1、例 1 在二项式 nxx 421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项 分析： 本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决 解： 二项式的展开式的通项公式为： 4 3241 21C2 1)(C rnrrnrrnrnr xxxT 前三项的 .2,1,0r 得系数为： )1(8141C,2121C,1 23121 nntntt nn， 由已知： )1(8112312 nnnttt， 8n 通项公式为1431681 ,82,1,021C rrrrr TrxT 为有理项，故 r316 是 4 的倍数， .8,4,0r 依次得到有理项为 22888944
2、8541 2 5 6121C,83521C, xxTxxTxT 说明： 本题通过抓特定项满 足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项类似地，1003 )32( 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有 17 页 ， 系数和为 n3 例 4 （ 1）求 103 )1()1( xx 展开式中 5x 的系数；（ 2）求 6)21( xx 展开式中的常数项 解： （ 1） 103 )1()1( xx 展开式中的 5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用 3)1( x 展开式中的常数项乘以 10)1( x 展开式中的 5x 项，可以得到 5510Cx
3、；用 3)1( x 展开式中的一次项乘以 10)1( x 展开式中的 4x 项可得到 54104410 C3)C)(3( xxx ；用 3)1( x 中的 2x 乘以 10)1( x 展开式中的 3x 可得到 531033102 C3C3 xxx ；用 3)1( x 中的 3x 项乘以 10)1( x 展开式中的 2x 项可得到521022103 CC3 xxx ，合并同类项得 5x 项为： 55210310410510 63)CC3CC( xx （ 2） 2121 xxxx125 1)21( xxxx由 121 xx展开式的通项公式rrrrrr xxT 61212121 C1)2(C ，可得
4、展开式的常数项为 924C612 例 5 求 62)1( xx 展开式中 5x 的系数 分析： 62)1( xx 不是二项式，我们可以通过 22 )1(1 xxxx 或 )(1 2xx 把它看成二项式展开 解： 方法一： 6262 )1()1( xxxx 4425 )1(15)1(6)1( xxxxx 其中含 5x 的项为 5514535556 6C15C6C xxxx 含 5x 项的系数为 6 例 6 求证：（ 1） 121 2CC2C nnnnn nn ； （ 2） )12(11C11C31C21C 1210 nnnnnn nn 分析： 二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项
5、式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 nnnnnn 2CCCC 210 解： （ 1） 11C)!()!1( )!1()!()!1( !)!(! !C knkn nknk nnknk nknk nkk左边 111 10 1 CCC nnnn nnn 1111 10 1 2)CCC( nnnnn nn 右边 （ 2 ）)!()!1( !)!(! !11C11 knk nknk nkk kn 11C11)!()!1( )!1(11 knnknk nn左边112 11 1 C11C11C
6、11 nnnn nnn )12(11)CC(C11 1112 11 1 nnnnn nn 右边 说明： 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求 10C2C2C2C2 2108107910810109 的结果仔细观察可以发现该组合数的式与 10)21( 的展开式接近，但要注意： 1010109910221011001010 2C2C2C2CC)21( 1010109109210 C2C2C21021 )C2C2C210(21 101099
7、108210 从而可以得到： )13(21C2C2C210 10101099108210 典型例题七 例 7 利用二项式定理证明： 983 22 nn 是 64 的倍数 分析： 64 是 8 的平方，问题相当于证明 983 22 nn 是 28 的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形 1122 )18(93 nnn ，将其展开后各项含有 k8 ，与 28 的倍数联系起来 解： 983 22 nn 98)18(989 11 nn nn 9818C8C8C8 12111 11 nnnnnnnn 981)1(88C8C8 2111 11 nnnnnnn 2111 11 8C8C8 nnnnn 64
8、)C8C8( 1121 11 nnnnn 是 64 的倍数 说明： 利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式 除以一个数的余数 典型例题八 例 8 展开 52232 xx 分析 1： 用二项式定理展开式 解法 1： 52232 xx22325241502505 2 3)2(2 3)2(2 3)2( xxCxxCxxC5255424532235 2 32 3)2(2 3)2( xCxxCxxC107425 322 4 384 0 51 3 51 8 01 2 032 xxxxxx 分析 2： 对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 解法 2：105352
