1、 1 大学物理学习题答案 习题一 答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5) r 和 r 有区别吗？ v 和 v 有区别吗？ 0dvdt和 0dvdt 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为： x x t ， y y t ，在计算质点的速度和加速度
2、时，有人先求出 22r x y，然后根据 drv dt 及 22dra dt 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 22d x d yvd t d t 及 2222d x d yad t d t 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定 为零 .”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率
3、随时间均匀增大， na 、 ta 、 a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿 x 轴运动，坐标与时间的变化关系为 224 ttx ，式中 tx, 分别以 m 、 s 为单位，试计算： (1)在最初 s2 内的位移、平均速度和 s2 末的瞬时速度； (2) s1 末到 s3 末的平均2 加速度； (3) s3 末的瞬时加速度。 解： (1) 最初 s2 内的位移为为： ( 2) ( 0) 0 0 0( / )x x x m s 最初 s2 内的平均速度
4、为： 0 0( / )2av e xv m st t 时刻的瞬时速度为： ( ) 4 4dxv t tdt s2 末的瞬时速度为： ( 2) 4 4 2 4 /v m s (2) s1 末到 s3 末的平均加速度为： 2( 3 ) ( 1 ) 8 0 4/22av e v v va m st (3) s3 末的瞬时加速度为： 2( 4 4 ) 4 ( / )d v d ta m sd t d t 。 1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为 0a ，质点出发后，每经过 时间，加速度均匀增加 b 。求经过 t 时间后，质点的速度和位移。 解 : 由题意知，加速度和时间的关系为 0 ba
5、a t利用 dv adt ，并取积分得 000vt bd v a t d v， 20 2bv a t t再利用 dx vdt ，并取积分 设 0t 时 0 0x 得 0 0xtxdx vdt， 230126bx a t t 1.4 一质点 从位矢为 (0) 4rj 的位置以初速度 (0) 4vi 开始运动，其加速度与时间的关系为 (3 ) 2a t i j.所有的长度以米计，时间以秒计 .求： （ 1）经过多长时间质点到达 x 轴； （ 2） 到达 x 轴时的位置。 解 ： 203( ) ( 0) ( ) 4 ( 2 )2tv t v a t dt t i t j 3201( ) ( 0) 4
6、 42tr t r v t dt t t i t j （ 1） 当 240t，即 2ts 时，到达 x 轴。 3 （ 2） 2ts 时到达 x 轴的 位矢为 ： (2) 12ri 即质点到达 x 轴时的位置为 12 , 0x m y。 1.5 一质点沿 x 轴运动，其加速度与坐标的关系为 2ax ，式中 为常数，设 0t 时刻的 质点 坐标为 0x 、速度为 0v ， 求质点的速度与坐标的关系。 解：按题意 2 22dx xdt 由此有 dxdvvdtdxdxdvdtdvdt xdx 222， 即 xdxvdv 2 ， 两边取积分 xxvv xd xvd v 00 2， 得 202212221
7、2021221 xxvv 由此给出 22v A x ， 20202 xvA 1.6 一质点的运动方程为 ktjtitr 24)( ，式中 r ， t 分别以 m 、 s 为单位。试求： (1) 质点的速度与加速度； (2) 质点 的轨迹方程。 解： (1) 速度和加速度分别为： (8 )drv t j kdt ， jdtvda 8 (2) 令 kzjyixtr )( ，与所给条件比较可知 1x ， 24ty ， tz 所以轨迹方程为： 21, 4x y z。 1.7 已知质点作直线运动，其速度为 213 ( )v t t ms ，求质点在 04s 时间内的路程。 解 : 在求解本题中要注意：在
8、 04s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分 40vdt ，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分 40vdt 。令 230v t t ，解得 3ts 。由此可知： 3t s 时， 0v ， vv ； 3t s 时， 0v ；而 3t s 时， 0v ， vv 。因而质点在 04s 时间内的路程为 4 4 3 4 3 4220 0 3 0 3( ) 3 3s v d t v d t v d t t t d t t t d t 342 3 2 3033 1 3 1 16 ( )2 3 2 3 3t t t t m 。 1.8 在离船的高度为 h 的岸边，一人
9、以恒定的速率 0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为 x 时，船的速度和加速度。 解 : 建立坐标系如题 1.8 图所示，船沿 X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题 1.8，可得出 O X r h 0v x Y 习题 1.8 图 2 2 2x r h 两边求微 分，则有 22dx drxrdt dt 船速为 dx r drv dt x dt 按题意0dr vdt(负号表示绳随时间 t 缩短 )，所以船速为 220xhvvx负号表明船速与 x 轴正向反向，船速与 x 有关，说明船作变速运动。将上式对时 间求导，可得船的加速度为 2203hvdva dt x 负号表明船的加速度与
