1、试卷第 1 页，总 4 页 2014-2015年度 第一学期 高 二数学 期末 考试 评卷人 得分 一 、选择题 1已知 Rx ，那么 12x 是 1x 的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 抛物线 218yx 的焦点坐标为（ ） A.（ 0， 116 ） B.（ 116 ， 0） C.（ 0, 4） D.（ 0, 2） 3 命题“若 090C ，则 ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A 0 B 3 C 2 D 1 4 设变量 x 、 y 满足约束条件 3 6 02030xyxyy 则目
2、标函数 2g y x 的最小 值是（ A 7 B 4 C 1 D 2 5 如果方程 221| | 1 2xyxm表示双曲线，那么实数 m 的取值范围是（ ） A. 2m B. 11m 或 2m C. 12m D. 1m 或 2m 6 已知,abc R,则下列推证中正确的是（ ） A.22b am bm B.ab abcc C.33 11,0b ab ab D.22 11a b ab ab 7 已知不等式2 50ax x b 的解集为 | 3 2xx ,则不等式2bx x a 的解集为 ( ) A11 | 32B11| 32x x x 或C | 3 2 D | 3 2x x x 或8 在等差数列
3、 na 中 ， 已知 1475 aa ， 则该数列前 11 项和 11S A 196 B 132 C 88 D 77 9若双曲线 12222 byax 的焦距为 10，点 )1 2( ，P 在其渐近线上，则双曲线的方程为 A 12080 22 yx B 18020 22 yx C 1520 22 yx D 1205 22 yx 试卷第 2 页，总 4 页 10 角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，且 Aba sin3 ，则 Bsin A. 3 B. C. 33D.3611设 数列 na 是等差数列， 则 （ ） A 5481 aaaa B 5481 aaaa C 5481 aaaa D 5
4、481 aaaa 12 若椭圆 14 22 yx 与双曲线 12 22 yx 有相同 的焦点 F1、 F2， P 是这两条曲线的一个交点，则 21PFF 的面积是（ ） A 4 B 2 C 1 D 21 评卷人 得分 二 、填空题 13 已知命题 :PxR， sin 1x ，则 P ： _ 14 若双曲线 22221xyab 的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为 _ 15已知 x 0， y 0，且 x+y=1，求yx 11的最小值是 . 16已知抛物线 2 4xy 的焦点 F 和点 ( 18)AP， ， 为抛物线上一点，则 PA PF 的最小值是 _ 评卷人 得分 三 、解答题 17 命题
5、p ：实数 x 满足 224 3 0x ax a ，其中 0a ，命题 q ：实数 x 满足 2 60xx 或 2 2 8 0xx ，且 q 是 p 的必要不充分条件，求 a 的取值范围 . 18 在ABC中，,abc分别是角,ABC的对边，且coscos BC ba c 2. （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若b a c 13 4，求ABC的面积 . 试卷第 3 页，总 4 页 19 已知数列 na 的各项均满足 31a ， 92a ， 211n n na a a ),2( Nnn (1)求数列 na 的通项公式； (2)设数列 nb 的通项公式是133 lo glo g1 nnn aa
6、b，前 n 项和为 nT ， 求证：对于任意的正数 n ，总有 1nT . 20 （本小题满分 12 分）已知 a 、 b 、 c 分别 是 ABC 中 角 A、 B、 C 的对边 ，且2 2 2a c b ac （ I） 求角 B 的大小 （ II） 若 ab 3 ，求 sinA 的值 21 （本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 2nS n n. （ I） 求数列 na 的通项公式 （ II） 若 1()2nanbn，求数列 nb 的前 n 项和 nT 22 .（ 本小题满分 12 分） 某投资商到一开发区投资 72 万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出 12
