1、1 极坐标与参数方程综合运用题型 (一 ) 【题型分析】 题型一 圆上的点到直线距离的最值 【例 1】 已知曲线 C1的参数方程为32212xtyt 曲线 C2的极坐标方程为 =2 cos（ ），以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 （ 1）求曲线 C2的直角坐标方程；（ 2）求曲线 C2上的动点 M 到直线 C1的距离的最大值 解：（ ） 即 2=2（ cos+sin）， x2+y2 2x 2y=0，故 C2的直角坐标方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 （ ） 曲线 C1的参数方程为 ， C1的直角坐标方程为 ， 由（ ）知曲线 C2是以（ 1， 1）为圆心的圆
2、，且圆心到直线 C1的距离 ， 动点 M 到曲线 C1的距离的最大值为 【变式实践 1】 1 已知曲线 C1： 2sin ，曲线 2C ：3 2545xtyt （ t 为参数） （ I）化 C1为直角坐标方程，化 C2为普通方程； （ II）若 M 为曲线 C2与 x 轴的交点， N 为曲线 C1上一动点，求 |MN|的最大值 解：（ I）曲线 C1的极坐标化为 2=2sin， 又 x2+y2=2， x=cos， y=sin 所以曲线 C1的直角坐标方程 x2+y2 2y=0， 因为曲线 C2的参数方程是 ， 消去参数 t 得曲线 C2的普通方程 4x+3y 8=0 （ II）因为曲线 C2为
3、直线，令 y=0，得 x=2，即 M点的坐标为（ 2， 0） 曲线 C1 为圆，其圆心坐标为 C1（ 0， 1），半径 r=1，则 ， |MN|的最大值为 2 2 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为： 1sin( )62，曲线 C 的参数方程为： 2 2 cos2 sinxy （ 为参数） （ I）写出直线 l 的直角坐标方程；（ ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 解：（ 1） 直线 l 的极坐标方程为： ， （ sin cos） = ， ， x y+1=0 （ 2）根据曲线 C的参数方程为： （ 为参数）得（ x 2）
4、2+y2=4，它表示一个以（ 2， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为： d= ， 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 = 3已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （ t 是参数），以原点 O为极点， Ox 为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2 cos( )4 （ 1）求圆心 C 的直角坐标；（ 2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 解：（ 1）由圆 C的极坐标方程 =2cos（ + ），化为 ， 展开为 2= ，化为 x2+y2= 平方为 =1， 圆心为 （ 2）由直线 l 上的点向圆 C引切线长 = 5， 由直线 l
5、 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 5 题 型 二 利用三角函数求最值 【例 2】 在直角坐标系 xOy中，直线 l的方程为 x y 4 0， 曲线 C的参数方程为 x 3cos ，y sin (为参数 ) (1)已知在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，点 P的极坐标为 4， 2 ，判断点 P与直线 l的位置关系； (2)设点 Q是曲线 C上的一个动点，求它到直线 l的距离的最小值 解： (1)把极坐标系下的点 P 4， 2 化为直角坐标得 P(0,4)， 3 P(0,4)满足方程 x y 4 0， 点 P 在直线 l 上
6、 (2)因为点 Q是曲线 C 上的点，故可设点 Q的坐标为 ( 3cos ， sin )，所以点 Q 到直线 l 的距离 d | 3cos sin 4|2 2cos 6 42 ( R)则 当 cos 6 1 时， d 取得最小值 2. 【变式实践 2】 1 在直角坐标系中 ， 曲线 C1的参数方程为： 2cos2 sinxy(为参数 )， 以原点为极点 ， x轴的正半轴为极轴 ， 并取与直角坐标系相同的长度单位 ， 建立极坐标系 ， 曲线 C2的极坐标方程为：cos . (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)若 P， Q分别是曲线 C1和 C2上的任意一点 ， 求 |PQ|的最小值 解：
7、(1) cos ， x2 y2 x， 即 (x 12)2 y2 14. (2)设 P(2cos ， 2sin )， 易知 C2(12， 0)， |PC2| （ 2cos 12） 2（ 2sin ） 24cos2 2cos 14 2sin2 2cos2 2cos 94， 当 cos 12时 ， |PC2|取得最小值 ， |PC2|min 72 ， |PQ|min 7 12 . 2 在直角坐标系 xOy 中 ， 以原点 O 为极点 ， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程 为 222=1 sin ， 直线 l的极坐标方程为 42 si n cos . (1)写出曲线 C1与直