10、 x 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与 x 有关，说明船作变加速运动。 5 1.9 一质点沿半径为 10cm 的圆周运动，其角坐标 (以弧度 rad 计 )可用下式表示 324t 其中 t 的单位是秒 (s )试问： (1)在 2ts 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当 等于多少时其总加速度与半径成 45 角 ？ 解： (1) 利用 324t ， 2/ 12d dt t， / 24d dt t， 得到法向加速度和切向加速度的表达式 24144na r rt ， 24ta r rt 在 2ts 时，法向加速度和切向加速度为： 4 4 21 4 4 1 4 4 0 . 1 2
11、 2 3 0 . 4 ( )na r t m s ， 22 4 2 4 0 . 1 2 4 . 8 ( )ta r t m s (2) 要使总加速度与 半径成 45 角，必须有 ntaa ，即 4144 24rt rt 解得 3 1/6t ，此时 67.242 3 t rad 1.10 甲乙两船，甲以 10 /kmh 的速度向东行驶，乙以 15 /kmh 的速度向南行驶。问坐在 乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设 i 、 j 分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为 hkmiv /101 ， hkmjv /152 根据伽利略变换，当
12、以乙船为参照物时，甲船速度为 hkmjivvv /)1510(21 hkmv /1.181510 22 ， 31.561015 a r ct g 即在 乙船上看，甲船速度为 18.1 /km h ，方向为东偏北 31.56 同理， 在甲船上看，乙船速度为 18.1 /km h ，方向为西偏南 31.56 。 1.11 有一水平飞行的飞机，速率为 0v ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度 v 向前射击。略去空气阻力， (1) 以地球为参照系，求炮弹的轨 迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程； (3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？ 解： (1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度
13、为 01 vvv ，而 tvx 1 ， 25.0 gty 消去时间参数 t ，得到轨迹方程为： 202)(2 vvgxy （若以竖直向下为 y 轴正方向，则负号去掉，下同） (2) 以飞机为 参照系时，炮弹的初速度为 v ，同上可得轨迹方程为222vgxy 6 (3) 以炮弹为参照系，只需在 (2)的求解过程中用 x 代替 x ， y 代替 y ，可得 222vgxy . 1.12 如题 1.12 图， 一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为 D ，速率为 v ，一艘速率为 uv 的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证 明： 如果快艇在尽可能最迟的时刻出发， 那么 快艇出发 时 这条船
14、 到 海岸线 的垂线与 港口 的 距离 为 22D v ux u ； 快艇截住这条船 所需 的时间 为22Dvt u v u 。 Y D u X 港口 习题 1.12 图 证明： 在如图所示的坐标系中， 船与快艇的运动方程分别为 11x vtyD 和 22cossi nx x u ty u t 拦截条件为： 2121 yy xx 即 co ssinvt x u tD u t 所以 cossinD v ux u ， x 取最大值的条件 为： 0/ ddx ， 由此 得 到 cos /uv ，相应地 2sin 1 ( / )uv 。 因此 x 的 最大值 为 22D v ux u x 取最大值时对
15、应的出发时间最迟 。 快艇截住这条船 所需 的时间 为 vx7 22si nD D vt u u v u 。 习题二 答案 习题二 2.1 简要回答下列问题： (1) 有人说：牛顿第一定律 只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的 .你的看法如何？ (2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？ (3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？ (6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？ (7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而
16、其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？ (8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性 系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明 . (9)判断下列说法是否正确，并说明理由： (a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒 . (b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒 . (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒 . (10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？ (忽略空气阻力
