1、 第三章 导数及其应用 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1.(2009 年广东卷 文 )函数 xexxf )3()( 的单调递增区间是 ( ) A. )2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( 答案 D 解析 ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 )x x xf x x e x e x e ,令 ( ) 0fx ,解得 2x ,故选 D 2.（ 2009 全国卷理） 已知直线 y=x+1 与曲线 y ln( )xa相切，则的值为 ( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B 解 :设切点 00( , )Px y ，则 0 0 0 0ln1, ()
2、yx ayx ,又001|1xxy xa 0 0 01 0 , 1 2x a y x a .故答案 选 B 3.（ 2009 安徽卷理） 已知函数 ()fx在 R 上满足 2( ) 2 ( 2 ) 8 8f x f x x x ，则曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程是 ( ) A. 21yx B. yx C. 32yx D. 23yx 答案 A 解析 由 2( ) 2 ( 2 ) 8 8f x f x x x 得几何2( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 8 ( 2 ) 8f x f x x x ， 即 22 ( ) ( 2 ) 4 4f x f x x x ， 2()f
3、 x /( ) 2f x x ，切线方程1 2( 1)yx ，即 2 1 0xy 选 A 4.（ 2009 江西卷文） 若存在 过点 (1,0) 的直线与曲线 3yx 和 2 15 94y ax x 都相切，则a 等于 ( ) A 1 或 25-64B 1 或 214C 74 或 25-64D 74 或 7 答案 A 解析 设过 (1,0) 的直线与 3yx 相切于点 300( , )xx ，所以切线方程为 320 0 03 ( )y x x x x 即 230032y x x x，又 (1,0) 在切线上，则 0 0x 或0 32x ， 当 0 0x 时，由 0y 与 2 15 94y ax
4、 x 相切可得 2564a ， 当0 32x 时，由 27 2744yx与 2 15 94y ax x 相切可得 1a ，所以选 A . 5.（ 2009 江西卷理） 设函数 2( ) ( )f x g x x，曲线 ()y g x 在点 (1, (1)g 处的切线方程为21yx，则曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处切线的斜率为 ( ) A 4 B 14 C 2 D 12 答案 A 解析 由已知 (1) 2g ，而 ( ) ( ) 2f x g x x，所以 (1) (1) 2 1 4fg 故选 A 力。 6.（ 2009 全国卷理） 曲线 21xy x 在点 1,1 处的切线方
5、程为 ( ) A. 20xy B. 20xy C. 4 5 0xy D. 4 5 0xy 答案 B 解 1 1 1222 1 2 1| | | 1( 2 1 ) ( 2 1 )x x xxxy xx , 故切线方程为 1 ( 1)yx ,即 20xy 故选 B. 7.（ 2009 湖南卷文）若函数 ()y f x 的 导函数 在区间 , ab 上是增函数， 则函数 ()y f x 在区间 , ab 上的图象可能是 ( ) A B C D 解析 因为函数 ()y f x 的 导函数 ()y f x 在区间 , ab 上是增函数 ，即在区间 , ab上各点处的 斜率 k 是递增的 ，由图易知 选
6、A. 注意 C 中 yk 为常 数噢 . 8.（ 2009 辽宁卷理） 若 1x 满足 2x+2x =5, 2x 满足 2x+2 2log (x 1)=5, 1x + 2x ( ) A. 52B.3 C. 72D.4 答案 C 解析 由题意 112 2 5xx 2 2 22 2 log ( 1) 5xx 所以 112 5 2x x,1 2 1log (5 2 )xx即 21 2 12 log (5 2 )xx令 2x1 7 2t,代入上式得 7 2t 2log2(2t 2) 2 2log2(t 1) 5 2t 2log2(t 1)与式比较得 t x2 于是 2x1 7 2x2 9.（ 2009
7、 天津卷理） 设函数 1( ) ln ( 0 ),3f x x x x 则 ()y f x ( ) A 在区间 1( ,1),(1, )ee 内均有零点。 B 在区间 1( ,1),(1, )ee 内均无零点。 C 在区间 1( ,1)e 内有零点，在区间 (1,)e 内无零点。 D 在区间 1( ,1)e 内无零点，在区间 (1,)e 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析 由题得 xxxxf 3 3131)( ，令 0)( xf 得 3x ；令 0)( xf 得30 x ； 0)( xf 得 3x ，故知函数 )(xf 在区间 )3,0( 上为减函数，在区间 ),3(
8、为增函数，在点 3x 处有极小值 03ln1 ；又 a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y 0131)1(,013,31)1( eefeeff ，故选择 D。 二、填空题 10.（ 2009 辽宁卷文） 若函数 2() 1xafx x 在 1x 处取极值，则 a 解析 f (x) 222 ( 1) ( )( 1)x x x ax f (1) 34a 0 a 3 答案 3 11.若曲线 2f x ax Inx存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 . 解析 解析 由题意该函数的定义域 0x ，由 12f x ax x 。因为存在垂直于 y 轴的
