1、第四章 习题答案4-1 （1 ）（2 ）（3 ）（4 ）0j -0.25o-0.5-3图 4-1 0j-0.25o2-1o-图 4-0j -0.25-0.5图 4- 0j -0.25-3o-0.51-1-1图 4-4-2 （1 ） （不在根轨迹上，舍去）8.3,8.021dd（2 ） （先可估算，在此基础上试探出结果）6（） 7.1,.214-3 解： 根轨迹的分支数为：由于 n=，m=0，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点： p1=0,p2=-j, p2=- -j；三条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为： ,- 根轨迹的渐近线：本系统有三条根轨迹渐近线： ,3)12(,3
2、mnkmnzpajia根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将 代入方程解得：02)(3KssDjs 4,2K根轨迹在 p2，p 3 处的起始角：，而0045915)(2 kp 0453p因此，概略画出系统的轨迹如图 4-示。 60o -60o p1 p2p3 -2/3-1j图 4-5 根轨迹图4-4 解：系统的开环传函为： )2(4)sKG 根轨迹的分支数为：由于 n=，m=，系统有二条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=-；一条根轨迹分支趋于 z=-4,一条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为： 0,-2 ,-4,- 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足
3、方程：,解得：421d8.6,.1d因此，概略画出系统的轨迹如图 4-6 示。由根轨迹图求出在分离点 d1 ，d 2 处的开环增益为：,由根轨迹图可知，3.,69.021K系统无超调时的开环增益为： 和69.0K。3.4-5 解：系统特征方程为： ，其等效开环传函为：0)(12as，根据分离点求法，有关系式：)1()(2sKHsG，得：da102)3(2ad解得： 4)9(1)(416)()3(22,1 aad可见，系统若有分离点，其条件为上式根号内的值大于零，即： 和 。1a1） 当 a=1 时，系统的开环传函为：，系统的根轨迹为虚轴，如图 4-7 示。此时系统没有分离点。2)(sKHG2）
4、 当 a=9 时，系统的开环传函为：，有三条根轨迹，其渐近线为： ，其分离点为：)9(1)(2s 4,90a图 4-6 根轨迹图o jd1d2，其根轨迹如图 4-8 示，可见系统有一个分离点。34)(21ad3）当 时：系统根轨迹的渐近线与实轴的交点为： ，此时系10 021a统根轨迹如图 4-9 示，可见无分离点。4）当 时：由根轨迹分离点表达式可见：a，而 ，不在根0416)3()(21 ad 0416)3()(22 aad轨迹上，舍去，因此只有一个分离点，根轨迹如图 4-10 示。5）当 时， 式中根号内部值小于零，无实9a4)9(1)3(2,1d数解，因此没有分离点。系统根轨迹如图 4
5、-11 示。6）当 时，分离点有两个解，其根轨迹如图 4-12 示。d结论：由以上分析可知：1）当 时，系统根轨迹无分91,0,1aa离点。2）当 时，系统根轨迹有一个分离点。3）当 时，系统根轨迹0,9a 有二个分离点。4-6 1）解： 根轨迹的分支数：由于 n=4，m=0，系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=-3，p 3=-5,p4=-5；四条根轨迹分支趋于无穷远j图 4-7j0-1图 4-9-a-9j0-1图 4-11-aj0-1图 4-10-aj 0-1-9 -4 -3图 4-8j 0-1-a图 4-12处。 实轴上的根轨迹为： 0,-3 根轨迹的分离点坐
6、标：根轨迹分离点坐标满足方程：,解得： （舍去）05231d75.3,12d 根轨迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线： 4,)(,. mnkmnzpajia 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将 代入方程解得：07513)(24 KsssDjs，系统的根轨迹方程如图 4-13 示。8.,.2K2）解： 根轨迹的分支数：由于 n=4，m=1，系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=0，p 3=-5,p4=-12；三条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于 z=-1。 实轴上的根轨迹为： -1,-5 ，-12,- 根 轨迹的渐近线：本系统有三条 根轨迹渐近线：
