1、海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学（理科） 2018.5 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 （ 1）已知全集 1, 2,3, 4,5, 6,U 集合 1, 2 , 4 , 1, 3 , 5AB，则 ()UABI = （ A） 1 （ B） 3,5 （ C） 1,6 （ D） 1,3,5,6 （ 2）已知复数 z 在复平面上对应的点为 (1, 1) ，则 （ A） +1z 是实数 （ B） +1z 是纯虚数 （ C） +iz 是实数 （ D） +iz 是纯虚数 （ 3）已知 0xy ，则
2、（ A） 11xy（ B） 11( ) ( )22xy （ C） cos cosxy （ D） ln( 1) ln( 1)xy （ 4）若直线 0x y a 是圆 2220x y y 的一条对称轴，则 a的值为 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 （ 5）设曲线 C 是双曲线，则 “ C 的方程为 22 14yx ” 是 “ C 的渐近线方程为 2yx ”的 （ A） 充分 而 不必要条件 （ B） 必要 而 不充分条件 （ C） 充分必要 条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 6） 关于函数 sin c osf x x x x，下列说法错误的是 （ A） fx是奇函数
3、 （ B） 0不是 fx的极值点 （ C） fx在 ( , )22 上有且仅有 3个零点 （ D） fx的值域是 R （ 7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 （ A）求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 （ B）求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 （ C）求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 （ D）求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和 （ 8） 已知集合 * | 1 1 5M x x N ，集合 1 2 3,A A A 满足 每个集合都 恰 有 5个元素 1 2 3A A A M 集合
4、 iA 中元素的最大值与最小值之和称为集合 iA 的特征数，记为 iX （ 1,2,3i ），则1 2 3X X X的值不可能为（ ） （ A） 37 （ B） 39 （ C） 48 （ D） 57 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 。 （ 9）极坐标系中，点 (2, )2 到直线 cos 1 的距离为 _. （ 10） 在 52()x x 的二项展开式中， 3x 的系数为 . （ 11）已知 平面向量 a， b 的夹角为 3 ，且 满足 | | 2a ， | | 1b ， 则 ab ，2|a b| . （ 12） 在 ABC 中，
5、: : 4 : 5 : 6abc ，则 tanA . （ 13）能够使得命题 “ 曲线 22 1( 0)4xy aa 上存在四个点 P ， Q ， R ， S 满足四边形 PQRS 是正方形 ” 为真命题的 一个实数 a的值为 . （ 14）如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 是棱 1AA 的中点，点 P 在侧面 11ABBA 内，若 1DP垂直于 CM ，则 PBC 的面积的最小值为 _. 开始S = 0 ， n = 1S = S + 2n - 1n = n + 2n 2018输出 S结束是否A BCDA 1 B 1C 1D 1M P三、解答题 共
6、6 小题 ，共 80 分 解答 应 写出文字说明， 演算 步骤或证明过程 （ 15）（本小题 13 分） 如图，已知函数 ( ) sin ( )f x A x( 0 , 0 , )2A 在一个周期内的图象经过( ,0)6B ， 2( ,0)3C ， 5( ,2)12D 三点 （ ）写出 A ， ， 的值； （ ）若 52( , )12 3 ，且 ( ) 1f ，求 cos2 的值 16. （本小题 共 13 分） 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从 高二年级随机抽取 10 名学生进行 了两轮 测试 ，并把 两轮 测试 成绩 的平均 分作为该名学生的考核成绩记录的数据如下：
7、1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号 第一 轮测试成绩 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二 轮测试成绩 90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 () 从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率 ； () 从 考核成绩 大于等于 90 分 的学生中 再随机抽取两 名同学，求这 两 名同学 两轮 测 试 成绩均 大于等于 90 分 的概率； () 记抽取的 10 名学生第一 轮测试 成绩的平均数和方差分别为 1x ， 21s ， 考核成绩的平均数和方差分别为 2x ，
