1、 1 第 4 章 不定积分 内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设 ()fx， xI ，若存在函数 ()Fx，使得对任意 xI 均有 ( ) ( )F x f x 或 ( ) ( )dF x f x dx ，则称 ()Fx为 ()fx的一个原函数。 ()fx的全部原函数称为 ()fx在区间 I 上的不定积分，记为 ( ) ( )f x dx F x C 注：（ 1）若 ()fx 连续，则必可积；（ 2）若 ( ), ( )F x G x 均为 ()fx 的原函数，则( ) ( )F x G x C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质 1： ( ) ( )
2、d f x dx f xdx 或 ( ) ( )d f x dx f x dx ； 性质 2： ( ) ( )F x dx F x C 或 ( ) ( )dF x F x C ； 性质 3： ( ) ( ) ( ) ( )f x g x d x f x d x g x d x ， ,为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设 ()fu 的 原函数为 ()Fu ， ()ux 可导，则有换元公式： ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )f x x d x f x d x F x C 第二类 换元积 分法 设 ()xt 单调、可导且导数不为零， ( )
3、( )f t t 有原 函数 ()Ft ，则 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )f x d x f t t d t F t C F x C 分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x d x u x d v x u x v x v x d u x 有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和； 对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知 -求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对
4、定积分的求解；而求解微分方 程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题 4-1 1.求下列不定积分 ： 知识点： 直接积分法的练习 求不定积分的基本方法 。 思路分析 ： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分 ！ 2 (1)2dxxx思路 : 被积函 数 5221 xxx ，由积分表中的公式（ 2）可解。 解 ： 5322223dx x d x x Cxx (2) 3 1()x dxx思路 :根据不
5、定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解 ： 1 1 41 1 13 3 32 2 213( ) ( ) 24d x x x d x x d x x d x x x Cx 3 x (3) 22x x dx（ ） 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解 ： 2 2 32122 l n 2 3xxxx d x d x x d x x C （ ） (4) ( 3)x x dx 思路 :根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解 ： 3 1 5 32 2 2 22( 3 ) 3 25x dx x dx x dx x x C x (5) 4223
6、3 11xx dxx思路 :观察到 42 2223 3 1 1311xx x 后， 根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解 ： 42 23223 3 1 13 a r c ta n11xx d x x d x d x x x C (6) 221x dxx思路 :注意到 222 2 21 1 111 1 1xxx x x ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 3 解 ： 222 1 a r c ta n .11x d x d x d x x x Cxx 注 ：容易看出 (5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一
7、个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 (7) x dxx xx 341 3 4（ - + - ）2思路 :分项积分。 解 ： 3411 342x d x x d x d x x d x x d xxxxx 341 3 4（ - + - ）22 2 31 3 4l n | | .4 2 3x x x x C (8)2 232()1 1 dxx x 思路 :分项积分。 解 ：22 223 2 1 1( ) 3 2 3 a r c t a n 2 a r c si n .11 11dx dx dx x x Cxxxx (9) x x xdx 思路 : xxx ？ 看到 1 1 1 72 4
8、 8 8x x x x x，直接积分。 解 ： 7 15888 .15x x x dx x dx x C (10)221(1 )dxxx思路 :裂项分项积分。 解 ：2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) a r c t a n .( 1 ) 1 1dx dx dx dx x Cxx x x x x x (11) 2 11xxe dxe 解 ： 2 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .11x x x xxxxe e ed x d x e d x e x Cee (12) 3xxedx 思路 :初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然 33x x xee（ ） 。
9、 4 解 ： 33 3 .l n ( 3 )xx x x ee d x e d x Ce （ ）（ ） (13) 2cot xdx 思路 :应用三 角恒等式“ 22cot csc 1xx”。 解 ： 22c o t ( c s c 1 ) c o tx d x x d x x x C (14) 2 3 5 23xxx dx 思路 :被积函数 2 3 5 2 22533xx xx （ ），积分没困难。 解 ： 2()2 3 5 2 2 32 5 2 5 .3 3 l n 2 l n 3xxx xx dx dx x C （ （ ） ） (15) 2cos2xdx思路 :若被积函数为弦函数的偶次方时
