1、既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 1 第 讲 导数 中的恒成立问题 时间： 年 月 日 刘 满江 老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 1. 函数 )(xfy 在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy 在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy 在 )(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 . 2.几种常见函数的导数 C = ； ()nx ； (sin )x ； (cos )x ； ()xa ； ()xe ； (log )a x ； (ln )x 3.导数的运算法则 （ 1） ()uv . （ 2）
2、()uv . （ 3） ()uv .( 0)v 4.复合函数求导法则 复合函数 ( ( )y f g x 的导数和函数 ( ), ( )y f u u g x的导数间的关系为 x u xy y u ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 . 解题步骤 :分层 层层求导 作积还原 . 5.函数的极值 (1)极值定义： 极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf )(0xf ，则 )(0xf 是函数 )(xf 的极 值； 极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf )(0xf ，则 )(0xf 是函数 )(xf 的极 值 . (2)判别方法： 如果在 0x
3、 附近的左侧 )( xf 0，右侧 )( xf 0，那么 )(0xf 是极 值； 如果在 0x 附近的左侧 )( xf 0，右侧 )( xf 0，那么 )(0xf 是极 值 . 三、 方法培养 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 2 一、单参数放在不等式上型： 【例题 1】设函数 () xxf x e e若对所有 0x 都有 ()f x ax ，求 a 的取值范围 解： 令 ( ) ( )g x f x ax，则 ( ) ( ) xxg x f x a e e a ， （ 1）若 2a ，当 0x 时， ( ) 2 0xxg x e e
4、a a ，故 ()gx在 (0, ) 上为增函数， 0x 时， ( ) (0)g x g ，即 ()f x ax （ 2）若 2a ，方程 ( ) 0gx 的正根为 21 4ln 2aax ， 此时，若 1(0, )xx ，则 ( ) 0gx ，故 ()gx在该区间为减函数 1(0, )xx 时， ( ) (0) 0g x g，即 ()f x ax ，与题设 ()f x ax 相矛盾 综上，满足条件的 a 的取值范围是 ( ,2 说 明：上述方法是不等式放缩法 【针对练习 1】 设函数 2( ) 1xf x e x a x ，当 0x 时， ( ) 0fx ，求 a 的取值范围 解 ： 【例题
5、 2】设函数 32( ) 2 3 3 8f x x a x b x c 在 1x 及 2x 时取得极值 （ 1）求 a 、 b 的值；（ 2）若对于任意的 0,3x ，都有 2()f x c 成立，求 c 的取值范围 解：（ 1） 2( ) 6 6 3f x x a x b ， 函数 ()fx在 1x 及 2x 取得极值，则有 (1) 0f ， (2) 0f 即 6 6 3 024 12 3 0abab ，解得 3a ， 4b （ 2）由（ 1）可知， 32( ) 2 9 1 2 8f x x x x c ， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x 当
6、(0,1)x 时， ( ) 0fx ；当 (1,2)x 时， ( ) 0fx ；当 (2,3)x 时， ( ) 0fx 当 1x 时， ()fx取得极大值 (1) 5 8fc ，又 (0) 8fc ， (3) 9 8fc 则当 0,3x 时， ()fx的最大值为 (3) 9 8 对于任意的 0,3x ，有 2()f x c 恒成立， 298cc，解得 1c 或 9c ， 因此 c 的取值范围为 ( , 1) (9, ) 最值 法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值 【针对练习 2】 已知函数 44( ) l n ( 0 )f x a x x b x c x 在 1x 处取得极值