7、万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元 .设 )(nf 表示前 n 年的纯 利润总和，（ f（ n） =前 n 年的总收入 前 n 年的总支出 投资额 72 万元） （ I）该厂从第几年开始盈利？ （ II）该厂第几年 年平均纯利润 达到最大？并求出 年平均纯利润的 最大值 . 试卷第 4 页，总 4 页 23 （本小题满分 14 分） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为23的椭圆过点（ 2 ，22). （ I） 求椭圆方程 （ II） 设不过原点 O 的直线 l ： mkxy )0( k ，与该椭圆交于 P、 Q 两点，直线 OP、OQ 的斜率依次为
8、 1k 、 2k ，满足 214 kkk ，求 2m 的 值 . 24如图所示， F1、 F2分别为椭圆 C： )0(12222 babyax 的左、右两个焦点， A、 B为两个顶点，该椭圆的离心率为 55 ， ABO 的面积为 5 . （ 1）求椭圆 C 的方程和焦点坐标； （ 2）作与 AB 平行的直线 l 交椭圆于 P、 Q 两点， 955PQ ，求直线 l 的方程 . 答案第 1 页，总 8 页 参考答案 1 A 2 D 【解析】 试题分析：原抛 物线方程可化为 2 8xy ，则 28p ，所以 2p 2，则焦点坐标为（ 0,2） . 考点：本题考查抛物线的标准方程与几何性质 . 3
9、C 【解析】 试题分析： 逆命题为“若 ABC 是直角三角形 ,则 090C ” ,也可以其它角为直角 ,为假命题；否命题“若 090C ，则 ABC 不是直角三角形”也可以其它角为直角，为假命题逆否命题为“若 ABC 不是直角三角形，则 090C ”是真命题 考点：本题主要考查四种命题的转化 4 A 【解析】 试题分析： 法一：由 3 6 020xy 可得交点 C 2,0 ，由 2030xyy可得交点 B 5,3 ，由 3 6 030xyy 可得交点A(1,3) ，分别代入目标函数可得最小值 7法二：画出如上图像，数形在结合易得 B 5,3处取得最小值 考点：本题主要考简单的线性规划问题 5
10、 B 【解析】 试题分析：由双曲线方程的标准形式可知 | | 1 ( 2 ) 0mm ，解得： 11m 或 2m 考点：本题 考查双曲线标准方程的形式 . 6 C 【解析】 试题分析： A 当 0m 时不成立； B 当 0c 时不成立； D 当 ,ab均为负值时，不成立 . 考点：本题主要考查不等式的性质 . 7 B 【解析】 答案第 2 页，总 8 页 试题分析：由已知可得 3,2 是方程 2 50ax x b 的两根由根与系数的关系可知532a ， 5a 32ba ， 30b 代入不等式2 50bx x a 解得11 | 32x x x 或考点：本题考查一元二次不等式的解法 8 D 【解析
11、】 试题分析： 根据等差数列的定义和性质得 a1+a11= 1475 aa ， 在 等 差 数 列 an 中 ， 已 知 1475 aa ， a1+a11= 1475 aa ， 1 1 111 ( a a ) 1 1 1 4 1 1 7722S 故答案为 D. 考点： 考查等差数列 前 n 项和。 点评： 解决该试题的关键是 等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于中档题 9 C 【解析】 试题分析：根据题意，由于双曲线 12222 byax 的焦距为 10，故有 2c=10,c=5，又点 )1 2( ，P在其渐近线上， y-bxa ,代入可知， 2b=a，结合 2 2 2
12、c a b,联立方程组可知 2220 =5ab ， ，因此双曲线的方程为 1520 22 yx ，故选 C. 考点：本试题考查了双曲线的方程。 点评：解决该试题的关键是对于双曲线的渐近线的准确表示，得到 a,b 的关系式，同时能利用焦距得到 c，进而得到结论，属于基础题。 10 C 【解析】由正弦定理得 asinA =sinbB 将 Aba sin3 代入得 3 b=sinbB 即 sinB = 33 11 B 【解析】设公差为 d,则 1 8 1 1 1 4 5 1 1 17 2 7 , 3 4 2 7a a a a d a d a a a d a d a d 。故选 B 12 C 【解析】
13、 答案第 3 页，总 8 页 试题分析：设 21PFF ,则2ta n2ta n 222121 bbS PFF ，所以2tan12tan ，所以2 ，故 12tan2121 bS PFF 考点：焦点三角形 13 : R , sin 1p x x 【解析】略 14 22yx 【解析】略 15 4. 【解析】 试题分析：由题意，得 4211 yxxyy yxx yxyx（当且仅当 21yx 时取等号） 考点：基本不等式 16 9 【解析】 试题分析： 由题意可得：抛物线的准线方程为： 1y ，所以 PA PF 最小时应满足点 P位于点 Q 的位置， 9m in ATPFPA 考点： 抛物线的性质
