1、 1 / 22 导数高考题 型全归纳 （非常实用） 一、 导数的基本应用 （一）研究含参数的 函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（ 1）二次函数分析法；（ 2）单调性定义法 第一组 本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 【例题】 （ 2009 江西理 17/22）设函数 () xefx x . 求（ 1）函数 ()fx的单调区间；（ 2）略 . 解： 函数定义域为 ),0()0,( ， 221 1 1() x x xxf x e e ex x x , 由 ( ) 0fx
2、 , 得 1x . 因为当 0x 时或 01x 时 , ( ) 0fx ；当 1x时 , ( ) 0fx ； 所以 ()fx的单调增区间是 :1, ) ； 单调减区间是 : ( ,0) (0,1 ， . 【例题】（ 2008 北京 理 18/22） 已知函数22() ( 1)xbfx x ，求导函数 ()fx ，并确定 ()fx的单调区间 解： 242 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 )() ( 1 )x x b xfx x 32 2 2( 1)xbx 32 ( 1)( 1)xbx 令 ( ) 0fx ，得 1xb 当 11b ，即 2b 时， 2() 1fx x ，所以函数 ()fx在
3、( 1)， 和 (1 )， 上单调递减 当 11b ，即 2b 时， ()fx 的变化情况如下表： x ( 1)b ， 1b ( 11)b， (1 )， ()fx 0 当 11b ，即 2b 时， ()fx 的变化情况如下表： x ( 1)， (1 1)b， 1b ( 1 )b ， ()fx 0 所以， 2b 时，函数 ()fx在 ( 1)b ， 和 (1 )， 上单调递减，在 ( 11)b， 上单调递增， 2b 时，函数 ()fx在 ( 1)， 和 (1 )， 上单调递减 2b 时，函数 ()fx在 ( 1)， 和 ( 1 )b ， 上单调递减，在 (1 1)b， 上单调递增 2 / 22
4、第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】（ 2009 北京文 18/22）设函数 3( ) 3 ( 0 )f x x a x b a . （ ）求函数 ()fx的单调区间与极值点 . 解： 230f x x a a , 当 0a 时， 0fx ，函数 ()fx在 , 上单调递增， 此时函数 ()fx没有极值点 . 当 0a 时，由 0f x x a ， 当 ,xa 时， 0fx ，函数 ()fx单调递增， 当 ,x a a 时， 0fx ，函数 ()fx单调递减， 当 ,xa 时， 0fx ，函数 ()fx单调递增， 此时 xa 是 ()fx的极大值点， xa
5、 是 ()fx的极小值点 . 点评：此题是 2010 届文科考试说明的样题，题目考查了对导函数零点进行分类的能力，旨在帮助学生巩固研究函数单调性的基本方法 . 【例题】 （ 2009 天津理 20/22） 已知函数 22( ) ( 2 3 ) ( ) ,xf x x a x a a e x R 其中 aR . （ II） 当 23a 时，求函数 ()fx的单调区间与极值 . .42)2()( 22 xeaaxaxxf 解： .2232.220)( aaaaxaxxf 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论 . （ 1） a若 32 ，则 a2 2a .当 x 变化时， )()( xfxf ，
6、的变化情况如下表： x a2 ， a2 22 aa， 2a ，2a f(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 .)22()2()2()( 内是减函数，内是增函数，在，在所以 aaaaxf 3 / 22 .3)2()2(2)( 2 aaeafafaxxf ，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)( 2 aeaafafaxxf ，且处取得极小值在函数 （ 2） a若 32 ，则 a2 2a ，当 x 变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表： x 2 a， 2a aa 22 ， a2 ，a2 f(x) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数
7、，在，在所以 )22()2()2()( aaaaxf .)34()2()2(2)( 2 aeaafafaxxf ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)( 2 aaeafafaxxf ，且处取得极小值在函数 点评：此题与上一题考点相同，计算量略增，旨在帮助学生进一步提升对此类问题的认识和处理能力 . 【例题】（ 2008 福建文 21/22） 已知函数 32( ) 2f x x m x n x 的图象过点 ( 1, 6) ，且函数 ( ) ( ) 6g x f x x的图象关于 y 轴 对称 .（）求 mn、 的值及函数 ()y f x 的单调区间；（）若 0a ，求函数 ()y f x
