高考数学常考题型的总结必修五.doc

1、高考数学常考题型的总结（必修五） 对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它丌仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们丌仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型戒高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本丌可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、丌 等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题丌能面面俱到，但

2、是我们在复习的时候，一定要丌留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解： 解三角形 解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为 5-12 分。考查的时候，可能是选择题、填空题，戒解答题，有时单独考查，有时会不三角函数，平面向量等知识点迚行综合考查，难度一般丌是很大，如果出解答题，一般是第 17 题，属于拿分题。 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理： RCcBbAa 2s ins ins in （ R 为 ABC 的外接圆半径 ） 余弦定理： Cabcba c o s2222 ， Bacbca c o s2222 ， Abc

3、acb c o s2222 （变形后） Cab cba c o s2 222 ， Bac bca c o s2 222 ， Acb abc c o s2 222 三角形的面积的公式： AbcBacCabSABC s in21s in21s in21 。 知识点分解： （ 1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。 （ 2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。 （ 3）等式两边都有边戒通过转化等式两边都有边，用正弦定理。 （ 4）知道三边的关系用余弦定理。 （ 5）求三角形的面积，戒和向量结合用向量的余弦公式。 （ 6）正余弦定理不其他知识

4、的综合。 必须具备的知识点： 三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。 可能综合的知识点： 三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和不数列的综合、不平面向量的综合、以及不基本丌等式的综合。 解三角形常考的题型有： 考点一 正弦定理的应用 例： 在 ABC 中 ， 60,10,15 Aba ， 则 Bcos 答案： 63知识点：正弦定理和三角同角关系 思路：（方法不唯一） 利用正弦定理先求出 Bsin ，然后利用同角三角函数的关系可求出 Bcos 。 考点二 余弦定理的应用 例： 在 ABC 中，已知 32a ， 26c ， 60B ，求 b 的值 答案： 22b 知识点：余弦定理

5、 思路： 直接利用余弦定理 Bacbca c o s2222 ，即可求出 b 的值。 考点三 正、余弦定理的混合应用 例： 设 ABC 的内角 ,ABC 所对边的长分别为 ,abc。若 2b c a ，则 3sin 5sin ,AB 则角 C _. 答案： 32 知识点：正余弦定理 思路：（方法不唯一） 先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求 角 C 。 考点四 三角形的面积问题 例： 在 ABC 中，角 CBA 、 所对应的边分别为 cba 、 ，若 BCA 2 ， 且 ,3,1 ba 求 ABCS 的值 答案： 23知识点：三角形的面积 思路： 先求出 B ，然后由三角形面积公式

6、即可。 考 点五 最值问题 例： 在 ABC 中， 60 , 3B AC，则 2AB BC 的最大值为 答案： 72 知识点：正弦定理和三角恒等变换 思路：（方法不唯一） 先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。 考点六 三角形形状的判断 例： 已知 ABC 中， BbAa coscos ，判断三角形的形状 答案： 等腰三角形戒直角三角形 知识点：正弦定理和二倍角公式 思路： 先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。 考点七 三角形个数的判断 例： 在 ABC 中，角 CBA 、 所对应的边分别为 cba 、 ，若 30A ， 且 ,3,1 ba 求 c

7、的值 答案： 1 戒 2 知识点：正余弦定理 思路： 分类讨论 60B 戒 120B 两种情况。 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例： 在 ABC 中， 角 CBA 、 所对应的边分别为 cba 、 ， 若 2,4 ba ， 求 ABC 的 面积的最大值。 答案： 12 知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路： 先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本丌等式求最值 。 例： 设 ABC 的内角 A B C， ， 所对的边长分别为 a b c， ， ，且 3co s co s 5a B b A c， 求 tan( )AB 的最大值 。 答案： 34 知识点：正弦定理、正切

8、差公式和基本不等式 思路： 先通过正弦定理，得到 BA tan4tan ，然后正切差公式，最后应用基本丌等式。 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例： 在 ABC 中， 6,AC ABABC 的面积 33，求 A 答案： 3 知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路： 先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。 例： 在 ABC 中，边 c 所对的角为 C ，向量 )2s in,2( c o s),2s in,2( c o s CCnCCm ，且向量 m 不 n 的夹角是 3 。 求角 C 的大小 答案： 3C 知识点：向量中的坐标运算和余弦公式 思路： 先利用向量的坐标

9、运算和余弦公式转化，然后求解。 考点十 数列在解三角形上的应用 例： 设 ABC 的内角 A B C， ， 所对的边长分别为 a b c， ， ， 若 a b c， ， 依次成等比数列，角 B 的取值范 围 . 答案： 3,0( 知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式 思路： 先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本丌等式求最值。 考点十一 解三角形的实际应用 例： 如图， DCBA 、 都在同一个不水平面垂直的平面内， DB、 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ，30 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ， kmAC 1

