1、1 概率与统计 专项练习 （解答题） 1（ 2016 全国 卷，文 19， 12 分 ） 某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数 （ ）若 n 19，求 y 与
2、x 的函数解析式； （ ）若要求 “需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值 ； （ ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解：（ ）当 x19 时， y 3800 当 x 19 时， y 3800 500(x 19) 500x 5700 y 与 x 的函数解析式为 y 3800， 195005700， 19(x N) （ ）需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.
3、46，不大于 19 的频率为 0.7 n 的最小值为 19 （ ） 若同时购买 19 个易损零件 则这 100 台机器中 ， 有 70 台 的 费用为 3800， 20 台的费用为 4300， 10 台的费用为 4800 平均数为 1100(380070 430020 480010) 4000 若同时购买 20 个易损零件 则这 100 台机器中 ， 有 90 台的费用为 4000， 10 台的费用为 4500 平均数为 1100(400090 4500100) 4050 4000 4050 同时应购买 19 个易损零件 2 （ 2016 全国 卷，文 18， 12 分 ） 某险种的基本保费为
4、 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 21频数更换的易损零件数06101620242 频数 60 50 30 30 20 10 （ ） 记 A 为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费 ”， 求 P(A)的估计值； （ ） 记 B 为事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保
5、费的 160 ”， 求P(B)的估计值； （ ） 求续保人本年度的平均保费估计值 解： （ ） 若 事件 A 发生 ， 则 一年内出险次数小于 2 则 一年内险次数小于 2 的频率为 P(A) 60:50200 0.55 P(A)的估计值为 0.55 （ ） 若 事件 B 发生 ， 则 一年内出险次数大于 1 且小于 4 一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 P(B) 30:30200 0.3 P(B)的估计值为 0.3 （ ） 续保人本年度的平均保费为 1200(0.85a60 a50 1.25a30 1.5a30 1.75a20 2a10) 1.1925a 3（ 2016 全国 卷
6、，文 18， 12 分 ） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （ ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据： 71 9.32ii y ， 71 40.17iii ty ， 712)(i i yy 0.55， 72.646 参考公式：相关系数 r niniiiniiiyyttyytt1 1221)()()( 回归方程 t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： niiniiittyyt
7、t121)()(， 解：（ ）由折线图中数据 得 17(1 2 3 4 5 6 7) 41 分 3 由 附注中参考数据得 71 )(i ii yytt 71i iiyt 71i iyt 40.17 49.32 2.89 2 分 71 2)(i i tt 27262424232221 )4()4()4()4()4()4()4( ttttttt 28 3 分 71 2)(i i yy 0.55 4 分 r niniiiniiiyyttyytt1 1221)()()( ni ini iyytt1212 )()(89.2 55.02889.2 0.99 5 分 y 与 t 的相关关系 r 近似为 0.
8、99，说明 y与 t 的线性相关程度相当高 可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 6 分 （ ） 771i iy 9.327 1.3317 分 niiniiittyytt121)()( 2.8928 0.1038 分 1.331 0.10340.929 分 y 关于 t 的回归方程 为 0.92 0.103t 10 分 2016 年对应的 t 9 11 分 把 t 9 代入 回归方程得 0.92 0.1039 1.82 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 12 分 4 （ 2015 全国 卷，文 19， 12 分 ） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费
9、， 需了解年宣传费 x(单位 ： 千元 )对年销售量 y(单位 ： t)和年利润 z(单位 ： 千元 )的影响 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i 1， 2， ， 8)数据作了初步处理 ， 得到下面的散点图及一些统计量的值 18(xi )2 18(wi )2 18(xi )(yi ) 18(wi )(yi ) 4 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi ， 18 18wi （ ） 根据散点图判断 ， y a bx 与 y c d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型 ？ (给出判断即可 ， 不必说明理由 ) （ ） 根
10、据 （ ） 的判断结果及表中数据 ， 建立 y 关于 x 的回归方程 ； （ ） 已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为 z 0.2y x 根据 （ ） 的结果回答下列问题 ： （ ） 年宣传费 x 49 时 ， 年销售量及年利润的预报值是多少 ？ （ ） 年宣传费 x 为何值时 ， 年利润的预报值最大 ？ 附 ： 对于一组数据 (u1， v1)， (u2， v2)， ， (un， vn)， 其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1( )( ) 1( )2， 解 ： （ ） y c d适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型 2 分 （ ） 令 w ， 先建立 y 关于