8、线 l的直角坐标方程； (2)设 Q为曲线 C1上一动点 ， 求 Q点到直线 l 距离的最小值 解： (1)C1： x2 2y2 2， l： 2y x 4. (2)设 Q( 2cos ， sin )， 则点 Q到直线 l 的距离 d | 2sin 2cos 4|3 |2sin（ 4 ） 4|3 232 33 ， 当且仅当 4 2k 2 (k Z)， 即 2k 4 (k Z)时取等号 3以平面直角坐标系的原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 C 的参数方程为 x 2cos ，y 3sin (是参数 )，直线 l的极坐标方程为 cos 6 2 3. (1)求直线 l的直角坐标方
9、程和曲线 C的普通方程； (2)设点 P为曲线 C上任意一点，求点 P到直线 l的距离的最大值 解： (1) 直线 l 的极坐标方程为 cos 6 2 3， cos cos6 sin sin6 2 3， 32 x 12y 2 3， 即直线 l 的直角坐标方程为 3x y 4 3 0. 4 由 x 2cos ，y 3sin 得x24y23 1， 即曲线 C 的普通方程为x24y23 1. (2)设点 P(2cos ， 3sin )，则点 P到直线 l 的距离 d |2 3cos 3sin 4 3|2 | 15 4 3|2 ，其中 tan 12. 当 cos( ) 1 时， dmax 15 4 3
10、2 ，即点 P到直线 l 的距离的最大值为 15 4 32 . 4 已知曲线 C： x24y29 1， 直线 l： x 2 t，y 2 2t (t为参数 ) (1)写出曲线 C的参数方程 ， 直线 l的普通方程； (2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30 的直线 ， 交 l于点 A， 求 |PA|的最大值与最小值 解 (1)曲线 C 的参数方程为x 2cos ，y 3sin ( 为参数 )直线 l 的普通方程为 2x y 6 0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin )到 l 的距离为 d 55 |4cos 3sin 6|， 则 |PA| dsin 30 2 55
11、 |5sin( ) 6|， 其中 为锐角 ， 且 tan 43. 当 sin( ) 1 时 ， |PA|取得最大值 ， 最大值为 22 55 . 当 sin( ) 1 时 ， |PA|取得最小值 ， 最小值为 2 55 . 5 在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 x 1 45ty 1 35t(t为参数 )，若以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos 4 . (1)求直线 l被曲线 C所截得的弦长； (2)若 M(x， y)是曲线 C上的动点，求 x y的最大值 解： (1)直线 l 的参数方程为 x 1 45ty 1 35t(t 为参数 )，消去
12、 t，可得 3x 4y 1 0. 由于 2cos 4 2 22 cos 22 sin ， 即有 2 cos sin ，则有 x2 y2 x y 0，其圆心为 12， 12 ，半径为 r 22 ， 圆心到直线的距离 d 32 2 19 16 110，故弦长为 2 r2 d2 2 12110075. 5 (2)可设圆的参数方程为 x 12 22 cos y 12 22 sin ( 为参数 )，即 M 12 22 cos ， 12 22 sin ， 则 x y 22 cos 22 sin sin 4 ，由于 R，则 x y 的最大值为 1. 6 (2015新乡许昌平顶山第二次调研 )已知直线 l：x
13、 1 12ty 32 t(t为参数 )， 曲线 C1： cossinxy (为参数 ) (1)设 l与 C1相交于 A， B两点 ， 求 |AB|； (2)若把曲线 C1上各点的横坐标压缩为原来的 12， 纵坐标压缩为原来的 32 ， 得到曲线 C2， 设点 P是曲线 C2上的一个动点 ， 求它到直线 l的距离的最小值 解： (1)l 的普通方程为 y 3(x 1)， C1的普通方程为 x2 y2 1. 联立方程 y 3（ x 1）x2 y2 1 ， 解得 l 与 C1的交点为 A(1， 0)， B 12， 32 ， 则 |AB| 1. (2)C2的参数方程为x 12cos y 32 sin
14、( 为参数 )故点 P的坐标是 12cos ， 32 sin . 从而点 P 到直 线 l 的距离 d 32 cos 32 sin 32 34 2sin（ 4 ） 2 ， 当 sin 4 1 时 ， d 取得最小值 ， 且最小值为 64 ( 2 1) 题型三 根据最值求点坐标 【 例 3】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 3 cossinxy （ 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin( ) 4 24 （ 1）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （ 2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C
15、2上点的距离的最小值，并求此时点 P 坐标 解：（ 1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）， 则由 sin2+cos2=1化为 +y2=1，曲线 C2的极坐标方程为 sin（ + ） =4 ， 6 即有 sincos +cossin =4 ，即为直线 x+y 8=0； （ 2）设 P（ cos， sin），则 P 到直线的距离为 d， 则 d= = ，则当 sin（ ） =1，此时 =2k， k 为整数， P 的坐标为（ ， ），距离的最小值为 =3 【变式实践 3】 1 在直角坐标系 xOy 中 ， 直线 l 的参数方程为x 3 12t，y 32 t(t 为参数 )， 以原点为极点 ， x