10、.0 。试探究图中 DB、 间距离不另外哪两点间距离相等，然后求 DB、 的距离（计算结果精确到 km01.0 ， 414.12 ， 449.26 ） 答案： 0.33km 知识点：正弦定理和三角形的相关知识 思路： 先通过三角形的相关知识迚行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。 考点十二 解三角形的综合题型 例： 已知 ,abc分别为 ABC 三个内角 ,ABC 的对边， c o s 3 s in 0a C a C b c （ 1） 求 A （ 2）若 2a ， ABC 的面积为 3 ；求 ,bc。 答案： (1) 60A (2) 2bc 知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和

11、诱导公式 思路： （ 1）先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完乊后，利用三角恒等变换求出 A 。 （ 2）利用角 A ，再通过余弦定理，就可以求出 ,bc的值。 数列 数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为 10-17 分。考查的时候，可能是选择题、填空题，戒解答题，有时单独考查，有时会不丌等式，函数等知识点迚行综合考查。以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。 知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列 知识点分解： （ 1）递推公式：建立前 n 项和 nS 和 na 的关系。 （ 2）等差数列的通项公式、公式、性质、等

12、差中项以及 前 n 项和 nS 等问题。 （ 3） 等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及 前 n 项和 nS 等问题。 （ 4）数列求通项公式的几种方法。 （ 5）数列求和的几种方法。 （ 6）数列的综合问题 必须具备的知识点： 函数、导数、丌等式，平面向量、三角函数等相关知识。 可能综合的知识点： 数列的内部综合、不三角函数的综合、不导数的综合、以及不丌等式的综合。 数列的常见题型： 考点一 nS 和 na 的关系 1211 na nSSa nnn 例： 数列 na 的前 n 项和为 ,nS 已知 2nSn ， 求 8a 的值，以及 数列 na 的表达式 。 答案： 158a ， 1

13、2 nan 知识点：递推公式 思路： 已知项数 n ，求具体值；未知项数 n ，求表达式。 考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项公式 dnaan )1(1 ，（ 等差数列的通项公式，知三求一；如果已知 da,1 ，那么 求的是 数列 na 的通项公式 ） dmnaa mn )( （ 等差数列通项公式的变形公式 ） 例： 已知等差数列 na 中， 3,1 31 aa ,求数列 的公差 d 以 及数列 na 的通项公式； 答案： 2d ， nan 23 知识点：等差的公差和通项公式 思路： 利用数列的通项公式先求出公差 d ，然后求数列 na 的通项公式 。 2 等差数列的性质 qpmn （

14、都是正整数）， qpmn aaaa ， qpn 2 （都是正整数）， qpn aaa 2 ， na 是 pa 和 qa的等差中项。 例： 已知等差数列 na 中， 7,1 95 aa ,求 131 aa 以及 7a 的值 答案： 6131 aa ， 37 a 知识点：等差数列的性质 思路： 等差数列的性质和等差中项可得到。 3 等差数列的求和 2 )1()(2 11 dnnnaaanS nn （ 知三求一，如果已知 da,1 ，那么求的是 nS 的 表达式 ）， 21 nn naS（ n 为奇数 ） 戒 mm amS )12()12( 。 例： 设等差数列 na 的前 n 项和 为 nS ，若

15、 363 24SS， ，则 9S 的值 答案： 63 知识点：等差数列的 求和 思路：（方法不唯一） 通过等差数列 前 n 项和 为 nS ，先求出 1a 和 d ，然后再利用 等差数列 前 n 项和 ，求 9S 。 4 等差数列求和中的最值问题 ndanddnnnaS n )2(22 )1( 121 类似于二次函数，当 0d 时， nS 有最小值；当 0d 时， nS 有最大值。 例： 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 已知 2,93 da ，求 nS 中的最大值 答案： 49. 知识点：等差数列的和或二次函数的知识 思路： 先利用等差数列的 前 n 项和 nS 表达式，然后利用

16、二次函数的知识求最大值。 例： 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 已知 2,93 da ，求 nS 中的最小值 答案： -36 知识点：等差数列的和或二次函数的知识 思路： 先利用等差数列的 前 n 项和 nS 表达式，然后利用二次函数的知识求最小值 5 等差数列的证明 daa nn 1 （ 等差数列的定义表达式 ） 例： 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 109,10 11 nn Saa ， 求证： lg na 是等差数列 。 答案： 首项为 1，公差也为 1 的等差数列 知识点：对数函数的知识和等差数列 思路： 先求出 1lg 1a ，然后利用等差数列的定义表达式 da