11、 w 的回归方程 由于 di 18(wi w)(yi y)i 18(wi w)2 108.81.6 683 分 c y dw 563 686.8 100.64 分 y 关于 w 的回归方程为 y 100.6 68w5 分 y 关于 x 的回归方程为 y 100.6 68x6 分 （ ） （ ） 由 （ ） 知 ， 当 x 49 时 y 的预报值 y 100.6 6849 576.6 7 分 z 的预报值 z 576.60.2 49 66.329 分 （ ） 根据 （ ） 的结果知 z 的预报值 z 0 2(100.6 68x) x x 13.6x 20.1210 分 当 x 13.62 6.8
12、， 即 x 46.24 时 ， z取得最大值 11 分 年宣传费为 46.24 千元时 ， 年利润的预报值最大 12 分 5 （ 2015 全国 卷，文 18， 12 分 ） 某公司为了解用户对其产品的满意度 ， 从 A， B 两地区分别随机调查了 40 个用户 ， 根据用户对产品的满意度评分 ， 得到 A地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50， 60) 60， 70) 70， 80) 80， 90) 90， 100 频 数 2 8 14 10 6 5 （ ） 作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
13、 ， 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值 ， 给出结论即可 )； （ ） 根据用户满意度评分 ， 将用户的满意度分为三个等级 ： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 ？ 说明理由 解 ： （ ） 4 分 B 地区的平均值高于 A 地区的平均值 5 分 B 地区比较集中 ， 而 A 地区比较分散 6 分 （ ） A 地区不满意的概率大 7 分 记 CA表示事件 ： “A 地区用户的满意度等级为不满意 ” CB表示事件 ： “B 地区用户的满意度等
14、级为不满意 ” 9 分 由直方图得 P(CA) (0.01 0.02 0.03)10 0.610 分 P(CB) (0.005 0.02)10 0.2511 分 A 地区不满意的概率大 12 分 6 （ 2014 全国 卷，文 18， 12 分 ） 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件 ， 测量这些产品的一项质量指标值 ， 由测量结果得如下频数分布表 ： 质量指标值分组 75， 85) 85， 95) 95， 105) 105， 115) 115， 125) 频数 6 26 38 22 8 （ ） 作出这些数据的频率分布直方图 ； （ ） 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的
15、数据用该组区间的中点值作代6 表 )； （ ） 根据以上抽样调查数据 ， 能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%”的规定 ？ 解 ： （ ） 4 分 （ ） 平均数为 x 800.06 900.26 1000.38 1100.22 1200.08 100 方差为 S2 11006(80 100)2 26(90 100)2 38(100 100)2 22(110 100)2 8(120 100)2 104 平均数为 100， 方差为 1048 分 （ ） 质量指标值不低于 95 的比例为 0.38 0.22 0.08 0.68 10 分 0.68
16、 0.8 11 分 不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定 12 分 7 （ 2014 全国 卷，文 19， 12 分 ） 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况 ， 随机访问了 50 位市民 根据这 50 位市民对这两部门的评分 (评分越高表明市民的评价越高 )， 绘制茎叶图如下 ： 甲部门 乙部门 3 5_9 4 4 0_4_4_8 9_7 5 1_2_2_4_5_6_6_7_7_7_8_9 9_7_6_6_5_3_3_2_1_1_0 6 0_1_1_2_3_4_6_8_8 9_8_8_7_7_7_6_6_5_5_5_5_5_4_4
17、_4_3_3_3_2_1_0_0 7 0_1_1_3_4_4_9 6_6_5_5_2_0_0 8 1_2_3_3_4_5 6_3_2_2_2_0 9 0_1_1_4_5_6 10 0_0_0 （ ） 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数 ； （ ） 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率 ； （ ） 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价 解 ： （ ） 甲的评分由小到大排序 ， 排在第 25， 26 位的是 75， 75 样本中位数为 75 752 75 甲的中位数是 75 乙的评分由小到大排序 ， 排在第 25， 26 位的是 66， 68 样本中位数为 6
18、6 682 67 乙的中位数是 67 （ ） 甲 的 评分高于 90 的 概率 为 550 0.1 乙 的 评分高于 90 的 概率 为 850 0.16 7 甲、乙的评分高于 90 的概率分别为 0.1， 0.16 （ ） 甲的中位数高于对乙的中位数 甲的标准差要小于对乙的标准差 甲的评价较高、评价较为一致 ， 对乙的评价较低、评价差异较大 8 （ 2013 全国 卷，文 18， 12 分 ） 为了比较两种治疗失眠症的药 (分别称为 A 药 ， B 药 )的疗效 ，随机地选取 20 位患者服用 A 药 ， 20 位患者服用 B 药 ， 这 40 位患者在服用一段时间后 ， 记录他们日平均增加
19、的睡眠时间 (单位 ： h) 试验的观测结果如下 ： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间 ： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （ ） 分别计算两组数据的平均数 ， 从计算结果看 ， 哪种药的疗效更好 ？ （ ） 根据两组数据完成下面茎叶图 ， 从