8、在区间 ( 1, 1)aa内的极值 . 解：（）由函数 ()fx图象过点 ( 1, 6) ，得 3mn ， 由 32( ) 2f x x m x n x ， 得 2( ) 3 2f x x m x n ， 则2( ) ( ) 6 3 ( 2 6 )g x f x x x m x n ； 而 ()gx图象关于 y 轴对称，所以 26023m ，所以 3m ， 代入得 0n .于是 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x x x x x . 由 ( ) 0fx 得 2x 或 0x ，故 ()fx的单调递增区间是 ( ,0) ， (2, ) ； 由 ( ) 0fx 得 02x，故 ()fx的单调递减
9、区间是 (0,2) . （）由（）得 ( ) 3 ( 2)f x x x ，令 ( ) 0fx 得 0x 或 2x . 4 / 22 当 x 变化时， ()fx 、 ()fx的变化情况如下表： x ( ,0) 0 (0,2) 2 (2, ) f(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 由此可得：当 01a时， ()fx在 ( 1, 1)aa内有极大值 (0) 2f ，无极小值； 当 1a 时， ()fx在 ( 1, 1)aa内无极值； 当 13a时， ()fx在 ( 1, 1)aa内有极小值 (2) 6f ，无极大值； 当 3a 时， ()fx在 ( 1, 1)aa内无极值 . 综
10、上所述，当 01a时， ()fx有极大值 2 ，无极小值；当 13a时， ()fx有极小值6 ，无极大值；当 1a 或 3a 时， ()fx无极值 . 点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路 不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平 . 【例题】（ 2009 安徽文 21/21）已知函数 2( ) 1 lnf x x a xx ， a 0， (I)讨论 ()fx的单调性 ; (II)设 a=3，求 ()fx在区间 1， 2e 上值域 .其中 e=2.71828是自然对数的底数
11、. 解：（）由于 /22( ) 1 afx xx ,令 1t x 得 /2( ) 2 1 ( 0 )f x t a t t 当 2 80a ，即 0 2 2a 时， /( ) 0fx 恒成立， ()fx在 ( ,0),(0, ) 上都是增函数 . 当 2 80a ，即 22a 时， 由 22 1 0t at 得 2 84aat 或 2 84aat 0x 或 2 82aax 或 2 80 2aax 又由 22 1 0t at 得 228844a a a at ， 2288a ax 5 / 22 综上 ,当 0 2 2a ()fx在 ( ,0),(0, ) 上都是增函数； 当 22a ()fx在
12、2 8( , 0 ), (0 , )2aa 及 2 8( , )2aa上都是增函数， 在 2288( , )a a a a 是减函数 . （ 2）当 3a 时，由（ 1）知， ()fx在 1， 2上是减函数，在 22, e 上是增函数 . 又 2222( 1 ) 0 , ( 2 ) 2 3 l n 2 0 , ( ) 5 0f f f e e e 函数 ()fx在区间 1， 2e 上的值域为 2222 3 ln 2 , e 5 e . 点评： （ 1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （ 2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简
13、单，是一个承上启下的过渡性问题 . （ 二 ） 利用函数的单调性、极值 、 最值 ， 求参数取值范围 基本思路：定义域 单调区间、极值、最值 不等关系式 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】 （ 2008 湖北文 17/21） 已知函数 3 2 2( ) 1f x x m x m x （ m 为常数，且 m0）有极大值 9 （ ）求 m 的值； （ ）若斜率为 5 的直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 解：（ ） 22( ) 3 2 ( ) ( 3 ) 0f x x m x m x m x m ， 则 xm 或 13xm ， 当 x 变化时， ()f
14、x 与 ()fx的变化情况如下表： x ( , )m m 1( , )3mm m31 ( m31 ,+) ()fx + 0 0 + ()fx 增 极大值 减 极小值 增 从而可知，当 xm 时，函数 ()fx取得极大值 9， 6 / 22 即 333( ) 1 9f m m m m , 2m . （ ）由（ ）知， 32( ) 2 4 1f x x x x ， 依题意知 2( ) 3 4 4 5f x x x ， 1x 或 13x . 又 1 6 8( 1) 6 , ( )3 2 7ff ， 所以切线方程为 6 5( 1)yx ， 或 68 15( )27 3yx ， 即 5 1 0xy ，或
