1、- 0 -数据模型与决策课程案例一 生产战略一、问题提出好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了 BFI 专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期 BFI 的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被 BFI 公司命名为 BodyPlus100 和 BodyPlus200，由不同的
2、原材料生产而成。BodyPlus100 由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需要 4 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要 2 小时机器制造和焊接时间，1 小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要 2 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间。另外，每个 BodyPlus100 还需要 2 小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是 450 美元，每个压力装置的成本是 300 美元，每个提升一下拉装置是 250 美元。包装成本大约是每单位 50 美元。BodyPlus200 包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个
3、腿部拉伸装置。生产一个框架需要 5 小时机器制造和焊接时间，4 小时喷涂和完工时间；生产一个压力装置需要 3 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需要 2 小时机器制造和焊接时间，2 小时喷涂和完工时间，另外，每个 BodyPlus200 还需要 2 小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是 650 美元，每个压力装置的成本是 400 美元，每个提升一下拉装置是 250 美元，每个腿部拉伸装置的成本是 200 美元。包装成本大约是每单位 75 美元。在下一个生产周期，管理部门估计有 600 小时机器和焊接时间，450 小时喷涂和完工时间，140 小时组
4、装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接时间 20 美元，喷涂和完工时间 15 美元，组装、测试和包装 12 美元。虽然对于 BFI来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但 BodyPlus100 的市场建议价格是 2400 美元，BodyPlus200 是 3500 美元。授权的 BFI 销售商可以以市场价格的 70%来购买产品。BFI 的总裁相信 BodyPlus200 的独特功能可以帮助 BFI 成为高端锻炼器械的领导者。所以，他认为 BodyPlus200 的数量至少会占到整个生产数量的 25%。管理报告分析 BFI 的生产问题，为公司的总裁准
5、备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告包括以下几个方面（不仅于此）：（1）BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议生产数量是多少？（2）BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25%的要求会怎样影响利润？（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品 BodyPlus100 和 BodyPlus200 的描述，用- 1 -表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：表 1.1（1）BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议生产数量是多少？设 B
6、odyPlus100 的建议生产数量是 x1，BodyPlus200 的建议生产数量是 x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x220(8x1+10x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2 约束条件： 8x1+10x2 600 5x1+8x2 450 2x1+2x2 140x1，x2 0（2）BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25%的要求会怎样影响利润？设 BodyPlus100 的建议生产数量是 x1，BodyPlus200 的建议生产数量是 x2,总利润是Z，则 目标函数：maxz=2400x1+3500x220(8
7、x1+10x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2 约束条件： 8x1+10x2 600 5x1+8x2 450 2x1+2x2 140x1 -3x2 0x1，x2 03、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表 x2。（1）BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议生产数量是多少？根据问题（1）约束条件：作 8x1+10x2 = 600 直线，令 x1=0，则 x2=60；令 x2=0，则 x1=75同理，作 5x1+8x2=450， 2x1+2x2=140 两直线得图形如
8、下：产品 原材料成本（美元）零件BodyPlus100 BodyPlus200 BodyPlus100 BodyPlus200框架 4 2 5 4 450 650压力装置 2 1 3 2 300 400提升/下拉 2 2 2 2 250 250组装 2 2腿拉 200包装 50 75总共用时(h) 8 5 10 8总成本( 美元) 1050 1575机器 /焊接(h） 600 20喷涂/完工(h) 450 15组、测、包(h) 140劳动成本(美元/h) 12售价( 美元) 2400 3500- 2 -图 1.1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当 x1=150/7，y=300/7 时，z
9、最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x1=150/7 ，y=300/7综上所述，建议生产 BodyPlus100 产品 21 台，生产 BodyPlus200 产品 43 台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条件 耗费时间 可用时间机器 /焊接(h） 598 600喷涂/完工(h) 449 450组、测、包(h) 128 140表 1.2（2）BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25%的要求会怎样影响利润？根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加 x1-3x2 0 这一项约束条件。因此，我们在图 1.1 的基础上增加 x1-3x2 =0 直线，令 x
10、1=0，则 x2=0；令 x1=90，则 x2=30得到图形如下：由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图 1.1 和图 1.2 可行域范围明显减小。X11X22O 45 90 135 180 18013590455x1+8x2=4508x1+10x2 = 6002x1+2x2=140- 3 -当由此约束条件的情况下，当 x1=150/7，y=300/7 时， z 最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x1=150/7 ， y=300/7此时的建议生产量仍为 BodyPlus100 产品 21 台，生产 BodyPlus200 产品 42 台。综上所述，有 BodyPlus200
11、 的产量比例约束时最大利润无影响。（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？根据表 1.2，在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1. 机器/焊接所用时间仅比可用时间少 2 小时；2. 喷涂/完工所用时间仅比可用时间少 1 小时；3. 组、测、包所用时间比可用时间少 12 个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6 台器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；2. 增加喷涂和完工的可用时间。4、参考文献1 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇北京：机械工业出版社，2012- 4 -数据模型与决策课程案例二 投资战略一、问题提出J.D.