17、) 2.2 质量 为 m 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 F kv （ k 为常数）作用，0t 时质点的速度为 0v ，证明： （ 1） t 时刻的速度为 0 kt mv v e ； （ 2）由 0 到 t 的时间内经过的距离为 0( ) 1 k t mx m v k e ； （ 3）停止运动前经过的距离为 0mv k 。 证明： (1) 由 dvm a m F k vdt 分离变量得 dv k dtvm ，积分得 0 0vtv dv k dtvm，0lnvktvm ， 0 kt mv v e 8 (2) /000 (1 )t k t m k t mmvx v dt v e dt
18、 ek (3) 质点停止运动时速 度为零，即 t ，故有 / 000 k t m mvx v e dt k 。 2.3 一质量为 10 kg 的物体沿 x 轴无摩擦地运动，设 0t 时，物体的速度为零，物体在力34Ft (N)(t 以 s 为单位 )的作用下运动了 3s，求它的速度和加速度 . 解 . 根据质点动量定理 , 300 Fdt mv mv, 3034t dt mv 32 21032 3 3 2 3 2 .7 ( )10ttv m sm 根据牛顿第二定律， F ma 334 3 4 3 1.510ttFa mm (m/s2) 2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为 0v ms-1，当子弹
19、在枪筒内被加速时，它所受的合力为()F a bt N（ a,b 为常数），其中 t 以秒为单位： （ 1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （ 2）求子弹所受的冲量 ； （ 3）求子弹的质量。 解： (1)由题意，子弹到枪口时，有 ( ) 0F a bt , 得 at b (2)子弹所受的冲量 t btatdtbtaI0 221)(，将 at b 代入，得 baI 22 (3)由动量定理可求得子弹的质量 020 2bvavIm 2.5 一质量为 m 的质点在 xoy 平面上运动，其位置矢量为 jtbitar s inc o s ，求质点的动量及 0t 到 2t
20、 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为 s in c o sp m v m r m a t i b tj 将 0t 和 2t 分别代入上式，得 9 1p m bj ， 2p m ai 动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为 21 ()I p p m a i b j 2.6 作用在质量为 10kg 的物体上的力为 (10 2 )F t iN ，式中 t 的单位是 s 。 （ 1）求 4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量 ； （ 2）为了使这力的冲量为 200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来 静止的物体和一个具有初速度 16jms的物体，回答
21、这两个问题。 解： (1)若物体原来静止，则 41 00 (1 0 2 ) 5 6tp F d t t id t i 1kg m s ，沿 x 轴正向， 1111 1 15 .6 5 6 pv i m s I p i k g m sm , 若物体原来具有初速度 10 6v jm s ，则 0 0 0 0, ( ) tp m v p t m v F d t 于是 2 0 1()p p t p p 同理， 2 1 2 1,v v I I 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量 (亦即冲量 )就一定相同，这就是动量定理 (2)同上理，
22、两种情况中的作用时间相同，即 t ttdttI0 210)210(令 210 200tt ，解得 10ts 。 2.7 一小船质量为 100kg，船头到船尾共长 3.6m。现有一质 量为 50kg 的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。 L S人 S船 习题 2.7 图 解：由动量守恒 0 人人船船 vmVM 10 又 dtVS t0 船船， 船人 船船人船人人 SmMdtVmMdtvstt 00， 如图，船的长度 L S s人船 所以 3 .6 1 .21001150LSmMm 船 船人即 船头相对岸边移动 mS 2.1船 2.8 质量 2m kg 的质点 ,从静止出发
23、沿 X 轴作直线运动，受力 (12 )F t i (N)，试求开始 3s内该力作的功。 解 30(1 2 ) (1 2 )xxLLA F d x t d x tv d t 而 20 0 0 012 32t t txx x x Fv v a dt dt tdt tm 所以 3332 3 400 03612 3 36 72 9( J)4A t t dt t dt t 2.9 一地下蓄水池，面积为 250sm ，水深度为 1.5m ，假定水的上表面低于地面的高度是5.0m ，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少 ? O 0h y 1h dy Y 习题 2.9 图 解 :建坐标如习题 2.9 图，图中 0h 表示水面到地面的距离， 1h 表示水深。水的密度为