9、切线，故此时斜率为 0 ，问题转化为 0x 范围内导函数 12f x ax x 存在零点。 解法 1 （图像法）再将之转化为 2g x ax 与 1hxx 存在交点。当 0a 不符合题意，当 0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当 0a 如图 2，此时正好有一个交点，故有 0a 应填 ,0 或是 |0aa 。 解法 2 （分离变量法）上述也可等价于方程 120ax x在 0, 内有解，显然可得 21 ,02a x 12.（ 2009 江苏卷）函数 32( ) 1 5 3 3 6f x x x x 的单调减区间为 . 解 析 考查利用导数判断函数的单调性。 2( ) 3 3 0 3 3
10、 3 ( 1 1 ) ( 1 )f x x x x x ， 由 ( 11)( 1) 0xx 得单调减区间为 ( 1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.（ 2009 江苏卷）在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线 3: 10 3C y x x 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 23 1 0 2 2y x x ，又点 P 在第二象限内， 2x 点 P 的坐标为（ -2， 15） 答案 : 1a 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 ,隐含着对指数函数的性质的考查 ,
11、根据其底数的不同取值范围而分别画出 函数的图象解答 . 14.（ 2009 福建卷理） 若曲线 3( ) lnf x ax x存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _. 答案 ( ,0) 解析 由题意可知 21( ) 2f x ax x，又因为存在垂直于 y 轴的切线， 所以 23112 0 ( 0 ) ( , 0 )2a x a x axx 。 15.(2009 陕西卷理 )设曲线 1*()ny x n N在点（ 1， 1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ,令 lgnnax ，则 1 2 99a a a 的值为 . 答案 -2 1*111 2 9 9 1 2 9 9()
12、 ( 1 ) | 1 1 ( 1 ) ( 1 )11 2 9 8 9 9 1. . l g . . l g . . l g 22 3 9 9 1 0 0 1 0 0nnnxny x n Ny x y n x y n y n xnxna a a x x x 解 析 ： 点 （ 1 ， 1 ） 在 函 数 的 图 像 上 ， （ 1 ， 1 ） 为 切 点 ，的 导 函 数 为 切 线 是 ：令 y=0 得 切 点 的 横 坐 标 ：16.（ 2009 四川卷文） 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 :,f V V a V，记 a 的象为 ()fa 。若映射 :f V V 满足：对
13、所有 a b V、 及任意实数 ,都有( ) ( ) ( )f a b f a f b ，则 f 称为平 面 M 上的线性变换。现有下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换， a b V、 ，则 ( ) ( ) ( )f a b f a f b 若 e 是平面 M 上的单位向量，对 , ( )a V f a a e 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 对 , ( )a V f a a 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 设 f 是平面 M 上的线性变换， aV ，则对任意实数 k 均有 ( ) ( )f ka kf a 。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 解析
14、：令 1 ，则 )()()( bfafbaf 故 是真命题 同理， ：令 0, k ，则 )()( akfkaf 故 是真命题 ： aaf )( ，则有 bbf )( )()()()()()( bfafbababaf 是线性变换，故是真命题 ：由 eaaf )( ，则有 ebbf )( ebfafeebeaebabaf )()()()()()( e 是单位向量， e 0，故 是假 命题 【备考提示】 本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 17.（ 2009宁夏海南卷文） 曲线 21xy xe x 在点（ 0,1）处的切
15、线方程为 。 答案 31yx 解析 2 xx xeey ，斜率 k 200 e 3，所以， y 1 3x，即 31yx 三、解答题 18.（ 2009 全国卷理） 本小题满分 12 分。 （ 注意：在试题卷上作答无效） 设函数 3233f x x b x c x 在两个极值点 12xx、 ，且 12 1 0 , 1, 2 .xx ， （ I） 求 bc、 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 ,bc 的区域； (II)证明 ： 2 110 2fx 分析（ I） 这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。 23 6 3f x x
16、 b x c 由题意知方程 0fx 有两个根12xx、 1 10,x 且 ， 2 1,2.x 则有 10f ， 00f ， 1 0 2 0ff， 故有 右图中阴影部分即是 满足这些条件的点 ,bc 的区域 。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找 到突 破口 。此 题主 要利 用消 元的 手段 ，消去 目标 322 2 2 233f x x b x c x 中的 b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用 2x 的范围，并借助（ I）中的约束条件得 2,0c 进而求解，有较强的技巧性。 解析 由题意有 22 2 23 6 3 0f x x b x c 又 322