8、22s ，试比较 1x 与 2x ， 21s 与 22s 的大小 . （只需写出结论） 17. （本小题 共 14 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 2A C B C A B ， 1AB 平面 ABC ，1AC AC ， D ， E 分别是 AC ， 11BC 的中点 （ ）证明： 11AC BC （ ）证明： /DE 平面 11AABB ； （ ）求 DE 与平面 11BBCC 所成角的正弦值 . xyDCBOAC 1 A 1CB 1BDE18. （本小题 共 14 分） 已知椭圆 C ： 2 2 14x y， F 为右焦点，圆 O ： 221xy， P 为椭圆
9、C 上一点，且 P 位于第一象限，过点 P 作 PT 与圆 O 相切于点 T ，使得 点 F ， T 在 OP 两侧 . （ ）求 椭圆 C 的焦距及离心率 ; （ ） 求四边形 OFPT 面积的最大值 . 19. （本小题 共 13 分） 已知函数 ( ) 3axf x ax e （ 0a ） （ ）求 ()fx 的极值； （ ）当 0a 时， 设 211( ) 32axg x a x xa e .求证：曲线 ()y g x 存在两条斜率为 1 且不重合的切线 . 20. （本小题 共 13 分） 如果数列 na 满足 “对任意正整数 ,ij， ij ，都存在正整数 k ，使得 k i ja
10、 aa ”，则称数列 na 具有 “性质 P”.已知数列 na 是无穷项的等差数列，公差为 d . （ ）若 1 2a ，公差 3d ，判断数列 na 是否具有 “性质 P”，并说明理由； （ ）若数列 na 具有 “性质 P”，求证： 1 0a 且 0d ； （ ）若数列 na 具有 “性质 P”，且存在正整数 k ，使得 2018ka ，这样的数列 na 共有多少个？并说明理由 海淀区高三年级第二学期期末练习 参考 答案 及评分标准 数 学（理科） 2018.5 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
11、求的一项 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A C C A 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （ 9） 1 （ 10） 10 （ 11） 1； 23 （ 12） 73（ 13）答案 不唯一， 0a 或 4a 的 任意实数 （ 14） 255三、解答题 共 6 小题 ，共 80 分 解答 应 写出文字说明， 演算 步骤或证明过程 （ 15）（本小题 13 分） 解： （ ） 2A ， 2 ， 3 7 分 （ ） 由 （ ） 得 ， ( ) 2 sin (2 )3f x x 因为 ( ) 1f ， 所以 1sin(2 )32
12、 8 分 因为 52( , )12 3 ， 所以 2 ( , )32 9 分 所以 52 36 ， 11 分 所以 72 6 ， 12 分 所以 73c o s 2 c o s62 13 分 16. （本小题 共 13 分） 解： （ ）这 10 名学生的考核成绩 （单位：分） 分别为 ： 93， 89.5， 89， 88， 90， 88.5， 91.5， 91， 90.5， 91 其 中 大于等于 90 分 的有 1 号、 5 号、 7 号、 8 号、 9 号、 10 号 ，共 6 人 . 1 分 所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率 为： 6 0.610 ， 3 分 从 该校高二
13、年级随机选取一名学生， 估计 这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率 为0.6. 4 分 （ ）设事件 A ：从上述 考核成绩大于等于 90 分的学 生中再随机抽取两名同学， 这两名同学两轮测试 成绩均大于等于 90 分 . 5 分 由（ ）知 ， 上述 考核成绩大于等于 90 分的学生 共 6 人 ， 其中 两轮测试成绩均大于等于 90 分 的学生 有 1 号 ， 8 号 ， 10 号， 共 3 人 . 6 分 所以， 2326 31() 1 5 5CPA C .9 分 （ ） 12xx ， 2212ss .13 分 17. （本小题 共 14 分） 解： （ ）因为 1AB 平面 ABC
14、 ， AC 平面 ABC ， 所以 1AB AC 1 分 因为 1AC AC ， 11AB AC A ， 1AB ， 1AC 平面 11ABC ， 所以 AC 平面 11ABC 3 分 因为 11BC 平面 11ABC ， 所以 11AC BC 4 分 （ ） 法一：取 11AB 的 中点 M ，连接 MA 、 ME 因为 E 、 M 分别是 11BC 、 11AB 的中点 ， 所以 ME 11AC ，且 ME1112AC 5 分 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 11AD AC ， 且1112AD AC， 所以 ME AD，且 ME=AD， 所以四边形 ADEM 是平行四边形，