15、 135 27 23 0xy . 点评： （ 1） 本题第一问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大； （ 2） 本题第二问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求 . 【例题】 （ 2009 四川文 20/22） 已知函 数 32( ) 2 2f x x b x cx 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 5 10yx. （ I）求函数 ()fx的解析式； （ II）设函数 1( ) ( ) 3g x f x m x， 若 ()gx的极值存在 ，求实数 m 的取值范围以及函数 ()gx取得极值时对应的自变量 x 的值 . 解： （ I）由已知
16、 ,切点为 (2,0),故有 (2) 0f ,即 4 3 0bc 又 2( ) 3 4f x x b x c ，由已知 (2 ) 1 2 8 5f b c 得 8 7 0bc 联立 ，解得 1, 1bc .所以函数的解析式为 32( ) 2 2f x x x x （ II）因为 32 1( ) 2 2 3g x x x x m x 令 2 1( ) 3 4 1 03g x x x m 当函数有极值时，方程 2 13 4 1 03x x m 有实数解 .则 4(1 ) 0m ，得 1m . 当 1m 时， ( ) 0gx 有实数 23x ，在 23x 左右两侧均有 ( ) 0gx ，故 ()gx
17、无极值 当 1m 时， ( ) 0gx 有两个实数根1211( 2 1 ) , ( 2 1 ) ,33x m x m ( ), ( )g x g x情况如下表： x 1( , )x 1x 12( , )xx 2x 2()x 7 / 22 ()gx + 0 - 0 + ()gx 极大值 极小值 所以在 ( ,1)m 时，函数 ()gx有极值； 当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx有极大值；当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx有极小值； 点评： （ 1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求 . （ 2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然
18、是求含参数的函数的极值，难度不大 . 【例题】 （ 2008 全国 文 21/22） 设 aR ， 函数 23 3)( xaxxf （ ）若 2x 是函数 )(xfy 的极值点，求 a 的值； （ ）若函数 ( ) ( ) ( ) 0 2 g x f x f x x ， ，在 0x 处取得最大值，求 a 的取值范围 解：（ ） 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x a x x x a x 因为 2x 是 函数 ()y f x 的极值点，所以 (2) 0f ，即 6(2 2) 0a，因此1a 经验证，当 1a 时， 2x 是函数 ()y f x 的极值点 （ ） 由题设， 3 2 2 2( )
19、 3 3 6 ( 3 ) 3 ( 2 )g x a x x a x x a x x x x 当 ()gx在区间 02， 上的最大值为 (0)g 时， (0) (2)gg ，即 0 20 24a 故得 65a 反之，当 65a 时，对任意 02x ， ， 26( ) ( 3 ) 3 ( 2 )5g x x x x x 23 (2 10)5x xx 3 (2 5)( 2)5x xx 0 ， 而 (0) 0g ，故 ()gx在区间 02， 上的最大值为 (0)g 综上， a 的取值范围为65 ， 点评： 8 / 22 （ 1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定
20、的思维难度 . （ 2） 本题若用一般方法，则可求出 g(0)=0，将问题转化为 g(x) 0 的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大 . 【例题】 （ 2009 陕西理 20/22） 已知函数 1( ) ln ( 1 ) , 01 xf x a x xx ，其中 0a （ ）求 ()fx的单调区间； （ ）若 ()fx的最小值为 1，求 a 的取值范围 . 解 :（ ） 0, 0,xa 1 0.ax 222( ) ,( 1)(1 )a x afx a x x 当 2a 时，在区间 (0, ) ( ) 0,fx 上 ， ()fx的单调增区间为 (0, ). 当 02a时，由 22( ) 0
