1、25 题练习（ 3） -磁场的最小面积 1.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场 E 与匀强磁场 B1， E 的大小为 1.5103 V/m， B1 大小为 0.5 T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场的下边界与 x 轴重合。一质量 m 110 14 kg，电荷量 q 210 10 C 的带正电微粒以某一速度 v 沿与 y 轴正方向 60角从 M 点射入，沿直线运动，经 P 点后即进入处于第一象限内的磁场 B2 区域。一段时间后，微粒经过y 轴上的 N 点并与 y 轴正方向成 60角的方向飞出。 M 点的坐标为(0， 10)， N 点的坐标 为 (0,30)，不计微
2、粒重力， g 取 10 m/s2。则求： (1)微粒运动速度 v 的大小； (2)匀强磁场 B2 的大小； (3)B2 磁场区域的最小面积。 解析： (1)带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动， qE qvB1，解得 v E/B1 3103 m/s。 (2)画出微粒的运动轨迹如图，粒子做圆周运动的半径为 R 315 m。 由 qvB2 mv2/R，解得 B2 3 3/4 T。 (3)由图可知，磁场 B2 的最小区域应该分布在图示的矩形 PACD 内，由几何关系易得 PD 2Rsin 60 20 cm 0.2 m， PA R(1 cos 60) 3/30 m。 所以，所求磁场的最小面积为 S
3、 PDPA 3150 m2。 答案： (1)3103 m/s (2)3 34 T (3) 3150 m2 2 如图甲所示， x 轴正方向水平向右， y 轴正方向竖直向上。在 xoy 平面内有与 y 轴平行的匀强电场， 在半径为 R 的圆形区域内加有与 xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点 O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量 m、电荷量 q（ 0q ）和初速为 0v 的带电粒子。已知重力加速度大小为 g。 （ 1） 当带电微粒发射装置连续不断地沿 y 轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿 x 轴正方向运动。求电场强度
4、和磁场强度的大小和方向。 （ 2）调节坐标原点 0 处的带电微粒发射装置，使其在 xoy 平面内不断地以相同的速率 v0沿不同方向将这种带电微粒射入第 1 象限，如图乙所示。现要求这些带 电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。 解 （ 1）由题目中“带电粒子从坐标原点 O 处沿 y 轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿 x 轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。设电场强度大小为 E，由平衡条件得： qEmg 1 分 N qmgE1 分
5、电场方向沿 y 轴正方向 带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动 ，且圆运动半径 r=R。 设匀强磁场的磁感应强度大 小为 B。由牛顿第二定律得： RmvBqv 200 1 分 qRmvB 01 分 磁场方向垂直于纸面向外 1 分 （ 2）设由带电微粒发射装置射入第象限的带电微粒的初速度方向与 x 轴承夹角 ， 则 满足 0 2 ，由于带电微粒最终将沿 x 轴正方向运动， 故 B 应垂直于 xoy 平面向外，带电微粒在磁场内做半径为qBmvR 0匀速圆周运动。 由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面， 它们所对应的运动的轨迹如图所示。 2 分 为使这些带电微粒经磁场偏转后沿 x 轴正方向运动。
6、 由图可知，它们必须从经 O 点作圆运动的各圆的最高点飞 离磁场。 这样磁场边界上 P 点的坐标 P（ x， y）应满足方程： sinRx ， )cos1( Ry ， 所以磁场边界的方程为： 222 )( RRyx 2 分 由题中 0 2 的条件可知， 以 2 的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹 222)( RyRx 即为所求磁场的另一侧的边界。 2 分 因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆 222 )( RRyx 与圆 222)( RyRx 的 交集部分（图中阴影部分）。 1 分 由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为： 22202m in )12( Bq vmS 1 分 3.如
7、图所示，在平面直角坐标系 xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁 场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿 x 轴负方向的匀强电场一粒子源固定在 x 轴上的 A 点， A 点坐标为（ -L， 0）粒子源沿 y 轴正方向释放出速度大小为 v 的电子，电子恰好能通过 y 轴上的 C 点， C点坐标为（ 0， 2L），电子经过磁场偏转后方向恰好垂直 ON， ON是与 x 轴正方向成 15角的射线（电子的质量为 m，电荷量为 e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）求： （ 1）第二象限内电场强度 E 的大小 （ 2）电子离开电场时的速度方向与 y 轴
8、正方向的夹角 （ 3）圆形磁场的最小半径 Rmin 解：（ 1） 22mvE eL （ 2） =45 （ 3） 电子的运动轨迹如图，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径电子在磁场中偏转 120后垂直于 ON 射出，则磁场最小半径：由以上两式可得： 4.（ 黑龙江适应性测试 )在如右图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径 R 0.2m 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度 B 1.0T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点 O 相切 y 轴右侧存在电场强度大小为 E 1.0 104N/C 的匀强电场，方向沿 y 轴正方向，电场区域宽度 l 0.1m现从坐标为 ( 0.2m， 0.2m)的 P 点
