1、 1 普陀区 2016-2017学年第一学期高三数学质量调研 2016.12 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6题得 5分，否则一律得零分 . 1若集合 R,| 2 yxyxA ， R,s in| xxyyB ，则 BA . 2. 若 22 ， 53sin ，则 2cot . 3. 函数 xxf 2log1)( （ 1x ）的反函数 )(1 xf . 4. 若 5522105)1( xaxaxaax ，则 521 aaa . 5. 设 k R，若 1222 kxky 表示焦点在 y 轴上的双曲线
2、，则半焦距的取值范围是 . 6. 设 m R，若函数 11)( 32 mxxmxf 是偶函数，则 )(xf 的单调递增区间是 . 7. 方程 23lo g259lo g 22 xx 的解 x . 8. 已知圆 C : 022 222 kykxyx （ Rk ）和定点 1,1P ，若过 P 可以作两条直线与圆 C 相切，则的取值范围是 . 9. 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中， 90ABC ， 1BCAB ， 若 CA1 与平面 11BCCB 所成的角为 6 ，则三棱锥 ABCA1 的体积 为 . 10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为 d ，则 2,1,0,1,2 d 出现的概率的
3、最大值为 （结果用最简分数表示） . 11. 设地球半径为 R ，若 A 、 B 两地均位于北纬 45 ，且两地所在纬度圈上的弧长为 R42 ，则 A 、 B 之间的球面距离是 （结果用含有 R 的代数式表示） . 2 12. 已知定义域为 R 的函数 )(xfy 满足 )()2( xfxf ，且 11 x 时， 21)( xxf ； 函数 .0,1 ,0,lg)( x xxxg ，若 )()()( xgxfxF ，则 10,5x ，函数 )(xF 零点的个数是 . 二、选择题（本大题共有 4题，满分 20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
4、 5分，否则一律得零分 . 13.若 ba 0 ，则下 列不等关系中， 不能成立 的是 （ ） . )A( ba11 B aba 11 C 3131 ba D 22 ba 14.设无穷等比数列 na 的首项为 1a ，公比为，前项和为 nS .则 “ 11 qa ”是 “ 1lim nn S”成立的 （ ） )A( 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 15. 设 l 是直二面角，直线在平面 内，直线在平面 内，且、与均不垂直，则 （ ） )A( 与可能垂直，但不可能平行 B 与可能垂直，也可能平行 C 与不可能垂直，但可 能平行 D 与不可能垂直，也不可
5、能平行 16. 设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数， bta 的最小值为，则下列判断正确的是（ ） )A( 若 a 确定，则唯一确定 B 若 b 确定，则唯一确定 C 若确定，则 b 唯一确定 D 若确定，则 a 唯一确定 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分 已知 a R，函数| 1)( xaxf 3 （ 1）当 1a 时，解不等式 xxf 2)( ； （ 2）若关于的方程 02)( xxf 在区间 1,2 上有解，求实数的
6、取值范围 . 18. （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分 已知椭圆 ： 12222 byax （ 0ba ）的左、右两个焦点分别为 1F 、 2F ， P 是椭圆上位于第一象限内的点， xPQ 轴，垂足为 Q ,且 621 FF ， 9 35a rc c o s21 FPF， 21FPF 的面积为 23 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若 M 是椭 圆上的动点，求 MQ 的最大值 , 并求出 MQ 取得最大值时 M 的坐标 . 4 19. （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分 现有一
7、堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为 8.7 3/cmg ，总重量为 8.5 kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位 :毫米） . （ 1）这堆螺帽至少有多少个； （ 2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材 0.11 千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到 01.0 ） 20. （本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分 . 已知 数列 na 的各项均为正数，且 11a ，对于任意的 *Nn ，均有 1412 1 nnn aaa ， nb 11log2 2 na . （ 1）求证： na1 是等比数列，并
8、求出 na 的通项公式； （ 2） 若数列 nb 中去掉 na 的项后，余下的项组成数列 nc ，求 10021 ccc ； （ 3）设11 nnn bbd，数列 nd 的前项和为 nT ，是否存在正整数 m （ nm1 ），使得 1T 、 mT 、 nT 成等比数列，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 . 5 21. （本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分 . 已知函数 )(xfy ,若存在实数 m 、（ 0m ），使得对于定义域内的任意实数，均有)()()( kxfkxfxfm 成立，则称函数 )(xf 为 “可平
9、衡 ”函数，有序数对 km, 称为函数 )(xf 的 “平衡 ”数对 . （ 1）若 1m ，判断 xxf sin)( 是否为 “可平衡 ”函数，并说明理由； （ 2）若 a R， 0a ，当变化时，求证： 2)( xxf 与 xaxg 2)( 的 “平衡 ”数对相同； （ 3）若 1m 、 2m R，且 2,1 m、 4,2 m均为函数 xxf 2cos)( 的 “平衡 ”数对 . 当 40 x 时，求 2221 mm 的取值范围 . 6 普陀区 2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分） 1-6:： 4 分； 7-12： 5分