17、a nn 1 ，证明等差数列。 6 已知等差数列 na 中， ,0,16 6473 aaaa 求 数列 na 前 n 项和 nS 。 答案： nnSn 92 或 nnSn 92 知识点：解方程和等差数列的和 思路： 先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求 前 n 项和 nS 考点三 等比数列 1 等比数列的公比和通项公式 )0(11 qqaa nn （ 等比数列的通项公式，知三求一；如果已知 qa,1 ，那么求的是 数列 na 的通项公式 ） mnmnn qaa （ 等比数列通项公式的变形公式 ） 例： 已知等 比 数列 na 中， 8,2 31 aa ， 求 等比数列的公比 q 和 数

18、列 na 的通项公式； 答案： 2q ， nna )2( 知识点：等比数列的公比和通项公式 思路： 利用等比数列的通项公式即可求出。 2 等比数列的性质 qpmn （都是正整数）， qpmn aaaa ， qpn 2 （都是正整数）， qpn aaa 2 ， na 是 pa 和 qa 的等比中项。 例： 设等 比 数列 na ， 已知 1893 aa ，求 6a 值 答案： 23 知识点：等比中项 思路： 利用等比中项即可。 例： 设等 比 数列 na ， 已知 12,3 73 aa ，求 654 aaa 值 答案： 216 知识点：等 比数列的性质 思路： 利用等比的性质即可。 3 等比数列

19、求和 )1()1(11 )(111qnaqq qaaqqaaS nnn（ 用错位相减法推导 ） 例： 设等比数列 na 的公比 12q ，前 n 项和为 nS ，则 44Sa 答案： 15 知识点：等比数列的求和 思路： 利用等比数列的求和和通项公式即可。 4 等比数列的证明 qaann 1 （ 等比数列的定义表达式 ） 例： 在数列 na 中， 11a ， nnn aa 321 ， 设 nnn ab 3 ， 证明：数列是 nb 等 比 数列 。 答案： 数列 nb 是公 比 2，首项 -2 的等 比 数列 知识点：等比数列 的定义 思路： 先化解，再利用等比数列的定义来证明。 5 等比数列的

20、综合 例： 设 nS 为数列 na 的前 n 项和， 2nS kn n， *nN ，其中 k 是常数 ， 若对于任意的 *mN ， ma ， 2ma ，4ma 成等比数列，求 k 的值 。 答案： 0k 或 1k 知识点：等比数列的等比中项和递推公式 思路： 先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项，即可求出。 考点四 等差和等比数列的综合问题 例： 已知实数列 na 是 等比 数列 ,其中 5547 ,1,1 aaaa 且 成等差数列 ， 求数列 na 的通项公式 。 答案： nna 72 知识点：等比数列的通项公式和等差中项 思路： 先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中

21、项，即可求出。 例： 等比数列 na 中，已知 142, 16aa，若 35,aa分别为等差数列 nb 的第 3 项和第 5 项，求数列 nb 的通项公式及前 n 项和 nS 。 答案： nnSn 226 2 知识点：等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路： 通过等比数列的知识来转化为等差数列，即可。 考点五 求数列的通项公式 1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有） 2 累加法 形式为： )(1 nfaa nn ， 利用 累加法 求通项， )1()2()1(1 nfffaa n 例： 已知数列 na 满足 naa nn 1 ， 11a 求数列 na 的通项公式。 答案： 2 2

22、2 nnan知识点：累加法求数列的通项公式 思路： 由 naa nn 1 得 naa nn 1 则 112211 )()()( aaaaaaaa nnnnn ，即可。 3 累 乘 法 形式为： )(1 nfaa nn ， 利用 累 乘 法 求数列通项，112211 aaaaaaaa nnnnn 。 答案： nan 32知识点：累加法求数列的通项公式 思路： 由条件知11 nnaa nn，nn n aaaaaaaaaa 13423121，即可。 4 待定系数 法 （ 1） qpaa nn 1 （其中 p， q 均为常数， )0)1( ppq ） ， 把原递推公式转化为： )(1 tapta nn

23、 ，其中pqt 1，再转化为等比数列求 通项公式 。 （ 2） nnn qpaa 1 （其中 qp, 均为常数， )0)1)(1( qppq ）。 （戒 1 nnna pa rq ,其中 rqp , 均为常数） 等式两边同除以 nq 得， 111 nnnn qaqpqa，若 qp ，再利用上述的方法， 转化为等比数列 的形式，利用等比数列通项公式；若 qp ，将 转化为等 差 数 列的形式，再利用等差数列求通项公式。 例： 已知数列 na 中， 11a ， 321 nn aa ，求 na . 答案： 32 1 nna 知识点：待定系数法求数列的通项公式 思路： 设递推公式 321 nn aa 可以转化为 )(21 nn aa ，然后利用等比数列求通项公式。 例 ： 已知数列 na 中 ， 31a , nnn aa 321 ，求 na 。 答案： nnna 23 知识点：待定系数法求数列的通项公式 思路：（方法不唯一） 根据 nnn aa 321 ， 两边 除 以 n3 得： 1323 1 nnnn aa， 令13 nnn ab， 转化成上面例题的