16、 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ， C的极坐标方程为 2 3sin .(1)写出 C的直角坐标方程； (2)P为直线 l上一动点 ，当 P到圆心 C的距离最小时 ， 求 P的直角坐标 解： (1)由 2 3sin ， 得 2 2 3 sin ， 从而 x2 y2 2 3y， 所以 x2 (y 3)2 3. (2)设 P 3 12t， 32 t ， 又 C(0， 3)， 则 |PC| 3 12t2 32 t 32 t2 12， 故当 t 0 时 ， |PC|取得最小值 ， 此时 ， P 点的直角坐标为 (3， 0) 2 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
17、极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 sin2 ， 0,2.（）求曲线 C 的直角坐标方程； （）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ： 3 3,32xtyt （ t 为参数， tR ）的距离最短，并求出点 D 的直角坐标 . （）解：由 sin2 ， 0,2，可得 2 2 sin ，因为 2 2 2xy ， sin y ，所以曲线 C 的普通方程为 2220x y y （或 22 11xy ） （）解法一： 因为直线 l 的参数方程为 3 3,32xtyt （ t 为参数， tR ）， 消去 t 得 3 5 0xy 因为曲线 C 22 11xy 是以 G 1,0 为圆心， 1 为半径的圆
18、， 因为点 D 在 曲线 C 上 ，所以可设点 D cos ,1 sin 0,2 所以点 D 到直线 l 的距离为 3 c os sin 42d 2 sin3 7 因为 0,2，所以当6 时 ， min 1d 此时 D 3322，所以点 D 的坐标为 3322， 解法二： 因为直线的参数方程为 3 3,32xtyt （ t 为参数， tR ）， 消去 t 得直线 l 的普通方程为 35yx 因为曲线 C ： 22 11xy 是以 G 1,0 为圆心， 1 为半径的圆， 设点 00,D x y ，且点 D 到直线 l ： 35yx 的距离最短， 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l ： 3
19、5yx 平行 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 1 ，即 001 31y x 因为 220011xy ，解得0 32x 或0 32x 所以点 D 的坐标为 3122，或 3322， 由于点 D 到直线 35yx 的距离最短，所以点 D 的坐标为 3322， 3已知曲线 C1： ，（ 为参数）， C2： ，（ 为参数） （ ）化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ ）若 C1上的点 P对应的参数为 = ， Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线 C3： ，（ t 为参数）距离的最小值及此时 Q 点坐标 解：（ ）据题，由曲线 C1： ，（ 为参数），得（ x
20、+4） 2+（ y 3） 2=1， 它表示一个以（ 4， 3）为圆心，以 1 为半径的圆， 由 C2： ，（ 为参数）得 ， 它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆， （ ）当 时， P（ 4， 4）， Q（ 8cos， 3sin），故 M（ 2+4cos， 2+ sin）， 8 由直线 C3： ，（ t为参数），得 x 2y 7=0，它表示一条直线， M 到该直线的距离为： d= = |5cos（ +） 13|，（其中 sin= ， cos= ）， 当 cos（ +） =1 时， d 取最小值 ， 从而，当 sin= ， cos= ，时， d 有最小值
21、，此时，点 Q（ ， ） 【强化训练】 1在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（ ， ），半径 r= （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）若 0， ），直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），直线 l 交圆 C 于 A、 B两点，求弦长 |AB|的取值范围 解：（ ） C（ ， ）的直角坐标为（ 1， 1）， 圆 C 的方程为（ x 1） 2+（ y 1） 2=3 化为极坐标方程是 2 2（ cos+sin） 1=0 （ ）将 代入圆 C的直角坐标方程（ x 1） 2+（ y 1） 2=3， 得（ 1+tcos） 2+（ 1+tsin） 2=3，即 t2+2t（ cos+sin） 1=0
22、t1+t2= 2（ cos+sin）， t1t2= 1 |AB|=|t1 t2|= =2 0， ）， 2 0， ）， 2 |AB| 2 即弦长 |AB|的取值范围是 2 ， 2 ） 2在以直角坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线 C1的方程是 =1，将 C1向上平移 1 个单位得到曲线 C2（ ）求曲线 C2的极坐标方程； （ ）若曲线 C1的切线交曲线 C2于不同两点 M， N，切点为 T，求 |TM|TN|的取值范围 解：（ I）曲线 C1的方程是 =1，即 2=1，化为 x2+y2=1， 将 C1向上平移 1 个单位得到曲线 C2： x2+（ y 1） 2=1