15、6 分 所以 DE AM 7 分 又 AM 平面 11AABB ， DE 平面 11AABB ， 所以 /DE 平面 1AABB 9 分 注： 与此法类似，还可取 AB 的中点 M，连接 MD、 MB1 法二：取 AB 的 中点 M ，连接 MD 、 1MB 因为 D、 M 分别是 AC、 AB 的中点 ， 所以 MD BC，且 MD 12 BC 5 分 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BE BC ， 且1 12BE BC， 所以 MD B1E，且 MD=B1E， A C 1 A 1 C B 1 B D E MA C 1 A 1 C B 1 B D E M AC 1 A 1CB
16、 1BDEyxz所以四边形 B1E DM 是平行四边形， 6 分 所以 DE MB1 7 分 又 1MB 平面 11AABB ， DE 平面 11AABB ， 所以 /DE 平面 1AABB 9 分 法三：取 BC 的 中点 M ，连接 MD 、 ME 因为 D 、 M 分别是 CA 、 CB 的中点 ， 所以， /DM AB 5 分 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 11/BC BC ， 11BC BC ， 因为 E 、 M 分别是 11CB 和 CB 的中点 ， 所以， 1/MB EB ， 1MB EB ， 所以，四边形 1MBBE 是平行四边形 ， 6 分 所以， 1/ME
17、BB 7 分 又 因为 ME MD M ， 1BB AB B ， ME , MD 平面 MDE， BB1, AB 平面 11AABB ， 所以，平面 /MDE 平面 11AABB 8 分 因为， DE 平面 MDE ， 所以， /DE 平面 1AABB 9 分 （ ）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 11/BC BC ， 因为 11AC BC ， 所以 AC BC 在平面 1ACB 内，过点 C 作 1/Cz AB ， 因为， 1AB 平面 ABC ， 所以， Cz 平面 ABC 10 分 建立空间直角坐标系 C-xyz， 如图 则 (0,0,0)C , (2,0,0)B , 1(
18、0,2,2)B , 1( 2,2,2)C , (0,1,0)D , ( 1,2,2)E . ( 1,1,2)DE ， (2,0,0)CB ， 1 (0,2,2)CB 11 分 设平面 11BBCC 的法向量为 ( , , )x y zn ，则 100CBCB nn，即 20220xyz ， 得 0x ，令 1y ，得 1z ，故 (0,1, 1)n 12 分 设直线 DE 与平面 11BBCC 所成的角为 ， A C 1 A 1 C B 1 B D E M xyTFOP则 sin c o s ,| | | |DEDEDE nnn36， 所以 直线 DE 与平面 11BBCC 所成角的正弦值为
19、36. 14 分 18. （本小题 共 14 分） 解： （ ）在椭圆 C ： 2 2 14x y中， 2a ， 1b ， 所以 22 3c a b ， 2 分 故椭圆 C 的焦距为 2 2 3c ， 3 分 离心率 32ce a 5 分 （ ） 法一 ： 设 00( , )Px y （ 0 0x ， 0 0y ）， 则 2 200 14x y，故 22 00 1 4xy 6 分 所以 2 2 2 2 2 20 0 03| | | | | | 1 4T P O P O T x y x ， 所以03|2TP x， 8 分 013| | | |24O TPS O T T P x 9 分 又 (0,
20、0)O ， ( 3,0)F ， 故001322O F PS O F y y 10 分 因此 003 ()22O F P O TPO F P T xS S S y 四 边 形11 分 2 200 0 0 0 033 12 4 2x x y y x y 由 2 200 14x y，得 2 200214x y，即 001xy， 所以0036122O F P TS x y 四 边 形， 13 分 当且仅当 2 200 142x y，即 0 2x ，0 22y 时等号成立 . 14 分 （ ） 法二 ： 设 (2 cos ,sin )P （ 0 2 ）， 6 分 则 2 2 2 2 2 2| | | |
21、 | | 4 c o s s i n 1 3 c o sT P O P O T ， 所以 | | 3 cosTP ， 8 分 13| | | | c o s22O TPS O T TP 9 分 又 (0,0)O ， ( 3,0)F ， 故013 sin22O F PS O F y 10 分 因此 3 ( c o s sin )2O F P O TPO F P TS S S 四 边 形11 分 66sin( )2 4 2 ， 13 分 当且仅当4时，即 0 2x ，0 22y 时等号成立 14 分 19. （本小题 共 13 分） 解： （ ） 法一： ( ) ( 1 )a x a xf x a