20、茎叶图看 ， 哪种药的疗效更好 ？ 解 ： （ ） 设 A 的平均数为 x， B 的平均数为 y x 120(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.82.9 3.0 3.1 3.2 3.5) 2.3 y 120(0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.12.4 2.5 2.6 2.7 3.) 1.6 x y A 药的疗效更好 （ ） 茎叶图 如下 ： 从茎叶图可以看出 A 的结果有 710的叶集中在茎 2， 3 上 B 的结果有 710的叶集
21、中在茎 0， 1 上 A 药的疗效更好 9 （ 2013 全国 卷，文 19， 12 分 ） 经销商经销某种农产品 ， 在一个销售季度内 ， 每售出 1t 该产品获利润 500 元 ， 未售出的产品 ， 每 1t 亏损 300 元 根据历史资料 ， 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 ， 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品 ， 以X(单位 ： t， 100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量 ， T(单位 ： 元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （ ） 将 T 表示为 X 的函数 ； （ ） 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率
22、8 解 ： （ ） 当 X 100， 130)时 ， T 500X 300(130 X) 800X 39000 当 X 130， 150时 ， T 500130 65000 T 800X 39000， 100X 13065000， 130X150 （ ） 由 （ ） 知利润 T 不少于 57000 元 ， 当且仅当 120X150 由直方图知需求量 X 120， 150的频率为 0.7 下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7 10 （ 2012 全国卷，文 18， 12 分 ） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 ， 然后以每枝 10 元的
23、价格出售 如果当天卖不完 ， 剩下的玫瑰花作垃圾处理 （ ） 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 ， 求当天的利润 y(单位 ： 元 )关于当天需求量 n(单位 ： 枝 ，n N)的函数解析式 ； （ ） 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 (单位 ： 枝 )， 整理得下表 ： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （ ） 假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花 ， 求这 100 天的日利润 (单位 ： 元 )的平均数 ； （ ） 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 ， 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生
24、的概率 ， 求当天的利润不少于 75 元的概率 解 ： （ ） 当日需求量 n17 时 ， 利润 y 85 当日需求量 n 17 时 ， 利润 y 10n 85 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y 10n 85， n 1785， n17 (n N) （ ） （ ） 解法一 ： 由表 格 可得 有 10 天的日利润为 514 53 55 元 有 20 天的日利润为 515 52 65 元 有 16 天的日利润为 516 51 75 元 有 16 15 13 10 54 天的日利润为 85 元 这 100 天的日利润的平均数为 1100(5510 6520 7516 8554) 76.4 （
25、）解法二： 由 （ ） y 10n 85， n 1785， n17 (n N)得 当 n 14 时， 10 天的日利润为 10n 85 1014 85 55 元 当 n 15 时， 20 天的日利润为 10n 85 1015 85 65 元 当 n 16 时， 16 天的日利润为 10n 85 1016 85 75 元 当 n17 时， 54 天的日利润为 85 元 这 100 天的日利润的平均数为 1100(5510 6520 7516 8554) 76.4 （ ） 利润不低于 75 元 ， 当且仅当日需求量不少于 16 枝 当天的利润不少于 75 元的概率为 P 0.16 0.16 0.1
26、5 0.13 0.1 0.7 9 11 （ 2011 全国卷，文 19， 12 分 ） 某种产品的质量以其质量指标值衡量 ， 质量指标值越大表明质量越好 ， 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方 )做试验 ， 各生产了 100 件这种产品 ， 并测量了每件产品的质量指标值 ， 得到下面试验结果 ： A 配方的频数分布表 指标值分组 90， 94) 94， 98) 98， 102) 102， 106) 106， 110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90， 94) 94， 98) 98， 102) 1
27、02， 106) 106， 110 频数 4 12 42 32 10 （ ） 分别估计用 A 配方 ， B 配方生产的产品的优质品率 ； （ ） 已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位 ： 元 )与其质量指标值 t 的关系式为 y 2， t 942， 94t 1024， t102， 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 ， 并求用 B配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润 解 ： （ ） A 配方的优质品的频率为 22 8100 0.3 A 配方的优质品 率为 0.3 B 配方的优质品的频率为 32 10100 0.42 B 配方的优质品 率为 0.42 （ ） 用 B 配方的利润大于 0， 当且仅当 t94 t94 的频率为 0.96 B 配方的利润大于 0 的概率为 0.96 B 配方的利润为 11004( 2) 542 424 2.68(元 )