7、 3 c ，其中 a 、 b 、 c 为常数 （ 1）试确定 a 、 b 的值；（ 2）讨论函数 ()fx的单调区间； （ 3）若对任意 0x ，不等式 2( ) 2f x c 恒成立，求 c 的取值范围 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 3 解 ： 【针对练习 3】已知函数 323( ) 12f x a x x ()xR ，其中 0a 若在区间 11 , 22 上， ( ) 0fx 恒成立，求 a 的取值范围 解 ： 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 4 【例题 3】已知函数
8、22( ) ln ( 1) 1 xf x x x （ 1）求函数 ()fx的单调区间 ； （ 2）若不等式 1(1 )na en 对任意的 nN 都成立（其中 e 是自然对数的底数），求 a 的最大值 解：（ 1）函数 ()fx的定义域是 ( 1, ) ， 22222 l n ( 1 ) 2 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2() 1 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x xfx x x x 设 2( ) 2 (1 ) l n (1 ) 2g x x x x x 则 ( ) 2 ln (1 ) 2g x x x ，令 ( ) 2 ln (1 ) 2h x x x ，则 22( )
9、211xhx xx 当 10x 时， ( ) 0hx ， ()hx 在 ( 1,0) 上为增函数， 当 0x 时， ( ) 0hx ， ()hx 在 (0, ) 上为减函数 ()hx 在 0x 处取得极大值， 而 (0) 0h ， ( ) 0 ( 0)g x x ，函数 ()gx 在 ( 1, ) 上为减函数 于是当 10x 时， ( ) (0) 0g x g，当 0x 时， ( ) (0) 0g x g 当 10x 时， ( ) 0,fx ()fx在 ( 1,0) 上为 增函数 当 0x 时， ( ) 0fx ， ()fx在 (0, ) 上为减函数 故函数 ()fx的单调递增区间为 ( 1,
10、0) ，单调递减区间为 (0, ) （ 2）不等式 1(1 )na en 等价于不等式 1( ) ln(1 ) 1na n ，由 111n知， 1 1ln(1 )ann设 11()ln(1 )Gx xx， (0,1x ，则 222 2 2 21 1 ( 1 ) l n ( 1 )() ( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )x x xGx x x x x x x 由（ 1）知， 22ln (1 ) 01 xx x ，即 22(1 ) ln (1 ) 0x x x ( ) 0Gx ， (0,1x ，于是 ()Gx在 (0,1 上为减函数 故函数 ()Gx在 (0,1 上的最
11、小值为 1(1) 1ln2G a 的最大值为 1 1ln2 小结 ： 解决此类问题用的是恒成 立问题的变量分离的方法 ， 此类方法的解题步骤是 ： 分离变量 ； 构造 函数 （ 非变量一方 ）； 对所构造的函数求最值 （ 一般需要求导数 ,有时还需求两次导数 ）； 写出变 量的取值范围 【针对练习 4】 已知 ( ) ( 1) ln 1f x x x x ， 若 2( ) 1xf x x ax ，求 a 的取值范围 解 ： 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 5 【针对练习 5】 若对所有的 , )xe 都有 lnx x ax a成立，
12、求实数 a 的取值范围 解 ： 二、单参数放在区间上型： 【例题 4】 已知三次函数 32( ) 5f x a x x c x d 图象上点 (1,8) 处的切线经过点 (3,0) ，并且 )(xf 在 3x 处有极值 （ 1）求 )(xf 的解析式；（ 2）当 (0, )xm 时， ( ) 0fx 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：（ 1） 2( ) 3 1 0f x a x x c ， (1) 3 10f a c ， 于是过点 (1,8) 处的切线为 8 (3 1 0 )( 1)y a c x ， 又切线经过点 (3,0) ， 3 6 0ac ， )(xf 在 3x 处有极值， (3 )