10、。 1 1,0 . 2. 247 . 3. 12x （ 1x ） . 4. 31. 5. 2c . 6. ,0 . 7. 1. 8. 2k 或 0k . 9. 62 . 10. 61 . 11. 3R . 12. 15 . 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 B B C D 三、解答题 17.（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2小题满分 7分 【解】（ 1）当 1a 时，| 11)( xxf ，所以 xxf 2)( xx 2| 11 （ *） 若 0x ，则（ *）变为， 0)1)(12( x xx 021
11、 x 或 1x ，所以 1x ； 若 0x ，则（ *）变为， 012 2 xxx 0x ，所以 x 由 可得 ，（ *）的解集为 ,1 。 （ 2） 02)( xxf 02| 1 xxa，即 xxa 12 其中 1,2x 令 )(xg = xx 12 ，其中 1,2x ， 对于任意的 1x 、 1,22 x 且 21 xx 则 2211211212)( xxxxxgxg 212121 12xx xxxx 由于 12 21 xx ，所以 021 xx ， 021 xx ， 41 21 xx ，所以 012 21 xx 所以 212121 12xx xxxx 0 ，故 )( 21 xgxg ，所
12、以 函数 )(xg 在区间 1,2 上是增函数 所以 29 2g )(xg 31 g ，即 3,29)(xg,故 3,29 7 18. （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分 【解】（ 1）在 21FPF 中，由9 35a rc c o s21 FPF得 9 35c o s21 FPF 96sin 21 FPF因为 21FPF 的面积为 23 ， 621 FF ,所以 23s in2121121 FPFPFFF. 解得 331PF 2 分在 21FPF 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，212112212122 c o s2 FPFFFPFFF
13、PFPF ，所以 322 PF ,故 32 PF ， 于是 342 21 PFPFa ,故 32a 4 分，由于 3c ，所以 3b , 故椭圆 的方程为 1312 22 yx （ 2）设 00,yxP ，根据题意可知 2321021 yFF，故 20 y ,由于 00y ,所以 20y 7 分，将 20y 代入椭圆方程得， 1321220 x ，解得 20 x ，由于 00x ，所以 20x ，故 Q 的坐标为 0,2 8 分 令 yxM , ，则 1312 22 yx ,所以 43 22 xy 222 2 yxMQ 7443 2 xx 353843 2 x ， 其中 3232 x 11 分
14、，所以当 32x 时， 2MQ 的最大值为 3816 ，故 MQ 的最大值为 132 13 分，此时点 M 的坐标为 0,32 . 19. （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8分 【解】设正六棱柱的底边边长为，高为，圆孔的半径为，并设螺帽的表面积为 表S ，根据三视图可知， 12a ， 10h ， 5r ，则（ 1）设螺帽的体积为 V ,则 hSV 底 ，其中 底S 22 60s in216 ra 253216 8 高 10h ，螺帽的体积 10253216 V ， 25210253216 1008.71 0 0 08.5 个 （ 2） 22
15、60s in21626 raahS 表 ha 2 22 52312216210126 1052 05.011.025210 10025321627206 （千克） 答：这堆零件至少有 252 个，防腐共需要材料 05.0 千克。 20. （本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分 . 【解】（ 1）由 14121 nnn aaa 得 221 12 nn aa ，由于 0na 故 121 nn aa ，即 )1(211 nn aa ，所以 2111 nnaa故数列 1na 为等比数列，且 211 a ，所以 12 nna （ 2） 1
16、121lo g2 2 nnb ，故 12 nbn ， 11b 其中 21 nn bb （常数），所以数列 nb 是以为首项、为公差的等差数列 111 ab , 12764b ， 211106b ， 213107b 由（ 1）可得， 1277a ， 2558a 因为 127764 ab ， 81077 aba 所以 10021 ccc 72110721 aaabbb 7)222(2 2 1 311 0 7 721 721 2122 214107 7 9207 82 11202 9 11 nnn bbd 12 112 1211212 1 nnnn 12 112 15131311121 nnT n
17、12 1121 n 12 nn 其中 311T, 12 mmTm， 12 nnTn假设存在正整数 m （ nm1 ），使得 1T 、 mT 、 nT 成等比数列 则有 nm TTT 12 ，即 2212mm 123 nn,所以 0142322 m mmn ， 解得 261261 m ,又因为 *Nm , 1m ,所以 2m ,此时 12n , 所以存在满足题设条件的 m 、 . 21. （本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分 . 【解】（ 1）若 1m ，则 xxfm sin)( kxkxkxfkxf s ins in)()(
18、kxcossin2 要使得 )(xf 为 “可平衡 ”函数，需使故 0s inc os21 xk 对于任意实数均成立，只有 21cos k 3 分，此时 32 nk ， Zn ，故存在，所以 xxf sin)( 是 “可平衡 ”函数 （ 2） 2)( xxf 及 xaxg 2)( 的定义域均为 R 根据题意可知，对于任意实数， 22222 22 kxkxkxmx 即 222 22 kxmx ,即 022 22 kxm 对于任意实数恒成立 只有 0,2 km ，故 函数 2)( xxf 的 “平衡 ”数对为 0,2 对于函数 xaxg 2)( 而言， kkxkxkxx aaaam 2222222
19、 所以 kkxx aam 22222 10 02222 mam kkx ， 0222mam kk ， 即 22mm，故 2m ，只有 0k ， 9 分，所以函数 xaxg 2)( 的 “平衡 ”数对为 0,2 综上可得函数 2)( xxf 与 xaxg 2)( 的 “平衡 ”数对相同 （ 3） 2c o s2c o sc o s 2221 xxxm，所以 xxm 221 sin2c o s 4c o s4c o sc o s 2222 xxxm，所以 1cos22 xm 由于 40 x ，所以 1cos21 2 x ，故 xm 21 tan2 2,0 , 2,1sec 22 xm 2221 mm 1t a n2t a n5t a n4t a n1 222422 xxxx5451t a n522 x， 由于 40 x ，所以 1tan0 2 x 时， 56tan5151 2 x 832ta n21 22 x ，所以 1 2221 mm 8
