1、参数方程 1.参数方程的概念 一般地 ,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标 ,xy都是某个变数 t 的函数 ()()x f ty gt ,并且对于 t 的每一个允许值 ,由方程组所确定的点 ( , )Mxy 都在这条曲线上 ,那么方程就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数 ,xy的变数 t 叫做参变数 ,简称参数 ,相对于参数方程而言 ,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 . 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 . (2)如果知道变数 ,xy中的一个与参数 t 的关系 ,例如 ()x
2、 f t ,把它代 入普通方程 ,求出另一个变数与参数的关系 ()y gt ,那么 ()()x f ty gt 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使 ,xy的取值范围保持一致 . 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 例 5： 将下列数方程化成普通方程 22 ()2xt tyt 为 参 数， 2221 ()21x ttty t 为 参 数，22211 ()21txt ttyt 为 参 数， 1()()1()x a t tty b t t 为 参 数
3、， 11mxy myx， )0,(.s in ,c o s baby ax 为参数， sincos2yx ()为 参 数 ， )(.c o s 21y ,c o sx 为参数 3圆的参数 设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 0M 出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设 ( , )Mxy ，则c o s ()sinxryr 为 参 数。 这就是圆心在原点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 0OM 转过的角度。 圆心为 (, )ab ，半径为 r 的圆的普通方程是 2 2 2( ) ( )x a y b r ， 它的参数方程为： c os ()si nx a
4、 ry b r 为 参 数。 4椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 22 1( 0 ),xy abab 其参数方程为c o s ()sinxayb 为 参 数，其中参数 称为离心角；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 22 1( 0 ),yx abab 其参数方程为 c o s ( ),sinxbya 为 参 数其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 0， 2 ）。 注： 椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到 2 的范围内），在其他任何
5、一点，两个角的数值都不相等。但当 0 2 时，相应地也有 0 2 ，在其他象限内类似。 5双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为 22 1( 0 , 0 ),xy abab 其参数方程为se c ()ta nxayb 为 参 数，其中 30 , 2 ) , .22 且 焦点在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2222 1( 0 , 0 ),yx abab 其参数方程为c o t( ( 0 , 2 ) .c scxb eya 为 参 数 ， 其 中 且 以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口
6、向右的抛物线 2 2 ( 0)y px p的参数方程为 22 ( ).2x pt ty pt 为 参 数7直线的参数方程 经过点 0 0 0( , )M x y ，倾斜角为 ()2 的直线 l 的普通方程是 00ta n ( ),y y x x 而过 0 0 0( )M x y ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 00cossinx x ty y t ()t为 参 数。 注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点 0 0 0( , )M x y ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为00cossinx x ty y t ()t为 参 数，其中 t 表示直线 l 上以定点 0M 为起点，任一点
7、( , )Mxy 为终点的有向线段 0MM的数量， 当点 M 在 0M 上方时， t 0；当点 M 在 0M 下方时， t 0；当点 M 与 0M 重合时， t =0。 我们也可以把参数 t 理解为以 0M 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 设 A、 B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 ABtt、 ，则 AB AB tt 2( ) 4B A A Bt t t t 线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2BA tt 椭圆 )(.3 s iny ,5 c o sx 为参数 的焦点坐标是 _. 双曲线 )t(.t1ty,t