12、威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达 1.2 亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金占总投资 20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在 20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占 30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资 800000 美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为 0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是
13、 0.10，收入基金的风险指数是 0.07，货币市场的风险指数是 0.01。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是 18%，收入基金的收益是 12.5%，货币市场基金的收益是 7.5%。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（1）如何将 800 000 美元投资于这 3 种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？（2）假设客户的风险承受指数提高到 0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是 0.0
14、5，而股票成长基金的年收益率从 18%下降到 14%，那新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对 J.D.威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描述，用表格形式列举出三种基金的各项基本信息，表格如下：基金类型 年收益率 风险指数 投资限额 总投资额 总风险指数股票基金 18% 0.10 20%-4
15、0%收入基金 12.5% 0.07 20%-50%货币基金 7.5% 0.01 30%800000 0.05（1）如何将 800 000 美元投资于这 3 种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万） ，投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件： x1+x2+x30.8- 5 -0.16x10.320.16x20.4x30.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（2）假设客户的风险承受指数提高到 0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？设三种投资基金的
16、数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万） ，投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件： x1+x2+x30.80.16x10.320.16x20.4x30.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是 0.05，而股票成长基金的年收益率从 18%下降到 14%，那新的最佳投资方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万） ，投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3约束条件： x1+x2+x30.80.16x10.
17、320.16x20.4x30.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万） ，投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件： x1+x2+x30.80.16x10.320.16x20.4x30.24x1x20.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可
18、以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据该问题的描述，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时，最佳投资方案是否改变，即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。- 6 -因此可基于问题（1）的模型，运用 LINGO 软件对其作敏感度分析，求解出该模型适用的范围。设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3（单位为百万） ，投资的年收益为z，则目标函数maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件： x1+x2+x30.80.16x10.320.16x20.4x30.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.
19、053、模型求解与结果解释（1）如何将 800 000 美元投资于这 3 种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？根据问题（1）的约束条件，利用 LINGO 软件对（1）的模型求解可得：根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型 股票基金 收入基金 货币基金投资额（万美元） 0.249 0.16 0.391- 7 -即当 x1=0.249，x2=0.16，x3=0.391 时，z 最大，满 maxz=0.9413（万美元）（2）假设客户的风险承受指数提高到 0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？根据问题（2）的约束条件，利用 LINGO 软件对（2）的模型求解
20、可得：根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型 股票基金 收入基金 货币基金投资额（万美元） 0.293 0.16 0.347即当 x1=0.293，x2=0.16，x3=0.347 时，z 最大，满 maxz=0.988（万美元）（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是 0.05，而股票成长基金的年收益率从 18%下降到 14%，那新的最佳投资方案是什么？根据问题（3）的约束条件，利用 LINGO 软件对（3）的模型求解可得：- 8 -根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型 股票基金 收入基金 货币基金投资额（万美元） 0.16 0.293 0.
21、347即当 x1=0.16，x2=0.293，x3=0.347 时，z 最大，满 maxz=0.8507（万美元）（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？根据问题（4）的约束条件，利用 LINGO 软件对（4）的模型求解可得：- 9 -根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型 股票基金 收入基金 货币基金投资额（万美元） 0.213 0.213 0.373即当 x1=0.213，x2=0.213，x3=0.373 时，z 最大，满 maxz=0.9307（万美元）（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？根据问题（5）的约束条件，利用 LINGO 软件对该模型进行 RANGE 操作可得：
