1、194习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点 ;4(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点 M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点 M0(x0,y0,z0).解： sincos2,cosintbtt曲线在点 的切向量为4 ,044Txyzac当 时， 4t,2ab切线方程为.20cxyza法平面方程为 ()0.22bcxyz即 .2acz（2）联立方程组 2260xyz它确定了函数 y=y(x),z=z(x)，方程组两边对 x 求导，得d2210yzx解得 dd,yzxyz 195在点 M0
2、（1，-2，1）处， 00d,1Myzxx 所以切向量为1，0，-1.故切线方程为 1210yz法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即 x-z=0.(3)将方程 y2=2mx,z2=m-x 两边分别对 x 求导，得dd2,1mzx 于是 ,yx曲线在点（x 0,y0,z0）处的切向量为 ,故切线方程为01,2yz00,xmyz法平面方程为.0001()()()2xzy2. t (0 0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=6，B 2AC =360，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B 2AC =360,所以函
3、数有极小值 z(2,2)=-8.(2)解方程组2e(41)0)xyzy得驻点为 .1,22224e(1)xxyxzy在点 处,A=2e,B=0,C=2e, B2-AC=-4e20,所以函数有极小值 .12 e1,2z200(3) 解方程组22(6)4)0(xyzy得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=2(4 y-y2),Zxy=4(3x)(2y)Zyy=2(6 xx 2)在点（3，2）处，A=8，B=0，C=18，B 2AC =8180，所以(0,0) 点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B 2AC 0，所以(0,4) 不是极值点.
4、在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B 2AC 0，所以(6,0) 不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B 2AC 0，所以(6,4) 不是极值点.(4)解方程组2()2e1)0xy得驻点 P0(0,0),及 P(x0,y0),其中 x02+y02=1，在点 P0 处有 z=0，而当（x,y）(0,0)时，恒有 z0，故函数 z 在点 P0 处取得极小值 z=0.再讨论函数 z=ue-u由 ，令 得 u=1,d(1)d当 u1 时， ；当 u1 或 x2+y20 时负定，故此时 P2 是 z 的极大值点，且 .3,12. 设 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=
5、0，确定函数 z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对 x,y 求导，解得 484,21281yzzx令 解得 ,0,zxy0,x将它们代入原方程，解得 .162,7从而得驻点 .16(2,0),72 22222(81)(48)(14,(81).()zzzxxxyzxzzyyx在点（-2，0）处， B2-AC0，因此函数有极小值 z=1.441,0,515ZAC在点 处， B2-AC0，函数有极大值 .16,788,708713. 在平面 xOy 上求一点，使它到 x=0, y=0 及 x+2y-16=0 三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为 P(x,y)，P 点到 x=0 的
6、距离为|x |,到 y=0 的距离为 |y|，到直线 x+2y-16=0 的距离为 216216.5距离的平方和为 22()zxyxy202由2(16)054zxyy得唯一驻点 ,因实际问题存在最小值，故点 即为所求。8165 816,514. 求旋转抛物面 z = x2+y2 与平面 x+y-z=1 之间的最短距离。解：设 P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点 P 到平面的距离的平方为 ,即2(1)3xyzd求其在条件 z= x2+y2 下的最值。设 F（x,y ,z）=22(1)()3yzz解方程组 2(1)203(1)03xyzzFyzx得 1yz故所求最短距离为 32.6d15. 抛
7、物面 z = x2+y2 被平面 x+y+z =1 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为 P（x ,y,z） ，则|OP|2=x2+y2+z2.因 P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2， x+y+z=1设 F（x ,y,z）= x 2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程组1220yzx得 13,23xyz 203由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且.222139532xyzOP所以原点到椭圆的最长距离是 ，最短距离是 .9516. 在第 I 卦限内作椭球面 221xyzabc的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。解：令22(,)1xyzFyzabc 222,xyz椭球面上任一点 的切平面方程为00()Px00222()().yzabc即 1.x切平面在三个坐标轴上的截距分别为 ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体200,ayz的体积为 222000166bcaVxyzxyz即求 在约束条件 下的最小值，也即求 xyz 的最大值问题。26abcVxyz22abc设 ,22(,)1xyzxyzabc解方程组2220,0,1.xyzzabxcab
