地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行 12 千米。剩下的步行，每小时走 4 千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？分析与解答：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间
9、。由于题中没有告诉我们 A 地到 B 地间的路程，我们可以设全程为 24 千米（也可以设其他数） ，这样，就可以算出行全程所用的时间是 1212124=4（小时） ，再用 244 就能7得到行全程的平均速度是每小时 6 千米。练 习 三1，小明去爬山，上山时每小时行 3 千米，原路返回时每小时行 5 千米。求小明往返的平均速度。2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑 150 米，后一半路程中每分钟跑 100 米。求他在整个长跑中的平均速度。3，把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打 30 个字，乙每分钟打 20 个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？3. 长方形、正方形的周长同
10、学们都知道，长方形的周长=（长宽）2，正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。例 1 有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。思路与导航 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图 b） ，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形8重叠后的图形的周长相等。因此，
11、所求周长是 184=72 厘米。练习一1，下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的周长。2，下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。50cm3，有 6 块边长是 1 厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。9例 2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？思路导航 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块（如图） ，其中 AB 的面积是19244=176（平方厘米） 。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下
12、部分的周长的一半。1764=44（厘米） ，现在这块木板的周长是 442=88（厘米） 。练习二1，有一个长方形，如果长减少 4 米，宽减少 2 米，面积就比原来减少 44 平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。2，有两个相同的长方形，长是 8 厘米，宽是 3 厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？103，有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出 2 米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为 280 米。求划去的绿化带的面积是多少平方米？例 3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？思路导航 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab）2，三条竖着的线段和是 b2。所以，整个图形的周长是（ab）2b2，即 2a4b。练习三1，有一张长 40 厘米，宽 30 厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。2，一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。3，求下面图形（图 2）的周长（单位：厘米） 。