9、 32 )34(2 32 xxxx 233254315530510 )3()4()3()4()4(32 1 xCxCxCx )3()3()4()3()4( 5554134532335 CxCxC )2 4 3 71 6 2 04 3 2 05 7 6 03 8 4 01 0 2 4(32 1 369121510 xxxxxx 107425 322 4 384 0 51 3 51 8 01 2 032 xxxxxx 说明： 记准、记熟二项式 nba )( 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便 典型例题九 例 9 若将 10)( zyx 展开为
10、多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ） A 11 B 33 C 55 D 66 分析： 10)( zyx 看作二项式 10)( zyx 展开 解： 我们把 zyx 看成 zyx )( ，按二项式展开，共有 11“项”，即 10 0 10101010 )()()( k kkk zyxCzyxzyx 这时，由于“和”中各项 z 的指数各不相同，因此再将各个二项式 kyx 10)( 展开， 不同的乘积 kkk zyxC 1010 )( （ 10,1,0 k ）展开 后，都不会出现同类项 下面，再分别考虑每一个乘积 kkk zyxC 1010 )( （ 10,1,0 k ） 其中每一个乘积展开后的项
11、数由 kyx 10)( 决定， 而且各项中 x 和 y 的指数都不相同，也不会出现同类项 故原式展开后的总项数为 66191011 ， 应选 D 典型例题十 例 10 若 nxx 21的展开式的常数项为 20 ，求 n 分析： 题中 0x ，当 0x 时，把三项式 nxx 21转化为 nnxxxx2121 ；当 0x时，同理 nnnxxxx21)1(21 然后写出通项，令含 x 的幂指数为零，进而解出 n 解： 当 0x 时 nnxxxx2121 ，其通项为 rnr nrrrnr nr xCxxCT 222221 )()1()1()( ， 令 022 rn ，得 rn ， 展开式的常数项为 n
12、nnC2)1( ； 当 0x 时， nnnxxxx21)1(21 ， 同理可得，展开式的常数项为 nnnC2)1( 无论哪一种情况，常数项均为 nnnC2)1( 令 20)1( 2 nnnC ，以 ,3,2,1n ，逐个代入，得 3n 典型例题十一 例 11 1031 xx 的展开式的第 3 项小于第 4 项，则 x 的取值范围是 _ 分析： 首先运用通项公式写出展开式的第 3 项和第 4 项，再根据题设列出不等式即 可 解： 使 1031 xx 有意义，必须 0x ； 依题意，有 43 TT ，即 3373102382101)(1)( xxCxxC 3 1123 891012 910 xx
13、（ 0x ） 解得 5 648980 x x 的取值范围是 5 648980 xx 应填： 5 648980 x 典型例题十二 例 12 已知 nxx )1( 2log 的展开式中有连续三项的系数之比为 321 ，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为 112 ，求 x 的值 解： 设连续三项是第 k 、 1k 、 2k 项（ Nk 且 1k ），则有 32111 knknkn CCC ， 即 321!)1)(1( !)(! !)1)(1( ! knk nknk nknk n 321)1( 1)( 1)1)( 1 kkknkknkn 32)()1(21132)()1(21)1)()(knkkn
14、kknkkkknknknk14n ， 5k 所求连续三项为第 5 、 6 、 7 三项 又由已知， 1122log1314 xxC 即 82log xx 两边取以 2 为底的对数， 3)(log 22 x ， 3log2 x ， 32x ，或 32x 说明： 当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解 典型例题十三 例 13 nx)21( 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 分析： 根据已知条件可求出 n ，再根据 n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项 解： 556 )2(
15、xCT n ， 667 )2( xCT n ，依题意有 822 6655 nCC nn 8)21( x 的展开式中，二项式系数最大的项为 44485 1 1 2 0)2( xxCT 设第 1r 项系数最大，则有 6522 22 11881188 rCCCCrrrrrrrr 5r 或 6r （ 8,2,1,0 r ） 系娄最大的项为： 56 1792xT ， 67 1792xT 说明： (1)求二项式系 数最大的项，根据二项式系数的性质， n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变
16、化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得 典型例题十四 例 14 设 nm xxxf )1()1()( ( Nnm, )，若其展开式中关于 x 的一次项的 系数和为 11 ，问nm, 为何值时，含 2x 项的系数取最小值？并求这个最小值 分析： 根据已知条件得到 2x 的系数关于 n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题 解： 1111 mnCC nm 2 11)(21 222222 nmnnmmCC nm 499)211(55112 21 1 0 22 nnnmn Nn ， 5n 或 6 ， 6m 或 5 时， 2x 项系数最小，最小值为 25 说明： 二次函数 499)21