9、发射出质量 m 2.0 10 9kg、带电荷量 q 5.0 10 5C 的带正电粒子，沿 y 轴正方向射入匀强磁场，速度大小 v05.0 103m/s.重力不计 (1)求该带电粒子射出电场时的 位置坐标； (2)为了使该带电粒子能从坐标为 (0.1m， 0.05m)的点回到电场后，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积 解析： (1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 qv0B mv20r 解得 r 0.20m R 根据几何关系可知，带电粒子恰从 O 点沿 x 轴进入电场，带电粒子做类平抛运动设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为
10、y，有 l v0t， y 12qEm t2 联立解得 y 0.05m 所以粒子射出电场时的位置坐标为 (0.1m,0.05m) (2)粒子飞离电场时，沿电场方向速度 vy at 5.0 103m/s v0 粒子射出电场时速度 v 2v0 由几何关系可知，粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径 r 0.05 2m 由 qvB m v2r ，解得 B 4T 正方形区域最小面积 S (2r )2 解得 S 0.02m2. 答案： (1)(0.1m,0.05m) (2)0.02m2 5.如图所示，在坐标系第一象限 内有正交的匀强电、磁场，电场强度 E 1.0 103 V/m，方向未知，磁感应强度 B 1
11、.0 T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场 B (图中未画出 )一质量 m 1 10 14 kg、电荷量 q 1 10 10 C 的带正电粒子以某一速度 v 沿与 x 轴负方向成 60角的方向从 A 点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从 B 点进入磁场 B 区域一段时间后，粒子经过 x 轴上的 C 点并与 x 轴负方 向成 60角飞出已知 A 点坐标为 (10,0)，C 点坐标为 ( 30,0)，不计粒子重力 (1)判断 匀强电场 E 的方向并求出粒子的速度 v. (2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度 B . (3)求第二象限磁场 B
12、 区域的最小面积 解析 (1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场 E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与 x轴正向成 30角斜向右上方 由平衡条件有 Eq Bqv 得 v EB 1.0 1031.0 m/s 103 m/s (2)粒子从 B 点进入第二象限的磁场 B 中，轨迹如图 粒子做圆周运动的半径为 R，由几何关系可知 R 10cos 30 cm 203cm 由 qvB mv2R，解得 B mv2qvRmvqR，代入数据解得 B 32 T. (3)由图可知， B、 D点应分别是粒子进入磁场和离开磁
13、场的点，磁场 B 的最小区域应该分布在以 BD为直径的圆内由几何关系得 BD 20 cm，即磁场圆的最小半径 r 10 cm，所以，所求磁场 的最小面积为 S r2 3.14 10 2 m2 答案 (1)与 x 轴正向成 30角斜向右上方 103 m/s (2)运动轨迹见解析图 32 T (3)3.14 10 2 m2 6如图甲所示，在 xOy 平面内有足够大的匀强电场，电场方向竖直向上，电场强度 E 40 N/C，在 y 轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场，磁感应强度 B1 随时间 t 变化的规律如图乙所示， 15 s后磁场消失，选定磁场垂直纸面向里为正方向在 y 轴右侧平面内还有方向垂直纸面向
14、外的恒定的匀强磁场，分布在一个半径为 r 0.3 m 的圆形区域 (图中未画出 )，且圆的左侧与 y 轴相切， 磁感应强度 B2 0.8 T t 0 时刻，一质量 m 8 10 4 kg、电荷量 q 2 10 4 C 的微粒从 x 轴上 xP 0.8 m处的 P 点以速度 v 0.12 m/s 向 x 轴正方向入射 (g 取 10 m/s2，计算结果保留两位有效数字 ) (1)求微粒在第二象限运动过程中离 y 轴、 x 轴的最大距离 (2)若微粒穿过 y 轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度 最大，求此圆形磁场的圆心坐标 (xy) 解析 (1)因为微粒射入电磁场后受到的电场力 F 电 Eq 8
15、 10 3 N， G mg 8 10 3 N F 电 G，所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 因为 qvB1 mv2R1 所以 R1mvB1q 0.6 m T 2mB1q 10 s 从图乙可知在 0 5 s内微粒向左做匀速圆周运动 在 5 s 10 s内微粒向左匀速运动，运动位移 x1 vT2 0.6 m 在 10 s 15 s内，微粒又做匀速圆周运动， 15 s以后向右匀速运动，之后穿过 y轴所以，离 y轴的最大距离 s 0.8 m x1 R1 1.4 m 0.6 m 3.3 m 离 x轴的最大距离 s 2R1 2 4R1 2.4 m (2)如图，微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大， （因为
16、 R=2r） 入射点 A与出射点 B的连线必须为磁场圆的直径 因为 qvB2 mv2R2 所以 R2 mvB2q 0.6 m 2r 所以最大偏转角 60 所以圆心坐标 x 0.30 m y s rcos 60 2.4 m 0.3 m 12 2.3 m， 即磁场的圆心坐标为 (0.30,2.3) 答案 (1)3.3 m,2.4 m (2)(0.30,2.3) 7.如图所示，虚线 MO 与水平线 PQ 相较于 O 点，二者夹角 =300，在 MO 右侧某个区域存在着磁感应强度为 B、垂直纸面向里的匀强磁场，在 MO 左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场，磁感应强度为 B。 现有一群质量为 m、电量为 +q 的带电粒子在纸面内以速度v（ 0v EB ）垂直于 MO 从 O 点射入磁场，所有粒子通过直线 MO 时，速度方向均平行于PQ 向 左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力求： （ 1）磁场区域的最小面积 （ 2）速度最大的粒子从 O 开始射入磁场至返回水平线 POQ 所用的时间
