1、 1 【知识要点】 1 空间直线和平面的位置关系： (1)空间两条直线： 有公共点：相交，记作： a b A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交 无公共点：平行或异面 平行，记作： a b 异面中特殊位置关系：异面垂直 (2)空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交 直线在平面内，记作： a 直线与平面相交，记作： a A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交 无公共点：直线与平面平行，记作： a (3)空间两个平面： 有 公共点：相交，记作： l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交 无公共点：平行，记作： 2 空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理 1：
2、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 如果一个
3、平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平 面的两条直线平行 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图： 【例题分析】 例 2 在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， M， N分别是 AB， PC 的中点，求证： MN平面PA D 2 【分析】 要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；
4、题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造 (添加 )中位线辅助证明 证明： 方法一，取 PD 中点 E，连接 AE， NE 底面 ABCD是平行四边 形， M， N分别是 AB， PC 的中点， MA CD， .21CDMA E是 PD 的中点 ， NE CD， .21CDNE MA NE，且 MA NE， AENM是平行四边形， MN AE 又 AE 平面 PAD， MN 平面 PAD， MN平面 PA D 方法二取 CD中点 F，连接 MF， NF MF AD， NF PD， 平面 MNF平面 PAD， MN平面 PAD 【评述】 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线平
5、行： a c， b c， a ， a a ， b b a， b a b a b a b a b (2)证明线 面 平行： a a b b ， a a a a a (3)证明 面面 平行： a ， b a ， a ， a， b ， ab A 例 3 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AC， AB AC，求证： A1C BC1 3 【分析】 要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C垂直于经过 BC1的平面即可 证明： 连接 AC1 ABC A1B1C1是直三棱柱， AA1平面 ABC， AB AA1 又 AB AC， AB平面 A1ACC1， A1C AB
6、又 AA1 AC， 侧面 A1ACC1是正方形， A1C AC1 由，得 A1C平面 ABC1， A1C BC1 【评述】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的 如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ AB AC”都要将其向“线面垂直”进行转化 例 4 在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB平面 ABC， AB BC， AP PB，求证：平面 PAC 平面 PBC 【分析】 要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化 证明： 平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABC AB，且 AB BC， BC平面 PAB
7、， AP BC 又 AP PB， AP平面 PBC， 又 AP 平面 PAC， 平面 PAC平面 PBC 【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线垂直： 4 a c， b c， a b a b a b (1)证明线 面 垂直： a m， a n a b， b ， a ， l m， n ， mn A a ， a l a a a a (1)证明 面面 垂直： a ， a 例 5 如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且垂直于底面 ABC， A1AB 60， E， F分别是 AB1， BC 的中点 ( )求证：直线 EF平面 A1ACC1；
8、( )在线段 AB上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证明 证明： ( )连接 A1C， A1E 侧面 A1ABB1是菱形， E是 AB1的中点， E也是 A1B的中点， 又 F是 BC 的中点， EF A1C A1C 平面 A1ACC1， EF 平面 A1ACC1， 直线 EF平面 A1ACC1 (2)解：当 31GABG 时，平面 EFG平面 ABC，证明如下： 连接 EG， FG 侧面 A1ABB1是菱形，且 A1AB 60， A1AB是等边三角形 E是 A1B的中点， 31GABG ， EG AB 平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABC AB，
9、EG平面 ABC 又 EG 平面 EFG，平面 EFG平面 ABC 练习 7 1 一、选择题 ： 1 已知 m， n是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是 ( ) (A)若 m ， n ，则 m n (B)若 m ， n ，则 m n (C)若 ， ，则 (D)若 m ， m ，则 2 已知直线 m， n和平面 ， ，且 m n， m ， ，则 ( ) (A)n (B)n ，或 n 5 (C)n (D)n ，或 n 3 设 a， b是两条直线， 、 是两个平面，则 a b的一个充分条件是 ( ) (A)a ， b ， (B)a ， b ， (C)a ， b ， (D)a