23、，展开为 x2+y2 2y=0 则曲线 C2的极坐标方程为 2 2sin=0，即 =2sin （ II）设 T（ cos， sin）， 0， 切线的参数方程为： （ t 为参数）， 代入 C2 的方程化为： t2+2tcos（ ） sin+1 2sin=0， t1t2=1 2sin， |TM|TN|=|t1t2|=|1 2sin| 0， 1， |TM|TN|的取值范围是 0， 1 3 在直角坐标系 xOy 中 ， 直线 l 的参数方程为x 3 12t，y 32 t(t 为参数 )， 以原点为极点 ， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ， C的极坐标方程为 2 3sin . (1)写出 C的直角坐
24、标方程； 9 (2)P为直线 l上一动点 ，当 P到圆心 C的距离最小时 ， 求 P的直角坐标 解： (1)由 2 3sin ， 得 2 2 3 sin ， 从而有 x2 y2 2 3y， 所以 x2 (y 3)2 3. (2)设 P 3 12t， 32 t ， 又 C(0， 3)， 则 |PC| 3 12t2 32 t 32 t2 12， 故当 t 0 时 ， |PC|取得最小值 ， 此时 ， P 点的直角坐标为 (3， 0) 4在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2cos （
25、1）求曲线 C2的直角坐标方程； （ 2）已知点 M 是曲线 C1上任意一点，点 N 是曲线 C2上任意一点，求 |MN|的取值范围 解：（ 1）由 =2cos，得 2=2cos， x2+y2=2x， （ x 1） 2+y2=1， （ 2）设点 M（ 4cos， 3sin），则 |MC2| 1|MN|MC2|+1， |MC2|2=（ 4cos 1） 2+9sin2=7cos2 8cos+10， 当 cos= 1 时，得 |MC2|2max=25， |MC2|max=5， 当 cos= 时，得 |MC2|2min= ， |MC2|min= ， |MC2| 1|MN|MC2|+15+1， |MN|
26、的取值范围 ， 6 5已知曲线 C1： ，（ 为参数）， C2： ，（ 为参数） （ ）化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ ）若 C1上的点 P对应的参数为 = ， Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线 C3： ，（ t 为参数）距离的最小值及此时 Q 点坐标 解：（ ）据题，由曲线 C1： ，（ 为参数），得（ x+4） 2+（ y 3） 2=1， 它表示一个以（ 4， 3）为圆心，以 1 为半径的圆， 由 C2： ，（ 为参数）得 ， 它表示一个中心为坐标原点，焦点在轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3 的椭圆， （ ）当 时， P（ 4， 4）， Q
27、（ 8cos， 3sin），故 M（ 2+4cos， 2+ sin）， 由直线 C3： ，（ t为参数），得 x 2y 7=0，它表示一条直线， M 到该直线的距离为：d= = |5cos（ +） 13|，（其中 sin= ， cos= ）， 10 当 cos（ +） =1 时， d 取最小值 ，从而，当 sin= ， cos= ，时， d 有最小值 ， 此时，点 Q（ ， ） 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知三圆 C1： x2+y2=4， C2：（ x+ ） 2+（ y 1） 2=4， C3： （ 为参数）有一公共点 P（ 0， 2） （ ）分别求 C1与 C2， C1与 C3异于点 P
28、 的公共点 M、 N 的直角坐标； （ ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点 O、 M、 N 的圆 C 的极坐标方程 解：（ I）圆 C3的直角坐标方程为（ x ） 2+（ y 1） 2=4 联立方程组 ，解得 或 M（ ， 1）， N（ ， 1） （ II） M， N 的中垂线方程为 x=0，故过点 M， N， O 三点的圆圆心在 y 轴上， 设圆的半径为 r，则（ r 1） 2+ =r2，解得 r=2 圆心坐标为（ 0， 2） 经过三点 O、 M、 N的圆 C 的直角坐标方程为 x2+（ y+2） 2=4即 x2+y2+4y=0 经过三点 O、 M、 N的圆 C
29、 的极坐标方程为 2+4sin=0，即 = 4sin 7在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心C 极坐标为 (1, )2 ，半径 r=1（ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）若 (0, ) 2 ，直线 l 的参数方程为 1 cos2 sinxtyt （ t 为参数），点 P 的直角坐标为 (1,2) ，直线 l 交圆 C 于 A， B 两点，求 的最小值 解：（ 1） 圆 C的圆心 C 极坐标为（ 1， ），半径 r=1， 圆心 C 的直角坐标 C（ 0， 1）， 圆的直角坐标方程为 x2+（ y 1） 2=1，即 x2+y2 2y=0， 圆 C 的极坐标方程为 2 2sin=0，即 =2sin （ 2） l 的参数方程为 代入圆 C： x2+（ y 1） 2=1，得 t2+2（ sin+cos） t+1=1， 由直线参数方程的几何意义得 |PA|+|PB|=2|sin+cos|， |PA|PB|=1 = ， 0， ，当 = 时， 的最小值 8已知曲线 C 的极坐标方程是 =1，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，