7、 ,3)12(,3.5mnkmnzpajia系统的 根轨迹方程如图 4-14 示。-3.25-5-1-3j图 4-13图 4-14 根轨迹图-5 -1 j04-7 1）解： 根轨迹的分支数为：由于 n=3，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=-3， p2=-4；二条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于 z=-5。 实轴上的根轨迹为：0,-3，-4,-5 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：5431dd解得： . 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线： 2)1(,1mnkmnzpajia系统的根轨迹方程如图 4-15 示。2）解： 根轨迹的分支数为：
8、由于 n=2，系统有三条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=-1+j,p2=-1-j；g 一条根轨迹分支趋于无穷远处，一条根轨迹终于 z=-2。 实轴上的根轨迹为：-2,- 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：j 0-41图 4-15-5 -3 d -11211djjd解得： 4.3 根轨迹的渐近线：本系统有一条根轨迹渐近线：负实轴。系统的根轨迹方程如图 4-16 示。3）解： 轨迹的分支数为：由于 n=4 系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=-1+j,p3=-1-j，p 4=-3；四条根轨迹分支趋于无穷远处。 实轴上的根轨迹为：0,-3 根轨
9、迹的渐近线：本系统有四条根轨迹渐近线： 43,)12(,5.1 mnkmnzpajia 根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：，将 代入方程解得： 。0685)(234KsssDjs 16.8,2.K 根轨迹在 p2处起始角： 0104.85.9135)2( tgkp系统的根轨迹方程如图 4-16 示。4）解： 轨迹的分支数为：由于 n=4 系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p1=0,p2=0,p3=-12，p 4=-12；二条根轨 迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于 z1=- 6+j5，z2=-6-j5。 实轴上无根轨迹。 根轨迹的渐近线：本系统有二 条根轨迹渐近线： 2)
10、1(,6mnkmnzpajia图 4-16 根轨迹图j-1od-2j-j图 4-16 根轨迹图-5 d1-1.25jp2系统的根轨迹方程如图 4-17 示。5）解： 轨迹的分支数为：由于 n=4 系统有四条根轨迹分支。 起点和终点：根轨迹起点：p 1=0,p2=0,p3=-12，p 4=-12；二条根轨迹分支趋于无穷远处，二条根轨迹终于 z1=-4，z 2=-8。 实轴上的根轨迹为：-4,-8 根轨迹的渐近线：本系统有二条根轨迹渐近线： 2)1(,6mnkmnzpajia 根轨迹的分离点坐标：根轨迹分离点坐标满足方程：8412dd解得： 6系统的根轨迹方程如图 4-18 示。4-8 图 4-1
11、7 根轨迹图z1-6j00-12z2图 4-18 根轨迹图-8 -4j0 0 -124-9单位反馈系统的开环传递函数为 )1(2)*sKG证明：复数根轨迹部分是以（2，j0）为圆心，以 为半径的一个圆。解：由系统传函数可知，该系统的特征方程为：，02)1()2()1() KssKsD解得： 2, 8j令： ，2)(2,)( yx由 的表达式可得： ，将其代入 的表达式，有：1Kxy，化简得：2)()12(81xy，可见，复数根轨迹部分是以（-2，j0 ）为圆心，以 为半径的)(x 2jo o a)jo o b)joo c)jood)图 4-20 根轨迹图一个圆。根轨迹如图 4-21 示。4-10解：系统有两条根轨迹，其起点为：0,-2；终点为无穷远处。实轴上的根轨段为：0,-2，迹根轨迹的渐近线为： 2,1ajiamnzp作出系统的根轨迹如图 4-22 示。由 可求得 ，在根轨迹图上作 的阻尼线，使其与实轴负5.006rcos5.0方向的夹角为 ，交根轨迹于点：（ ,j ） ，根据根轨迹的模值方程，有：06134312sK4-11 用 MATLAB 绘制题 4-3 的根轨迹。num=1 ;-2 -1 0j60o 图 4-22 系统根轨迹图图 4-21 根轨迹图o 12jd1d2