8、1tx为参数的离心率是 _. 15.曲线 )(.s iny ,c o s1x 为参数 上的点与定点 A（ -1， -1）距离的最小值是 _. 16. 已知 369y4x 22 ，则 y32x 的最小值是 _. 17点 M（ x,y）在椭圆 14y12x 22 上，则点 M 到直线 04yx 的最大距离为 _, 此时，点 M 的坐标是 _. 例 1.讨论下列问题： 1、已知一条直线上两点 111 ,yxM 、 222 ,yxM ，以分点 M（ x， y）分 21MM 所成的比 为参数，写出参数方程。 2、直线tytx211233(t 为参数 )的倾斜角是 A 6 B 3 C 65 D 32 3、
9、方程 sin3 cos1 ty tx（ t 为非零常数， 为参数）表示的曲线是 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 4、已知椭圆的参数方程是 sin4cos5yx（ 为参数），则椭圆上一点 P (25 ， 32 )的离心角可以是 A 3 B 32 C 34 D 35 例 2 把弹道曲线的参数方程 ,21s in ,c o s 20 0 gttvy tvx )2()1( 化成普通方程 例 4. 直线 3x 2y 6=0，令 y = tx 6（ t 为参数）求直线的参数方程 例 5.已知圆锥曲线方程是 5s in46 1c o s53 2 ty tx（ 1） 若 t 为参数， 为常数，求该曲线
10、的普通方程，并求出焦点到准线的距离； （ 2） 若 为参数， t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。 例 6. 在圆 x2 2x y2=0 上求一点，使它到直线 2x 3y 5=0 的距离最大 例 7. 在椭圆 4x2 9y2=36 上求一点 P，使它到直线 x 2y 18=0 的距离最短（或最长） 例 8.已知直线； l： ty tx 42 31 与双曲线（ y-2） 2-x2=1 相交于 A、 B 两点， P 点坐标 P(-1， 2)。求： （ 1） |PA|.|PB|的值； （ 2）弦长 |AB|; 弦 AB 中点 M与点 P 的距离。 例 9.已知 A（ 2,0） ,点 B
11、,C 在圆 x2+y2=4 上移动，且有 32BAC求 ABC 重心 G 的轨迹方程。 例 10.已知椭圆 1832 22 yx 和圆 x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点 P1,在圆上求一点 P2,使 |P1P2|达到最大值，并求出此最大值。 例 11.已知直线 l 过定点 P(-2,0),与抛物线 C: x2+ y-8=0 相交于 A、 B 两点。（ 1）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（ 2）若 l 绕 P 点转动，求 AB 的中点 M 的方程 . 例 12.椭圆 )0(12222 babyax 上是否存在点 P，使得由 P点向圆 x2+y2=b2所引的两条切线互相垂
12、直？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 四、全国历届高考试题选编： 1设 bababa 则,62, 22R 的最小值是 （ ） A 22 B 335 C 3 D 27 2.在极坐标系中，圆心在( )2， 且过极点的圆的方程为（ ） A. 2 2 cosB. 2cosC. 2 sinD. 2 in3.极坐标方程 cos 与 cos 12 的图形是 ( ) A. B. C. D. 4.极坐标方程 所表示的曲线是（ ） A B C椭圆 D 5在极坐标系中，直线 l的方程为 sin =3，则点 (2， /6)到直线 l的距离为 6点 )0,1(P 到曲线 ty tx 22 （其中参数 R
13、t ）上的点的最短距离为（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 )(3 3 Rtty tx 参数，圆 C 的参数方程为 )20(2s i n2 c o s2 ，参数 yx ， 则圆 C 的圆心坐标为 ，圆心到直线 l 的距离为 . 8 O1和 O2的极坐标方程分别为 4 c o s 4 s in ， ( )把 O1和 O2化为直角坐标方程； ( )求经过 O1， O2 交点的直线的直角坐标方程 五、模拟试题选编： 1在极坐标系中，已知点 A （ 1， 43 ）和 B )4,2( ,则 A 、 B 两点间的距离是
14、 2 将极坐标方程 cos( )4化为直角坐标方程是 _. 3.在极坐标系中，过圆 4cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 4.在极坐标系中，圆 2 上的点到直线 6s in3c o s 的 距离的最小值是 _ 0 12 x 0 12 x 0 12 x 0 12 x 5 在极坐标系中， 圆 =cos与直线 cos =1 的位置关系是 6椭圆 sin4cos3yx的离心率是 _ 14在极坐标系中，曲线 sina 与 cosa （ a0， 0,0 ）的交点的极坐标为 14在极坐标系中，过点 2 2,4作圆 4sin 的切线，则切线的极坐标方程是 14.极坐标方程 cos 和参数方程 12
15、3xtyt （ t 为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（ 依次 填写序号） * 直线； 圆； 抛物线； 椭圆； 双曲线 . 【答案】 ;. 1若直线 l的参数方程为 x 1 3t，y 2 4t. (t 为参数 )，则直线 l的倾斜角的余弦值为 (B) A 45 B 35 C 35 D 45 2已知动圆方程 x2 y2 xsin2 2 2ysin( 4 ) 0 ( 为 参数 )，那么圆心的轨迹是 (D) A椭圆 B椭圆的一部分 C抛物线 D抛物线的一部分 3在极坐标系中，点 (2， 3 )到圆 2cos 的圆心的距离为 ( D) A 2 B. 4 29 C. 1 29 D. 3 4在极坐标方