10、，一般地先降幂，再积分。 解 ： 2 1 c o s 1 1c o s sin .2 2 2 2xxd d x x x C (16) 11 cos2 dxx 思路 :应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解 ： 221 1 1 1se c ta n .1 c o s 2 2 22 c o sd x d x x d x x Cx x (17) cos 2cos sinx dxxx 思路 :不难，关键知道“ 22c o s 2 c o s s in ( c o s s in ) ( c o s s in )x x x x x x x ”。 解 ： c o s 2 ( c o s sin ) si
11、n c o s .c o s sinx d x x x d x x x Cxx (18)22cos 2cos sinx dxxx思路 :同上题方法，应用“ 22c os 2 c os si nx x x”，分项积分。 解 ： 222 2 2 2 2 2c o s 2 c o s si n 1 1c o s si n c o s si n si n c o sx x xd x d x d x xx x x x x x 22c s c s e c c o t ta n .x d x x d x x x C 5 (19) 11()xxdx思路 :注意到被积函数 2 2 21 1 1 1 211 1
12、1 1x x x xxx x x x ，应用公式 (5)即可。 解 ：21 1 1( ) 2 2 a r c sin .11 1xx dx dx x Cx (20) 21 cos1 cos2xdxx 思路 :注意到被积函数 22 221 c o s 1 c o s 1 1s e c1 c o s 2 2 22 c o sxx xx x ，则积分易得。 解 ： 2 21 c o s 1 1 ta nse c .1 c o s 2 2 2 2x x xd x x d x d x Cx 2、设 ( ) a rc c o sxf x dx x C ，求 ()fx。 知识点： 考查不定积分（原函数）与被
13、积函数的关系 。 思路分析 ： 直接利用不定积分的性质 1： ( ) ( )d f x dx f xdx 即可 。 解 ： 等式两边对 x 求导数得 ： 2211( ) , ( )x f x f xx x x 3、 设 ()fx的导函数为 sinx ， 求 ()fx的原函数全体 。 知识点： 仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系 。 思路分析 ： 连续两次求不定积分即可 。 解 ： 由题意可知 ， 1( ) s in c o sf x x d x x C 所以 ()fx的原函数全体为 ： 1 1 2c o s s inx C d x x C x C （ ） 。 4、 证明函数 21 ,2
14、 xxe e shx 和 xechx 都是 sxechx hx- 的原函数 知识点： 考查原函数（不定积分）与被积函数的关系 。 思路分析 ： 只需验证即可 。 解 ： 2x xe echx shx ， 而 22 x x x xd d de e sh x e c h x ed x d x d x 1()2 5、 一曲线通过点 2( ,3)e ， 且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 6 知识 点： 属于 第 12 章 最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析 ： 求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定
15、具体的方程即可。 解 ： 设曲线方程为 ()y f x ，由题意可知： 1 ( )d fxdx x， ( ) ln | |f x x C ； 又点 2( ,3)e 在曲线上，适合方程，有 23 ln ( ) , 1e C C ， 所以曲线的方程为 ( ) ln | | 1.f x x 6、 一物体由静止开始运动，经 t 秒后的速度是 23 ( / )t m s ， 问 ： （ 1） 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ （ 2） 物体走完 360 米需要多少时间？ 知识点： 属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析 ： 求得物体的位
16、移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解 ： 设物体的位移方程为： ()y f t ， 则由速度和位移的关系可得： 23 ( ) 3 ( )f t t f t t C ddt， 又因为物体是由静止开始运动的， 3( 0 ) 0 , 0 , ( )f C f t t 。 (1) 3 秒后物体离开出发点的距离为 : 3(3) 3 27f 米； (2)令 3 33 6 0 3 6 0tt 秒。 习题 4-2 1、 填空是下列等式成立 。 知识点： 练习简单的凑微分。 思路分析 ： 根据微分运算凑齐系数即可 。 解 ： 2 3 41 1 1( 1 ) ( 7 3 ) ; ( 2 ) ( 1 ) ;
17、 ( 3 ) ( 3 2 ) ;7 2 1 2d x d x x d x d x x d x d x 22221 1 1( 4) ( ) ; ( 5 ) ( 5 l n | | ) ; ( 6) ( 3 5 l n | | ) ;2 5 51 1 1( 7 ) 2 ( ) ; ( 8 ) ( t a n 2 ) ; ( 9) ( a r c t a n 3 ) .23c os 2 1 9xx dx dxe dx d e d x d xxxdx dxdt d t d x d xxxt 2、求下列不定积分。 知识点： （凑微分）第一 换元积分法的练习。 思路分析 ： 审题看看是否需要凑微分。直白的
18、讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外 第二类换元法中 的 倒代换 法 对特定的题目也非 常有效，这在课外例题中专门介绍！ （ 1） 3tedt 7 思路 :凑微分。 解 ： 3 3 311( 3 )33t t te d t e d t e C (2) 3(3 5 )x dx 思路 :凑微分。 解 ： 33 411( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )5 2 0x d x x x x C d (3) 132dxx思路 :凑微分。 解 ： 1 1 1 1( 3 2 ) l n |