13、 2 7 3 0 0f a c ， 又 (1) 5 8f a c d ， 由解得： 1a ， 3c ， 9d ， 32( ) 5 3 9f x x x x （ 2） 2( ) 3 1 0 3 ( 3 1 ) ( 3 )f x x x x x ，由 ( ) 0fx 得1 13x， 2 3 当 1(0, )3x 时， ( ) 0fx ， ()fx单调递增， ( ) (0) 9f x f； 当 1( ,3)3x 时， ( ) 0fx ， ()fx单调递减， ( ) (3) 0f x f 当 3m 时， ( ) 0fx 在 (0, )m 内不恒成立，当且仅当 (0,3m 时， ( ) 0fx 在 (0
14、, )m 内恒 成立， m 的取值范围为 (0,3 【针 对练习 6】（ 07 陕西文） 已知 cxbxaxxf 23)( 在区间 0,1 上是增函数，在区间 ( ,0) ， (1, ) 上是减函数，又 13()22f （ 1）求 )(xf 的解析式；（ 2）若在区间 0, ( 0)mm 上恒有 ()f x x 成立，求 m 的取值范围 解 ： 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 6 三、 双参数中知道其中一个参数的范围 型： 【例题 5】 已知函数 ( ) ( 0 )af x x b xx ，其中 a ， bR （ 1）讨论函数 ()f
15、x的单调性； （ 2）若对于任意的 1 ,22a ，不等式 ( ) 10fx 在 1 ,14上恒成立，求 b 的取值范围 解：（ 1）2( ) 1 afx x 当 0a 时，显然 ( ) 0 ( 0)f x x 这时 ()fx在 ( ,0) ， (0, ) 上内是增函数 当 0a 时，令 ( ) 0fx ，解得 xa 当 x 变化时， ()fx ， ()fx的变化情况如下表： ()fx在 ( ,)a ， ( ),a 内是增函数，在 ( ,0)a ， (0, ) 内是减函数 （ 2） 法一：化归为最值 由（ 2）知， ()fx在 1 ,14 上的最大值为 1()4f 与 (1)f 的较大者，对于
16、任意的 1 ,22a ，不等式 0( 1)fx 在 1 ,14 上恒成立，当且仅当 10(11(4) 10)ff ，即39 449 abab ，对 1 ,22a 成立 从而得 74b ， 满足条件的 b 的取值范围是 ( 7,4 法二：变量分离 ( ) 10fx ， 10 ( )abxx ，即min10 ( )abxx 令 ( ) 10 ( )ag x x x ， 222( ) 1 0a x agx xx ， ()gx 在 1 ,14 上 递减， ()gx 最小值为 1 3 9 3 9 7( ) 4 4 24 4 4 4ga ， 从而得 74b ， 满足条件的 b 的取值范围是 ( 7,4 或
17、用 2 (10 )a x b x ，即 2 (10 ) 2x b x ，进一步分离变量得 210 ( )bxx ， 利用导数可以得到 210 ( )x x 在 14x 时取得最小值 74 ， 从而得 74b ， 满足条件的 b 的取值范围是 ( 7,4 法三：变更主元 ( ) 10fx 在 1 ,14 上恒成立， 即 10axbx ， ( ) 1 0 0aa x bx ， x ( ,)a a ( ,0)a (0, )a a ( ),a ()fx 0 0 ()fx 极大值 极小值 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 7 1 ,14x ， (
18、)a 在 1 ,22 递增，即 ()a 的最大值为 2( 2 ) 1 0 0xbx 以下同上法 说明：本题是在对于任意的 2,2a ， ( ) 1fx 在 1,1 上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往 先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立 四、 强化练习 （ A） 1、 已知函数 2 39( ) ( )(24f x x x ）对任意 mxfxfxx |)()(|,0,1, 2121 不等式恒成立，试求 m 的取值范围。 五、 训练辅导 双参数中的范围均未知 型： 【例题 7】 （ 10 湖南理） 已知函数 2( ) ( , )f x x b x c b c R ，对任意的 xR
19、 ，恒有 ( ) ( )f x f x （ 1） 证明：当 0x 时， 2( ) ( )f x x c； （ 2）若对满足题设条件的任意 b ， c ，不等式 22( ) ( ) ( )f c f b M c b 恒成立，求 M 的最小值 解：（ 1）易知 ( ) 2f x x b 由题设，对任意的 xR ， 22 x b x bx c ，即 2 ( 2 ) 0x b x c b 恒成立， 2( 2 ) 4 ( ) 0b c b ，从而 2 14bc 于是 1c ，且 2214bc |b ，因此 2 ( ) 0c b c c b 故当 0x 时，有 2( ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) 0