16、程中，曲线 C 的方程是 4sin ，过点 (4， 6 )作曲线 C的切线，则切线长为 ( C ) A 4 B. 7 C 2 2 D 2 3 5若直线 l： y kx 与曲线 C： x 2 cosy sin ( 为参数 )有唯一的公共点，则实数 k ( C ) A 33 B 33 C 33 D 3 6如果曲线 C： x a 2cosy a 2sin ( 为参数 )上有且仅有两个点到原点的距离为 2，则实数 a的取值范围是 ( C ) A ( 2 2， 0) B (0,2 2) C ( 2 2， 0)(0,2 2) D (1,2 2) 7在极坐标系中，直线 l1的极坐标方程为 (2cos sin
17、) 2，直线 l2的参数方程为 x 1 2ty 2 kt (t 为参数 )，若直线 l1与直线 l2垂直，则 k _. 1 8已知定点 A(1,0)， F 是曲线 x 2cosy 1 cos2 (R) 的焦点，则 |AF| _.52 9在平面直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为 cos( 3 ) 1， M、 N 分别为曲线 C 与 x 轴、 y轴的交点，则 MN 的中点的 极坐标为 10 (10 分 )已知曲线 C： x 3cosy 2sin ，直线 l： (cos 2sin) 12. (1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
18、 (2)设点 P在曲线 C 上，求点 P到直线 l 的距离的最小值 11 (15 分 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x 3 22 ty 5 22 t(t 为参数 )在极坐标系 (与直 角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，圆 C 的方程为 2 5sin. (1)求圆 C的直角坐标方程； x2 (y 5)2 5. (2)设圆 C与直线 l 交于点 A， B.若点 P的坐标为 (3， 5)，求 |PA| |PB|. 3 2. 12在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x y 4 0，曲线 C 的参数方程为 x 3cosy
19、 sin ( 为 参数 ) (1)已知在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，点 P的极坐标为 (4， 2 )，判断点 P 与直线 l 的位置关系； P 在 直线 l (2)设点 Q是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 2 13.在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 1 c o s 0 , ,sin 22xt tyt 为 参 数 ,，以原点为极点，以 x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 si n4. （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C
20、 和直线 l 交于 ,AB两点，且 6AB ，求 tan 的值 . 14.已知曲线 C 的极坐标方程为： 2 2 c o s 4 s i n 1 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 ,直线 l 经过点 P（ -1， 1）且倾斜角为 23 (I)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程； ( )设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 PA PB 的值 15. C 的参数方程 1 c o s ()s inxy 为 参 数，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，（ 1）求圆C 的极坐标方程，（ 2）射线 : 4OM 与圆 C 的交点为 ,O
21、P两 点，求点 P 的极坐标。 六、 13 14 高考题 13 2014天津卷 在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A， B 两点 若 AOB是等边三角形，则 a 的值为 _ 3 4 2014安徽卷 以平 面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线 l 的参数方程是x t 1，y t 3 (t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程是 4cos ，则直线 l 被圆 C截得的弦长为 ( D ) A. 14 B 2 14 C. 2 D 2 2 3 2014北京卷 曲线x 1 cos ，y 2 sin ( 为参
22、数 )的对称中心 ( B ) A 在直线 y 2x 上 B 在直线 y 2x 上 C 在直线 y x 1 上 D 在直线 y x 1 上 21 2014福建卷 已 知直线 l 的参数方程为x a 2t，y 4t (t 为参数 )，圆 C 的参数方程为 x 4cos ，y 4sin ( 为参数 ) (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； 2x y 2a 0， x2 y2 16. (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 2 5 a 2 5. 14 2014广东卷 在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极
