1、 第 1 / 98 页第一讲 一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数 (0)ykxb称为一次函数，其函数图像是一条直线。若 0b时，则称函数 ykx为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。当 时，函数 ykx是单调递增函数，即函数值 y随 x增大（减小）而增大（减小）；当 0，是递减函数，即函数值 y随 x增大（减小）而减小（增大）。函数(0)kyx称为反比例函数，其函数图像是双曲线。当 且 时，函数值 随 增大（减小）而减小（增大）；当 0k且 x，函数值 y随 x增大（减小）而减小（增大），也就是说：当 0k时，反比例函数y分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当 0k时，函数
2、yx分别在第二或第四象限内是单调递增函数。若 1122(),().yxbkb当 2时， 时，两面直线平行。当 1时， 12时，两面直线重合。当 2k时，两直线相交。当 1时，两直线互相垂直。求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。例题精讲例 1：在直角坐标平面上有点 (1,2)A、 (4,)B、 (1,)Cc，求 为何值时 ACB取最小值。解 显然，当点 C在线段 内时， 最短。设直线 B方程为 ykxb，代入 ,、 ,2得24,kb解得456,k所以线段 AB为4(14),5yx代入 (1,)Cc，得62.例 2：求证：一次函数0
3、kyx的图像对一切有意义的 k恒过一定点，并求这个定点。解 由一次函数得 (2)(1)(),k整理得 (1)10xykx。因为等式对一切有意义的 成立，所以得第 2 / 98 页210,xy解得1259,xy当，195y时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点9,5.例 3：已知 m、 n、 c为常数， 20mn，并且 (1)(),fxnfxc求 ()fx。解 用 1x代换原方程中的 x，得 .f 用 1代换原方程中的 x，得 1()().fxf 2得22(.ffcc因为 20m，所以 2 12()cnf，所以)fxn.例 4:如图，设11()(),fxmxxm因为当 1时，0,()m
4、fx为递增函数，()fx在 0,1上的最小值为 1().f m所以 ().(101fgmm因此)在 ,上为递减函数；()gm在 0,1上为递增函数，故 (的最大值为 ().g例 5：画函数24xy的图像。解 0， ， 240x， 2,x将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为2x的一切实数。 ,2yx;0x例 6：一次函数 (1)ykx图像交 x轴于 A 点，将此直线沿直线 yx翻折交 y轴于 B 点，这两条直线相交于 P 点，且四边形 OAP B 的面积为 3，求 k 的值。第 3 / 98 页解 设点 P 坐标为(,)t又 OAP与 B是翻折而成，所以 OAPS面积是四边形 OAPB 的一
5、半等于32。设 0y代入 ,kx得 1,点为 (1,0).由1132OAPSCt得3t即点 ,.p因点在 kx上，代入得 ,.2A 卷一、填空题1.设21()kyx是反比例函数，则 k ；其图像经过第 象限时；当 0时， y随 增大而 。2.两个一次函数 3,3,2x的图像与 y轴所围成的三角形面积是 。3.等腰三角形一个底角的度数记作 ，顶角的度数记作 x，将 表示成 x的函数是 ，其中 x的取值范围是 。4.如果函数12ay的图像与直线 3yx平行，则 a 。5.已知四条直线 3mx、 1、 、 1所围成的车边形的面积是 12，则 m 。6.一次函数 kb的图像经过点 (,2)p且与 轴交
6、于点 A，与 y轴交于点 B。若5sin,PAO则线段 B的长为 。7.已知一次函数 yx中，若 x的值每增加 4， y的值也相应增加 8，则 k 。8.如果把函数 2的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。9.已知一次函数24(31)3,nn则 的值为 。10.若直线 5ymx不经过第二象限，则 m的取值范围是 。二、解答题11.求证：不论 k为何值，一次函数 (21)(3)(1)0kxyk的图像恒过一定点。12.某商人将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可以销售 100 件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润已知这种商品每提高价 1 元（每件
7、），日销售量就要减少 10 件，那么他要使每天获利最大应把售出价定为多少元？第 4 / 98 页B 卷一、填空题1.函数1()0,1)yaxax的最小值为 。2.如图，正比例函数 y和 (的图像与反比例函数(0)kyx的图像分别交于 A点和 C点。若直角三角形 AOB和直角三角形 CD的面积分别为 1S和 2，则 1S与 2的大小关系是 。3.点 (4,0)、 (,)B是平面直角坐标系中的两定点， 是 2yx图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形 或画出 个。4.直线 0,)axbycac经过 象限。5.一个三角形以 ()A、 (1及 (9,C为三个顶点，一条与 x轴相垂直的直线将该三角形划
8、分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为 。6.已知函数3yx及 4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为 。7.双曲线k与一次函数 ,ykx的图像有两个不同的交点，则 k的取值范围是 。8.已知反比例函数(0)，当 时 y随 x的增大而增大，则一次函数142ykx的图像经过 象限。9.已知实数 x、 y满足 4312,xy则2a的取值范围是 。10.一次函数25m与 3mx的图像在第四象限内交于一点，则整数 m 。二、解答题11.设直线 2(1)yx与直线 2(5)yx相交于点 A，它们与 x 轴的交点为 ,BC，求 A中 BC 边上的中线所在的直线方程。12.已知函数