14、17 23 a 0 或 a 4. 【解析】 试题分析：先对集合进行化简，由 q 是 p 的必要不充分条件，可知 qqP , 推不出 p，所以答案第 4 页，总 8 页 BA 可得不等式 320aa 或 40aa ，解不等式组即可 . 试题解析： 设 A x|x2 4ax 3a2 0(a 0) x|3a x a， 2 分 B x|x2 x 6 0 或 x2 2x 8 0 x|x2 x 6 0 x|x2 2x 8 0 x| 2 x 3 x|x 4 或 x 2 x|x 4 或 x 2. 4 分 因为 q 是 p 的必要不充分条件， 所以 qqP , 推不出 p，由 BA 得 6 分 320aa 或
15、40aa 10 分 即 23 a 0 或 a 4. 12 分 考点：本题考查充要条件，集合之间的关系和运算 . 18 （ 1）B23,（ 2） 3 34ABCS .【解析】 试题分析： （ 1）由正弦定理可将原等式转化为 c o s s inc o s 2 s in s inBBC A C ,展开可化为2 s i n c o s s i n 0A B A又 sin 0A ，所以 1cos 2B ，在三角形内， 23B .（ 2）由23B ，b a c 13 4，根据余弦定理b a c ac ac B2 2 2 2 ( ) c o s，可化为13 16 2 1 12 3 ac ac( ) ，那么
16、S ac BABC 12 34 3si n.试题解析： 解：（ 1）由正弦定理a A b B c C Rsi n si n si n 得 2 分 a R A b R B c R C 2 2 2s in s in s in， ，将上式代 入已知osc os c osc os si nsi n si nBC ba c BC BA C 2 2得4 分 即 2 0s in c o s s in c o s c o s s inA B C B C B 即0si n c os si n( )A B B C A B C B C A A B A ， ，s in ( ) s in s in c os s in2
17、 0si n c osA B ， ，0 12 B 为三角形的内角，B23. 6 分 （ 2）将b a c B 13 4 3， ， 代入定理 b a c ac B2 2 2 2 c o s得 8 分 答案第 5 页，总 8 页 b a c ac ac B2 2 2 2 ( ) c o s， 9 分 13 16 2 1 12 3 ac ac( ) ，S ac BABC 12 34 3si n. 12 分 考点：本题主要考查正余弦定理 19 (1) an 3n （ 2）见解析 【解析】 试题分析： (1)由 211n n na a a，可知数列 na 为等比数列，由 31a ， 92a 易知首项为
18、3，公比为 3 ，可 得通项公式 an 3n (2)将上题所求代入可知 bn 1( 1)nn，此种类型的数列用裂项法求前 n 项和为 nT 1 1( 1)n由不等式易知 1nT 试题解析： (1)解 由已知得 数列 na 是等比数列 2 分 因为 a1 3， 92a an 3n. 5 分 (2)证明 bn 1( 1)nn 11( 1)nn . 7 分 Tn b1 b2 bn 112 1123 11( 1)nn 1 1( 1)n1. 12分 考点：本题主要考查等比数列的定义，通项公式裂项法求数列的通项公式 20 （ I） 解： 由余弦定理，得 212c o s 222 ac bcaB ， 2 分
19、 0 B ， 3B 6 分 （ II）由正弦定理 AaBb sinsin ， 8 分 得 633 3s ins ins in aab BaA. 12 分 【解析】略 21 解：（ I）当 2n 时， 221 ( 1 ) ( 1 ) 2n n na S S n n n n n ， 3 分 当 1n 时， 1 2a 也适合上式， 5 分 2nan . 6 分 答案第 6 页，总 8 页 （ II）由（ I）知， 11( ) ( )24na nnb n n . 8 分 21 1 1( ) ( ) (1 2 )4 4 4 nnTn =111 ( ) ( 1)441 214n nn = 21 1 ( 1
20、)1 ( ) 3 4 2nn . 12 分 【解析】略 22 解 ：由题意知 7242 )1(1250)( nnnnnf 72402 2 nn . 4 分 （ I）由 182,072402,0)( 2 nnnnf 解得即 7 分 由 *Nn 知，从第三年开始盈利 . 8 分 （ II）年平均纯利润 16)36(240)( nnnnf 10 分 当且仅当 n=6 时等号成立 . 11 分 年平均纯利润 最大值为 16 万元， 即第 6 年，投资商 年平均纯利润 达到最大， 年平均纯利润 最大值 16 万元 . 12 分 【解析】略 23 解：（ I）设椭圆的方程为 22 1 ( 0 )xy abab ，由题意解得 2, 1ab. 椭圆的方程 2 2 14x y. 6 分 （ II）由 22 14y kx mx y 得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k m x m ， 7 分 12 2212 28414441kmxxkmxxk ， 10 分