10、， b ， 4 设直线 m与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是 ( ) (A)在平面 内有且只有一条直线与直线 m垂直 (B)过直线 m有且只有一个平面与平面 垂直 (C)与直线 m垂直的直线不可能与平面 平行 (D)与直线 m平行的平面不可能与平面 垂直 二、填空题： 5 在三棱锥 P ABC 中， 6 PBPA ，平面 PAB平面 ABC， PA PB， AB BC， BAC 30，则 PC_ 6 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，当底面 ABCD满足条件 _时，有 A1C B1D1 (只要求写出一种条件即可 ) 7 设 ， 是两个不同的平面， m， n是平面 ， 之外的两条
11、不同直线，给出四个论断： m n n m 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题 _ 8 已知平面 平面 ， l，点 A ， A l，直线 AB l，直线 AC l，直线 m ， m ，给出下列四种位置： AB m； AC m； AB ； AC ， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 _ 三、解答题 ： 9 如图，三棱锥 P ABC 的三个侧面均为边长是 1的等边三角形， M， N分别为 PA， BC 的中点 ( )求 MN 的长； ( )求证： PA BC 10 如图，在四面体 ABCD中， CB CD， AD BD，且 E、 F分别是 AB、 BD的中
12、点 求证： ( )直线 EF平面 ACD； ( )平面 EFC平面 BCD 6 11 如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF与 ABCD都是直角梯形， BAD FAB 90， BC AD，AFBEAFBEADBC 21,/,21 ， G， H分别为 FA， FD 的中点 ( )证明：四边形 BCHG是平行四边形； ( )C， D， F， E四点是否共面 ?为什么 ? ( )设 AB BE，证明：平面 ADE平面 CDE 例 2 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中， E是 AC 的中点 ( )求证：平面 BEC1平面 ACC1A1； ( )求证： AB1平面 BEC1 【分析】
13、 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力 提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考 证明： ( ) ABC A1B1C1是正三棱柱， AA1平面 ABC， BE AA1 ABC 是正三角形， E是 AC 的中点， BE AC， BE平面 ACC1A1，又 BE 平面 BEC1， 平面 BEC1平面 ACC1A1 ( )证明：连接 B1C，设 BC1 B1C D BCC1B1是矩形， D是 B1C的中点， DE AB1 又 DE 平面 BEC1， AB1 平面 BEC1， AB1平面 BEC1 例 3 在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD平面
14、ABCD， AB DC， PAD是等边三角形，已知 BD 2AD 8，542 DCAB 7 ( )设 M是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD； ( )求四棱锥 P ABCD的体积 【分析】 本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M是 PC 上的动点分析知， MB，MD随点 M的变动而运动，因此可考虑平面 MBD内“不动”的直线 BD是否垂直平面 PA D 证明： ( )在 ABD中， 由于 AD 4， BD 8， 54AB ， 所以 AD2 BD2 AB2 故 AD BD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， BD 平面 ABCD，
15、 所以 BD平面 PAD， 又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PA D ( )解：过 P作 PO AD交 AD于 O， 由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD 因此 PO 为四棱锥 P ABCD的高， 又 PAD是边长为 4的等边三角形 因此 .32423 PO 在底面四边形 ABCD中， AB DC， AB 2DC， 所以四边形 ABCD是梯形，在 Rt ADB中，斜边 AB边上的高为 55854 84 ，即为梯形 ABCD的高， 所以四边形 ABCD的面积为 .245 582 5452 S 故 .316322431 ABC DPV专题七 立体几何参考答案 练习
16、7-1 一、选择题 ： 1 B 2 D 3 C 4 B 二、填空题： 5 10 6 AC BD(或能得出此结论的其他条件 ) 7 、 ；或、 8 三、解答题 ： 9 ( )解：连接 MB， MC 三棱锥 P ABC 的三个侧面均为边长是 1的等边三角形， 23 MCMB ，且底面 ABC 也是边长为 1的等边三角形 N为 BC 的中点， MN BC 在 Rt MNB中， 2222 BNMBMN ( )证明： M是 PA 的中点， PA MB，同理 PA MC MB MC M， PA平面 MBC， 又 BC 平面 MBC， PA BC 8 10 证明： ( ) E、 F分别是 AB、 BD的中点
17、， EF是 ABD的中位线， EF AD 又 EF 平面 ACD， AD 平面 ACD，直线 EF平面 ACD ( ) EF AD， AD BD， EF BD CB CD， F是 BD的中点， CF BD CF EF F， BD平面 CEF BD 平面 BCD，平面 EFC平面 BCD 11 ( )由题意知， FG GA， FH HD， GH AD， ,21 ADGH 又 BC AD， ADBC21， GH BC， GH BC， 四边形 BCHG是平行四边形 ( )C， D， F， E四点共面 理由如下： 由 BE AF， AFBF21， G是 FA 的中点， 得 BE FG，且 BE FG EF BG 由 ( )知 BG CH， EF CH，故 EC， FH 共面，又点 D在直线 FH 上， 所以 C， D， F， E四点共面 ( )连结 EG， 由 AB BE， BE AG， BE AG及 BAG 90，知 ABEG是正方形， 故 BG EA 由题设知 FA， AD， AB两两垂直，故 AD平面 FABE， BG AD BG平面 EAD， BG ED 又 ED EA E， BG平面 ADF 由 ( )知 CH BG， CH平面 ADE 由 ( )知 F平面 CDE，故 CH 平面 CDE，得平面 ADE平面 CDE