20、x c f x c b x c c ，即当 0x 时， 2( ) ( )f x x c （ 2）由（ 1）知， c |b 当 c |b 时，有 2 2 22 2 2 2( ) ( ) 2f c f b c b b c b c bM c b c b b c 令 bt c ，则 11t ， 212 1cbb c t 而函数 1( ) 2 ( 1 1)1g t tt 的值域是 3( , )2 因此，当 c |b 时， M 的取值集合为 3 , )2 当 c |b 时，由（ 1）知， 2b ， 2c 此时 ( ) ( ) 8f c f b 或 0 ， 220cb 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃
21、侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 8 从而 223( ) ( ) ( )2f c f b c b 恒成立综上所述， M 的最小值为 32 【针对练习 8】 若 32()xfxa图象上斜率为 3 的两 切线间的距离为 2105， 设 223( ) ( ) 3bxg x f x a （ 1） 若函数 )(xg 在 1x 处有极值，求 ()gx 的解析式； （ 2） 若函数 )(xg 在区间 1,1 上为增函数，且 2 4 ( )b mb g x 在区间 1,1 上都成立，求实数 m 的取值范围 解 ： 六、 家庭作业布置： 家长签字： _ （请您先检查确认孩子的作业完成后再签字
22、） 附件：堂堂清落地训练 （坚持堂堂 清，学习很爽心） 1. 双参数中的 绝对值存在 型： 1 设 3x 是函数 23( ) ( ) ( )xf x x a x b e x R 的一个极值点 （ 1）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b ），并求 ()fx的单调区间； （ 2）设 0a ， 2 25( ) ( )4 xg x a e若存在 1 ， 2 0,4 使得 12| ( ) ( ) |fg 1 成立，求 a 的 取值范围 解：（ 1） 23( ) ( 2 ) xf x x a x b a e ，由 (3) 0f ，得 2 3 3 3 ( 2 ) 3 0a b a e ， 即得 32
23、ba ，则 2 3 3( ) ( 2 ) 3 3 ( 3 ) ( 1 )xxf x x a x a e x x a e 令 ( ) 0fx ，得 1 3x 或 2 1xa ，由于 3x 是极值点， 12xx ， 即 4a 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。 9 当 4a 时， 213xx ，则在区间 ( ,3) 上， ( ) 0fx ， ()fx为减函数； 在区间 (3, 1)a 上， ( ) 0fx ， ()fx为增函数； 在区间 ( 1, )a 上， ( ) 0fx ， ()fx为减函数 当 4a 时， 213xx ，则在区间 ( ,
24、 1)a 上， ( ) 0fx ， ()fx为减函数； 在区间 ( 1,3)a 上， ( ) 0fx ， ()fx为增函数； 在区间 (3, ) 上， ( ) 0fx ， ()fx为减函数 （ 2）由（ 1）知，当 0a 时， 10a ， ()fx在区间 (0,3) 上的单调递增，在区间 (3,4) 上单调递 减，那么 ()fx在区间 0,4 上的值域是 m in (0 ), ( 4 ) , (3 )f f f， 而 3(0 ) ( 2 3 ) 0f a e ， 1( 4 ) ( 2 1 3 ) 0f a e ， (3) 6fa ， 那么 ()fx在区间 0,4 上的值域是 3 (2 3) ,
25、 6a e a 又 2 25( ) ( )4 xg x a e在区间 0,4 上是增函数，且它在区间 0,4 上的值域是 2 2 42 5 2 5 , ( ) 44a a e，由于 2 2 22 5 1 1( ) ( 6 ) ( ) 04 4 2a a a a a ， 只须仅须 2 25( ) ( 6 ) 14aa 且 0a ，解得 30 2a 故 a 的取值范围是 3(0, )2 2 已知函数 2( ) ( 1 ) ln 1f x a x a x （ 1）讨论函数 )(xf 的单调性； （ 2）设 1a ，如果对任意 1x ， 2 (0, )x ， 1 2 1 2| ( ) ( ) 4 | |f x f x x x ，求 a 的取值范围 解 ：