21、, ( ) 0 ,aaf x x f x x 解 得 由 解 得 ( ) ) ,aafx 2 - 2 -的 单 调 减 区 间 为 （ 0 ， 单 调 增 区 间 为 （ ， ） . （ ）当 2a 时，由（ ） 知， ( ) ( 0 ) 1;f x f 的 最 小 值 为所以 2a . 当 02a 时 ， 由 （ ） 知， ()fx 在 2 ax a 处取得最小值2( ) ( 0 ) 1 ,affa 所以， 02a不成立 . 综上可知，若 ()fx得最小值为 1，则 a 的取值范围是 2, ). 点评： （ 1） 本题第三问是求函数最值的逆向问题，解题时根据单调性研究的分类标准，将验证参数取
22、值范围是否成立，是计算量较小，但不容易发现的方法 . （ 2） 本题若用一般方法，则可将问题转化为 f(x) 1 的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大 . （三）导数的几何意义 （ 2008 海南宁夏文 21/22） 设函数 () bf x ax x，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 7 4 12 0xy . 9 / 22 （ ） 求 ()y f x 的解析式； （ ） 证明：曲线 ()y f x 上任一点处的切线与直线 0x 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 . 解： （ ） 方程 7 4 12 0xy 可化为 7 34yx，当 2x 时，
23、12y ； 又 2bf x a x，于是1222744baba ，解得 13ab， 故 3f x x x （ ） 设 00,P x y 为曲线上任一点，由 231y x知曲线在点 00,P x y 处的切线方程为 002031y y x xx ，即 00200331y x x xxx 令 0x ，得06y x ，从而得切线与直线 0x 的交点坐标为060, x； 令 yx ，得 02y x x ，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为 002 ,2xx； 所以点 00,P x y 处的切线与直线 0,x y x所围成的三角形面积为0016262 xx； 故曲线 y f x 上任一点处的切线与直线
24、 0,x y x所围成的三角形面积为定值 6. 二 、 导数应用 的变式与转化 （一） 函数的零点 存在与分布 问题 问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法 特殊方法：（ 1）二次函数判别式法；（ 2）零点存在性定理 第一组 二次函数 （ 1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （ 2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （ 3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做 方法上的铺垫 . 10 / 22 【例题】 （ 2009 江西文 17/22） 设
25、函数 329( ) 62f x x x x a （ 1）略 ； （ 2）若方程 ( ) 0fx 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 . 解：因为 当 1x 时 , ( ) 0fx ;当 12x时 , ( ) 0fx ;当 2x 时 , ( ) 0fx ; 所以 当 1x 时 , ()fx取极大值 5(1) 2fa; 当 2x 时 , ()fx取极小值 (2) 2fa ; 故当 (2) 0f 或 (1) 0f 时 , 方程 ( ) 0fx 仅有一个实根 . 解得 2a 或 52a . 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题 . 【例题】 （ 2009 广东文
26、 21/21） 已知二次函数 )(xgy 的导函数的图像与直线 2yx 平行 ，且 )(xgy 在 x = 1 处取得最小值 m 1(m 0 ).设函数 xxgxf )()( （ 1）若曲线 )(xfy 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 ； （ 2） )( Rkk 如何取值时 ,函数 kxxfy )( 存在零点 ,并求出零点 . 解：（ 1）设 2g x ax bx c ，则 2g x ax b ； 又 gx 的图像与直线 2yx 平行 22a，解得 1a 又 gx在 1x 取极小值， 12b ， 解得 2b 1 1 2 1g a b c c m ，解得 cm ； 所以 2gx mf x xxx ， 设 ,ooP x y ，则 22 2220 0 0 002 mP Q x y x x x 2220 202 2 2 2 2mxmx 22 2 2 4m ,解得 22m ； w. w. w. k.s.5.u.c.o.m （ 2）由 1 2 0my f x k x k x x ，得 21 2 0k x x * 当 1k 时，方程 * 有一解 2mx ，函数 y f x kx有一零点 2mx ；