17、1( 2 xy 的对称轴方程为 211x ，即 5.5x ，由于 5 、 6 距 5.5 等距离，且对 Nn ， 5 、 6 距 5.5 最近，所以 499)211( 2 n 的最小值在 5n 或 6n 处取得 典型例题十五 例 15 若 0166777)13( axaxaxax ， 求 (1) 721 aaa ； (2) 7531 aaaa ； (3) 6420 aaaa 解： (1)令 0x ，则 10 a ， 令 1x ，则 1282 70167 aaaa 129721 aaa (2)令 1x ，则 701234567 )4( aaaaaaaa 由 2 得： 8256412821 775
18、31 ）（aaaa(3)由 2 得： 6420 aaaa 210123456701234567）（）（aaaaaaaaaaaaaaaa 8 1 2 8)4(1 2 821 7 说明：（ 1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法这是一种重要的方法，它适用于恒等式 (2)一般地，对于多项式 nnn xaxaxaaqpxxg 2210)()( ， )(xg 的各项的系数和为 )1(g ： )(xg 的奇数项的系数和为 )1()1(21 gg )(xg 的偶数项的系数和为 )1()1(21 gg 典型例题十六 例 16 填空： (1) 3230 除以 7 的余数 _ ； (2) 155555 除以
19、 8 的余数是_. 分析 (1)： 将 302 分解成含 7 的因数，然后用二项式定理展开，不含 7 的项就是余数 解： 3230 3)2( 103 3)8( 10 3)17( 10 3777 1010910911010010 CCCC 2777 91081109010 CCC 又余数不能为负数，需转化为正数 3230 除以 7 的余数为 5 应填： 5 分析 (2)： 将 5555 写成 55)156( ，然后利用二项式定理展开 解： 155555 15)156( 55 15565656 555554555415555055 CCCC 容易看出该式只有 14155555 C 不能被 8 整除
20、，因此 155555 除以 8 的余数，即 14 除以 8 的余数，故余数为 6 应填： 6 典型例题十七 例 17 求证：对于 Nn ， 111111 nnnn 证明： nn 11展开式的通项 rrnrrnr nr pnCT !11 rr rnnnnr )1()2)(1(!1 )11()21)(11(!1 nrnnr 1111 nn展开式的通项 rrnrrnr nr AnCT )1(!)1( 111 )111()121)(111(!1 nrnnr 由二项式展开式的通项明显看出 11 rr TT ， 所以 111111 nnnn 说明： 本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根
21、据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明 典型例题十八 例 18 在 52 )23( xx 的展开式中 x 的系数为（ ） A 160 B 240 C 360 D 800 分析： 本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为 二项式求解 解法 1： 由 5252 2)3()23( xxxx ， 得 kkkk xxCT 2)3( 5251 kkk xxC 525 )3(2 再一次使用通项公式得， rkrr kkkr xCCT 210551 32 ， 这里 50 k ， kr 50 令 1210 rk ，即 92 rk 所以 1r ， 4k ，由此得到 x 的系数为 240324
22、45 C 解法 2： 由 5552 )2()1()23( xxxx ，知 5)1( x 的展开式中 x 的系数为 45C ， 常数项为 1， 5)2( x 的展开式中 x 的系数为 445 2C ，常数项为 52 因此原式中 x 的系数为 24022 445545 CC 解法 3： 将 52 )23( xx 看作 5 个三项式相乘， 展开式中 x 的系数就是从其中一个三项式中取 x3 的系数 3 ， 从另外 4 个三项式中取常数项相乘所得的积，即 24023 44415 CC 应选 B 典型例题十九 例 19 已知 92 xxa的展开式中 3x 的系数为 49 ，常数 a 的值为 _ 分析：
23、利用二项式的通项公式 解： 在 92 xxa的展开式中， 通项公式为 rrrr xxaCT 2991 923299 21)1( rrrrr xaC 根据题设， 3923 r ，所以 8r 代入通项公式，得 39 169 axT 根据题意， 49169 a ，所以 4a 应填： 4 典型例题二十 例 20 (1)求证： nnnnnn CCC )2(3)1(3331 33221 (2)若 443322104)32( xaxaxaxaax ，求 2312420 )()( aaaaa 的值 分析： (1)注意观察 nnnnnn xCxCxCx 2211)1( 的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明 (2)注意到 )()()( 432102312420 aaaaaaaaaa )( 43210 aaaaa ，再用赋值法求之 解： (1)在公式 nnnnnn xCxCxCx 2211)1( 中令 3x ，即有 nnnnnn CCC )3()3()3(1)31( 2211 nnnn CC 3)1(331 221 等式得证 (2)在展开式 443322104)32( xaxaxaxaax 中， 令 1x ，得 443210 )32( xaaaaa ； 令 1x ，得 443210 )32( aaaaa 原式 )()( 4321043210 aaaaaaaaaa 1)32()32( 44