19、 3 2 | .3 2 2 3 2 2d x d x x Cxx (4)3 153dxx思路 :凑微分。 解 ： 1233331 1 1 1 1( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) ( 5 3 ) .3 3 25 3 5 3d x d x x d x x Cxx (5) (sin )xbax e dx 思路 :凑微分。 解 ： 11( si n ) si n ( ) ( ) c osx x xb b bxax e dx ax d ax b e d ax be Ca b a (6) cos tdtt思路 :如果你能看到 1( ) t2d t dt，凑出 ()dt易解。 解 ： c o
20、s 2 c o s ( ) 2 sint d t t d t t Ct (7) 10 2tan secx xdx 思路 :凑微分。 解 ： 10 2 10 111ta n se c ta n ( ta n ) ta n .11x x d x x d x x C (8) ln lnlndxx x x 思路 :连续三次应用公式 (3)凑微分即可。 8 解 ： ( l n | |) ( l n | l n |) l n | l n l n |l n l n l n l n l n l n l n l nd x d x d x xCx x x x x x (9) 22ta n 1 1xdxx x 思路
21、 :本题关键是能够看到21xdxx 是什么，是什么呢？就是 21 xd ！这有 一定难度！ 解 ： 2 2 2 22ta n 1 ta n 1 1 l n | c o s 1 |1x d xx x x x Cx d (10)sin cosdxxx思路 :凑微分。 解 ： 方法一： 倍角公式 sin 2 2 sin cosx x x 。 2 c sc 2 2 l n | c sc 2 c o t 2 |sin c o s sin 2d x d x x d x x x Cx x x 方法二： 将被积函数凑出 tanx 的函数和 tanx 的导数。 22c o s 1 1se c ta n l n
22、| ta n |sin c o s sin c o s ta n ta nd x x d x x d x d x x Cx x x x x x 方法三： 三角公 式 22sin cos 1xx，然后凑微分 。 22si n c o s si n c o s c o s si nsi n c o s si n c o s c o s si n c o s si nd x x x x x d x d xd x d x d xx x x x x x x x l n | c os | l n | si n | l n | t a n |x x C x C (11)xxdxee思路 :凑微分：2 2 2
23、1 1 1 ( )x x xx x x x xd x e d x d e d ee e e e e 。 解 ：22 a r c ta n1 1 ( )xx xx x x xd x e d x d e eCe e e e (12) 2cos( )x x dx 思路 :凑微分。 解 ： 2 2 2 211c o s( ) c o s sin22x x d x x d x x C (13)223xdxx 9 思路 :由 222 2 21 1 ( 2 3 )262 3 2 3 2 3x d x d x d xx x x 凑微分易解。 解 ： 12 2 2 22221 ( 2 3 ) 1 1( 2 3
24、) ( 2 3 ) 2 36 6 32 3 2 3x d x d x x d x x Cxx (14) 2co s ( ) sin ( )t t dt 思路 :凑微分。 解 ： 2 2 211c o s ( ) sin( ) c o s ( ) sin( ) c o s ( ) c o s( )t t d t t t d t t d t 31 c o s ( ) .3 tC (15) 3431 x dxx思路 :凑微分。 解 ： 33 4 4 44 4 4 43 3 4 3 1 3 1 3( 1 ) l n | 1 | .4 4 4 41 1 1 1xxd x d x d x d x x Cx
25、 x x x (16)3sincosxdxx思路 :凑微分。 解 ：3 3 2sin 1 1 1c o s .2c o s c o s c o sx d x d x Cx x x (17) 9202x dxx 思路 :经过两步凑微分即可。 解 ： 9 10 101020 20 10 21 1 1 1 1 a r c si n( )10 10 102222 1 ( )2x x xdx dx d Cx x x (18) 2194x dxx 思路 :分项后分别凑微分即可。 解 ：2 2 2119 4 9 4 9 4xxdx dx dxx x x 10 22222221 1 2 1 142 3 82
26、94131 1 2 1 1942 3 82 94131 2 1a r c sin( ) 9 4 .2 3 4xd d xx xxd d xx xxxC （ ）（ ）（ ） (19) 221dxx 思路 :裂项分项后分别凑微分即可。 解 ：2 1 1 1()2 1 2( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1dx dx dxx x x x x 1 1 1( ) 22 2 2 1 2 11 1 1 1 1 2 1( 2 1 ) ( 2 1 ) l n .2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1dxxxxd x d x Cx x x (20)2(4 5 )xdxx思路 :分项后分别凑微分即
27、可。 解 ：2 2 21 4 5 4 1 1 14 ( 4 5 )( 4 5 ) 5 ( 4 5 ) 2 5 4 5 ( 4 5 )x d x x d x d xx x x x （ ） （ ）21 1 4 1 1 4 1( 4 5 ) ( 4 5 ) l n | 4 5 | .25 4 5 25 25 25 4 5( 4 5 )d x d x x Cxx x (21) 2100( 1)x dxx思路 :分项后分别凑微分即可。 解 ： 2 2 210 0 10 0 10 0 10 0 10 0( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1( 2 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x d x x d x x x dxx x x x x 9 8 9 9 1 0 01 1 1( 2 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) dxx x x 9 7 9 8 9 91 1 1 1 1 1 .9 7 ( 1 ) 4 9 ( 1 ) 9 9 ( 1 ) Cx x x