9、3fm，(1) 求证：无论 m取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x在 1内变化时， 在 4内，求实数 的值。13.若对于满足 02x的一切实数 x，函数 (2)37ykx的值恒大于 0，求实数 k的取值范围。14A、B 两厂生产某商品的产量分别为 60 吨与 100 吨，供应三个商店。甲店需 45 吨，乙店需 75 吨，丙店需 40 吨。从 A 厂到三商店每吨运费分别为 10 元、5 元、6 元，从 B 厂到三商店每吨运费分别为 4 元、8 元、15 元，如何分配使总运费最省？第 5 / 98 页C 卷一、填空题1函数 3yxb与 2yax的图像关于直线 yb对称则 a ，b。 2三个
10、一次函数 1k、 2k、 3ykxb在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线 1l、 2、 3l，则 1、 2、 的大小关系是 。3.已知函数 (2)3,yax当自变量 x的取值范围 为 5时，有既能取到大于 5 的值，又能取到小于 3 的值，则实数 a的取值范围是 。4已知 bc，则函数 yabc的最小值是 。5一次函数 ()yfx满足 ()87fx，则 ()fx 。6已知 0a并且,bcp则一次函数 1)yP的图像一定通过 象限。7.已知一次函数 (a为整数）的图像经过点(98，19) ，它与 轴的交点为(p，0)，与 y 轴的交点为(0，q).若 P 为质数，q 为正整数，则适合上述
11、条件的一次函数的个数是 个。 8.把函数1yx的图像沿 轴向 平移 个单位，再沿 y 轴向平移个单位，得到12xy的图像。9.方程2460y表示成两个一次函数是 。10.一次函数 ab的图像经过点(10，13），它在 x轴上的截距是一个质数，在 y 轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有 个。二、解答题11.如图，设直线 (1)0kxy与坐标轴所构成的直角三角形的面积是 kS，求1239.SS 12.在直角坐标系中有一个矩形 ABCD，点 与坐标原点重合， BA在 y轴的正半轴上， BC在 x轴的正半轴上，点 P在 边上，直线 3ykx经过点 P，且与 x轴交于点 Q。若 10，24,BAC的
12、面积是 PQ的 5 倍，求直线的解析式。第 6 / 98 页13.在相距为 L 的两个车库里，分别有 1m、 2辆汽车，拟在 A、B 两个车库之间设修理站以检修车辆。若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？14.已知直线 1:4Lyx和点 (6,)P，在直线 1L上求一点 Q，使过 PQ 的直线与直线 1L以及 x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。第二讲 一元二次方程的解法知识点、重点、难点例题精讲例 1：解方程2(1)30.x第 7 / 98 页例 2：解方程2140.x例 3：解关于 x的方程2()()0.abcxabc例 4：已知首项
13、系数不相等的两个关于 x的二次方程22(1)()()0axxabb及（ ,是正整数）有一个公共根，求2ba的值。第 8 / 98 页例 5：若二次方程20xpq有实根，其中 p、 q为奇数。证明：此方程的根是无理数。例 6：解关于 x的方程：222(1)()0.xttxt习题A 卷一、填空题1. 设方程2(1)()30mx，当 m 时，是一元一次方程；当 m 时，是一元二次方程。2. 方程332，用 方法较简捷，其根是 。3. 用公式法解4x，其根是 。4. 将方程 270化成 ()0axn的形式，可得 。5. 若 1是方程 bc的一个根，则 abc 。6. 若方程2()3mxm有一个根为 0
14、，则 m 。7. 关于 的方程 24x，则 x 。第 9 / 98 页8. 若 a是方程 20xba的根，则 ab 。9.已知473，则241x的值是 。10.如果对于任意两个实数 、 ，定义 *2，解方程：2*()10x，可得 。二、解答题11.用公式法解2()()0.mxxm12.若方程 210xb与方程 20xb至少有一个相同的实数根，求实数 b的值。B 卷一、填空题1. 解方程 257315840x，则 x 。2. 解方程 ，则 。3. 当 m 时，方程2()()20cm有一个根是 1。4. 已知3x，则 43167xx 。5. 已知 b、 c为方程 20b的两个根，且 ,b，则 ，
15、c 。6. 若 2810 是方程 a的一个根，其中 a、 为有理数，则 ab 。7. 若 1、 是一元二次方程 2x的两个根，则 。8. 若 m是方程20()axb的一个根，则这个方程的另一个根是 。9. 已知二次方程 (1)(3)()10xcx有根 0 与 1，则 :abc 。10. 已知关于 的方程210a恰有一个实根，则 a应取值为 。二、解答题11.已知方程 21950x的一个正根为 a，求1a+第 10 / 98 页112920aa的值。12.若 0abc，在一元二次方程2()()()0abxca的两个实数根中，求较大的实数根。13.证明：若 2nkm是方程 20xnc的一个根，则 2nkm也是它的一个根。C 卷一、填空题1. 已知 n是正整数，且 24175n表示两个相邻正整数之和，则 n的值有 个。2. 方程 10x的实根个数是 个。3. 方程 2的解是 。4. 已知2,1()mnmn，则 5 。5. 已知关于 x的方程 0abxca无实根，甲因看错了二次项系数解的根为 2、4；乙因看错了某项的符号解的根为1、4，则34的 值是 。