17、2 2 233f x x b x c x 消去 b 可得 32 2 21322cf x x x 又 2 1,2x ，且 2,0c 2 110 ( ) 2fx 19.（ 2009 浙江文） （本题满分 15 分）已知函数 32( ) (1 ) ( 2 )f x x a x a a x b ( , )abR （ I）若函数 ()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3 ，求 ,ab的值； （ II）若函数 ()fx在区间 ( 1,1) 上 不单调 ，求 a 的取值范围 解析 （ ）由题意得 )2()1(23)( 2 aaxaxxf 又 3)2()0( 0)0( aaf bf，解得 0b ， 3
18、a 或 1a （ ）函数 )(xf 在区间 )1,1( 不单调，等价于 导函数 )(xf 在 )1,1( 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数 即函数 )(xf 在 )1,1( 上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1( ff ， 即： 0)2()1(23) 2()1(23 aaaaaa 整理得： 0)1)(1)(5( 2 aaa ，解得 15 a 20.（ 2009 北京文）（本小题共 14 分） 设函数 3( ) 3 ( 0 )f x x a x b a . （）若曲线 ()y f x 在点 (2, ( )fx 处与直线 8y 相切，求 ,ab的值； （）求函数 ()f
19、x的单调区间与极值点 . 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力 （） 233f x x a, 曲线 ()y f x 在点 (2, ( )fx 处与直线 8y 相切， 20 3 4 0 4,24.8 6 828f a ababf （） 230f x x a a , 当 0a 时， 0fx ，函数 ()fx在 , 上单调递增， 此时函数 ()fx没有极值点 . 当 0a 时，由 0f x x a ， 当 ,xa 时， 0fx ，函数 ()fx单调递增， 当 ,x a a 时， 0fx ，函数 ()fx单调递减， 当 ,xa 时， 0fx
20、 ，函数 ()fx单调递增， 此时 xa 是 ()fx的极大值点， xa 是 ()fx的极小值点 . 21.（ 2009 北京理）（本小题共 13 分） 设函数 ( ) ( 0)kxf x xe k （ ）求曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ ）求函数 ()fx的单调区间； （ ）若函数 ()fx在区间 ( 1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围 . 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力 （） 1 , 0 1 , 0 0kxf x k x e f f , 曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f
21、 处的切线方程为 yx . （ ）由 10kxf x k x e ，得 1 0xkk ， 若 0k ，则当 1,xk 时， 0fx ，函数 fx单调递减， 当 1 ,xk 时， 0fx ，函数 fx单调递增， 若 0k ，则当 1,xk 时， 0fx ，函数 fx单调递增， 当 1 ,xk 时， 0fx ，函数 fx单调递减， （ ）由（ ）知，若 0k ，则当且仅当 1 1k ， 即 1k 时，函数 fx 1,1 内单调递增， 若 0k ，则当且仅当 1 1k， 即 1k 时，函数 fx 1,1 内单调递增， 综上可知，函数 fx 1,1 内单调递增时， k 的取值范围是 1,0 0,1 .
22、 22.(2009 山东 卷文 )（本小题满分 12 分） 已知函数 321( ) 33f x a x b x x ,其中 0a （ 1）当 ba, 满足什么条件时 , )(xf 取得极值 ? （ 2）已知 0a ,且 )(xf 在区间 (0,1 上单调递增 ,试用 a 表示出 b 的取值范围 . 解 : (1)由已知得 2( ) 2 1f x a x b x ,令 0)( xf ,得 2 2 1 0ax bx , )(xf 要取得极值 ,方程 2 2 1 0ax bx 必须有解 , 所以 24 4 0ba ,即 2ba , 此时方程 2 2 1 0ax bx 的根为 221 2 4 42b
23、b a b b ax aa , 222 2 4 42b b a b b ax aa , 所以 12( ) ( )( )f x a x x x x 当 0a 时 , x (- ,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+ ) f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 )(xf 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值 . 当 0a 时 , x (- ,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+ ) f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以 )(xf 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值 . 综上 ,当 b
24、a, 满足 2ba 时 , )(xf 取得极值 . (2)要使 )(xf 在区间 (0,1 上单调递增 ,需使 2( ) 2 1 0f x a x b x 在 (0,1 上恒成立 . 即 1 , (0 ,122axbxx 恒成立 , 所以max1()22axb x 设 1() 22axgx x , 2221()1( ) 2 2 2axa agx xx , 令 ( ) 0gx 得 1xa或 1xa(舍去 ), 当 1a 时 , 101a,当 1(0, )xa时 ( ) 0gx , 1() 22axgx x 单调增函数 ; 当 1( ,1xa时 ( ) 0gx , 1() 22axgx x 单调减函数 , 所以当 1xa时 , ()gx 取得最大 ,最大值为 1()gaa . 所以 ba 当 01a时 , 1 1a,此时 ( ) 0gx 在区间 (0,1 恒成立 ,所以 1() 22axgx x 在区间 (0,1 上单调递增 ,当 1x 时 ()gx 最大 ,最大值为 1(1) 2ag ,所以 12ab