23、轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2交点的直角坐标为 _ (1， 1) 16 2014湖北卷 已知曲线 C1的参数方程是x t，y 3t3(t 为参数 ) 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2，则 C1与 C2交点的直角坐标为 _ ( )3， 1 11 2014湖南卷 在平面直角坐标系中，倾斜角为 4 的直线 l 与 曲线 C：x 2 cos ，y 1 sin ( 为参数 )交于 A， B两点，且 |AB| 2.以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程是 _ cos sin 1 1
24、1 2014江西卷 若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y 1 x(0 x 1)的极坐标方程为 ( A ) A 1cos sin ， 0 2 B 1cos sin ， 0 4 C cos sin ， 0 2 D cos sin ， 0 4 23 2014辽宁 将圆 x2 y2 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (1)写出 C 的参数方 程； (2)设直线 l： 2x y 2 0 与 C 的交点 为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程
25、x cos t，y 2sin t (t 为参数 ) 2 cos 4sin 3，即 34sin 2cos . 23 2014新课标全国卷 已知曲线 C： x24y29 1，直线 l： x 2 t，y 2 2t (t 为参数 ) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； 2x y 6 0(2)过曲线 C 上任意一点 P作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A，求 |PA |的最大值与最小值 22 55 . 2 55 . 23 2014新课标 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0， 2 . (1
26、)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l： y 3x 2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 x 1 cos t，y sin t， (t 为参数， 0 t ) D 的直角坐标为 1 cos3 ， sin3 ，即 32，32 . 15. 2014浙 江卷 (1)在极坐标系 Ox 中，设集合 A (， )|0 4 ， 0 cos ，求集合 A 所表示区域的面积； 16 18. (2)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：x 4 tcos 4 ，y tsin 4(t 为参数 )，曲线 C：x acos ，y 2sin ( 为参数 )，其中
27、 a 0.若曲线 C 上所有点均在 直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 0 a 2 3. 15 2014陕西卷 在极坐标系中，点 2， 6 到直线 sin 6 1 的距离是 _ 1 15 2014重庆卷 已知直线 l 的参数方程为x 2 t，y 3 t (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos 0( 0， 0 2 )，则直线 l 与曲线 C 的公 共点的极径 _ 5 11 2013湖南卷 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l1：x 2s 1，y s (s 为参数 )和直线 l2： x at，y 2t 1(t
28、为参数 )平行，则常数 a 的值为 _ 4 14 2013广东卷 已知曲 线 C 的极坐标方程为 2cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为 _ x 1 cos ，y sin ( 为参数 ) 23 2013辽宁卷 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ， cos 4 2 2. (1)求 C1与 C2交点的极坐标； （ 4， 2） ， （ 2 2， 4） (2)设 P 为 C1的圆心， Q 为 C1与 C2交点连线的中点 已知直线 PQ 的参数方程为x t3 a，
29、y b2t3 1 (t R 为参数 )，求 a，b 的值 a 1， b 2. 23.2013 新课标 已知动点 P， Q 都在曲线 C：x 2cos t，y 2sin t (t 为参数 )上，对应参数分别为 t 与 t 2(02 )， M 为 PQ 的中点 (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 x cos cos 2 ，y sin sin 2 ( 为参数， 02 ) d x2 y2 2 2cos (02 ) 过坐标原点 23.2013陕西卷 圆锥曲线x t2，y 2t， (t 为参数 )的焦点坐标是 _ (1，
30、0) 23.2013新课标 已知曲线 C1的参数方程为x 4 5cos t，y 5 5sin t (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； 2 8cos 10sin 16 0 (2)求 C1与 C2交点的极坐标 ( 0， 0 2 ) 2， 4 ， 2， 2 23.2013江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x t 1，y 2t (t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为x 2tan2 ，y 2tan ( 为参数 )，试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 2x y 2 0. y2 2x. (2， 2)， 12， 1.