22、 a a ee( 0, )axR ， 1 分 令 ( ) 0fx ，得 0x 2 分 当 0a 时， ()fx与 1axe 符号相同 ， 当 x 变化时， ()fx， ()fx的 变化 情 况如下表： x ( ,0) 0 (0, ) ()fx 0 ()fx 极小 4 分 当 0a 时， ()fx与 1axe 符号相反 ， 当 x 变化时， ()fx， ()fx的 变化 情 况如下表： x ( ,0) 0 (0, ) ()fx 0 ()fx 极小 6 分 综上， ()fx在 0x 处取得极小值 (0) 2f . 7 分 法二： ( ) ( 1 )a x a xf x a a a ee( 0, )
23、axR ， 1 分 令 ( ) 0fx ，得 0x 2 分 令 ( ) ( 1)axh x a e ，则 2( ) axh x ae ， 3 分 易知 ( ) 0hx ， 故 ()hx 是 ( , ) 上的增函数 ， 即 ()fx是 ( , ) 上的增函数 4 分 所以，当 x 变化时， ()fx， ()fx的 变化 情 况如下表： x ( ,0) 0 (0, ) ()fx 0 ()fx 极小 6 分 因此 ， ()fx在 0x 处取得极小值 (0) 2f . 7 分 （ ） ( ) 3 ( )axg x a x f x e ( 0, )axR ， 8 分 故 ( ) 1gx ( ) 1fx
24、9 分 注意到 (0) 2 1f ， 22( ) 5 1f a e ， 22( ) 1 1f a e ， 所以，1 2( ,0)x a ，2 2(0, )x a，使得 12( ) ( ) 1f x f x 因此， 曲线 ()y g x 在点 1 1 1( , ( )P x f x ， 2 2 2( , ( )P x f x 处的切线斜率均为 1 . 11 分 下面， 只需证明 曲线 ()y g x 在点 1 1 1( , ( )P x f x ， 2 2 2( , ( )P x f x 处的切线不重合 . 法一： 曲线 ()y g x 在点 ( , ( )i i iP x f x （ 1,2i
25、 ） 处 的 切 线 方 程 为( ) ( )iiy g x x x ， 即 ()iiy x g x x 假设 曲线 ()y g x 在点 ( , ( )i i iP x f x（ 1,2i ）处的切线重合，则 2 2 1 1( ) ( )g x x g x x 12 分 法二：假设 曲线 ()y g x 在点 ( , ( )i i iP x f x ( 1,2i ， 12xx )处的切线重合，则2121( ) ( ) 1g x g xxx ， 整理得： 2 2 1 1( ) ( )g x x g x x 12 分 法一：由 ( ) 3 1iaxiig x a x e ，得 2iax iaxe
26、 ，则 221 1 1 2( ) ( 2 ) 322i i i i i i i ig x x a x a x x x a x xaa 因为 12xx ， 故由 2 2 1 1( ) ( )g x x g x x 可得122xx a 而1 2( ,0)x a，2 2(0, )x a， 于是有12 220xx aa ， 矛盾 ！ 法二：令 ( ) ( )G x g x x，则 12( ) ( )G x G x ，且 ( ) ( ) 1 ( ) 1G x g x f x . 由（）知， 当 12( , )x x x 时， ( ) 1fx ， 故 ( ) 0Gx 所以， ()Gx在区间 12 , xx
27、 上单调递减， 于是 有 12( ) ( )G x G x ，矛盾 ！ 因此， 曲线 ()y g x 在点 ( , ( )i i iP x f x ( 1,2i )处的切线 不 重合 13 分 20. （本小题 13 分） 解： （ ）若 1 2a ，公差 3d ，则 数列 na 不具有性质 P 1 分 理由如下： 由题知 31nan，对于 1a 和 2a ， 假设存在正整数 k ，使得 12ka aa ， 则有3 1 2 5 10k ， 解得 113k ，矛盾 ！所以 对任意的 *kN ， 12ka aa 3 分 （ ） 若 数列 na 具有 “性质 P”， 则 假设 1 0a ， 0d ，
28、则对任意的 *nN ， 1 ( 1) 0na a n d . 设 12ka a a，则 0ka ，矛盾 ！ 4 分 假设 1 0a ， 0d ，则存在 正整数 t ，使得 1 2 3 1 20t t ta a a a a a 设 111tka a a， 212tka a a， 313tka a a， ， 11 2 1 ttka a a ， *ikN ，1,2, , 1it， 则 1 2 3 10 tk k k ka a a a ，但数列 na 中仅有 t 项小于等于 0，矛盾 ！ 6 分 假设 1 0a ， 0d ，则存在 正整数 t ，使得 1 2 3 1 20t t ta a a a a a 设 112t t ka a a， 213t t ka a a， 314t t ka a a， ， 11 2 2 tt t ka a a ， *ikN ，1,2, , 1it， 则 1 2 3 10 tk k k ka a a a ，但数列 na 中仅有 t 项大于等于 0，矛盾 ！ 8 分
