1、 2012 年全国中考数学（ 170 套）选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题 1：代数问题 锦元数学工作室 编辑 一、选择题 1. （ 2012 宁夏区 3 分） 运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费 40 元，乙种雪糕共花费 30 元，甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的 1.5 倍，若设甲种雪糕的价格为 x 元，根据题意可列方程为【 】 A 40 30 201.5x xB. 40 30 20x 1.5xC 30 40 20x 1.5xD. 30 40 201.5x x【答案】 B。 【考点】 由实际问题抽象出分式方程。 【分析】 要
2、列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为： 甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多 20 根。 而甲种雪糕数量为 40x， 乙种雪糕数量为 301.5x。（ 数量 =金额 价格 ） 从而得方程： 40 30 20x 1.5x。 故选 B。 2. （ 2012 浙江杭州 3 分） 已知关于 x， y 的方程组 x y=4 ax y=3a +3，其中 3a1，给出下列结论： x=5y= 1 是方程组的解； 当 a= 2 时， x， y 的值互为相反数； 当 a=1 时，方程组的解也是方程 x+y=4 a 的解； 若 x1，则 1y4 其中正确的是 【 】 A B C D 【答案】 C。 【考
3、点】 二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。 【分析 】 解方程组得出 x、 y 的表达式，根据 a 的取值范围确定 x、 y 的取值范围，逐一判断： 解方程组 x y=4 ax y=3a +3，得 x=1 2ay=1 a 。 3a1， 5x3， 0y4。 x=5y= 1 不符合 5x3， 0y4，结论错误； 当 a= 2 时， x=1+2a= 3， y=1 a=3， x， y 的值互为相反数，结论正确； 当 a=1 时， x+y=2+a=3， 4 a=3，方程 x+y=4 a 两边相等，结 论正确； 当 x1 时， 1+2a1，解得 a0， y=1 a1，已知 0y4， 故当 x1 时，
4、1y4，结论正确。， 故选 C。 3. （ 2012 江苏常州 2 分） 已知 a、 b、 c、 d 都是正实数，且 acbd，即 dbc+d a+b。 bd+1 +1ac，即 a+b c+dac。 aca+b c+d 。 又 2x1+x2=7， x1=7 m。 将 x1=7 m 代入方程 2x m x+5 m 5 =0，得 27 m m 7 m + 5 m 5 = 0 。 解得 m=2 或 m=6。 m5 ， m=6。故选 B。 10.（ 2012 内蒙古通辽 3 分） 为安置 100 名中考女生入住，需要同时租用 6 人间和 4 人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有【 】 A 8
5、 种 B 9 种 C 16 种 D 17 种 【答案】 B。 【 考点】 二元一次方程和不等式的应用。 144 【分析】 设需要租住 6 人间客房 x 间，则租用 4 人间客房 y 间，且 x、 y 为非负整数，由题意，得 6x+4y=100，即 x= 50 2y3， x0， y0， 50 2y30，解得 y25。 0y25。 x0 的整数， 50 2y 是 3 的倍数。 50 是偶数， 2y 是偶数， 50 2y 是偶数。 50 以内是 3 的倍数又是偶数的有： 0， 6， 12， 18， 24， 30， 36， 42， 48。 x=0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16
6、。 共有 9 中方案。故选 B。 二、填空题 1. （ 2012 江苏盐城 3 分） 一批志愿者组成了一个 “爱心团队 ”,专门到全国各地巡回演出 ,以募集爱心基金 . 第一个月他们就募集到资金 1 万元 ,随着影响的扩大 ,第 n（ n2） 个月他们募集到的资金都将会比上个月增 加 20%,则当该月所募集到的资金首次突破 10 万元时 ,相应的 n 的值为 . (参考数据 : 51.2 2.5 , 61.2 3.0 , 71.2 3.6 ) 【答案】 13。 【考点】 同底数幂的乘法 【分析】 第一个月募集到资金 1 万元，则由题意第二个月募集到资金（ 1+20%）万元，第三个月募集到资 金
7、（ 1+20%） 2 万元， ，第 n 个月募集到资金（ 1+20%） n-1 万元，由题意得： （ 1+20%） n 1 10，即 1.2 n 1 10. 1.251.267.5 10， 1.251.2710.8 10， n 1=5+7=12，解得， n=13。 2. （ 2012 福建南平 3 分） 设 x）表示大于 x 的最小整数，如 3） =4， 1.2） = 1， 则下列结论中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 0） =0； x） x 的最小值是 0； x） x 的最大值是 0； 存在实数 x，使 x） x=0.5 成立 【答案】 。 【考点】 新定义，实数的运算。 【分析】 根据
8、题意 x）表示大于 x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案： 0） =1，故结论错误； x） x 0，但是取不到 0，故结论错误； x） x1，即最大值为 1，故结论错误； 存在实数 x，使 x） x=0.5 成立，例如 x=0.5 时，故结论正确。 故答案 为 。 3. （ 2012 湖北随州 4 分） 设 2 4 2a 2 a 1 0 b 2 b 1 0 ， ，且 1 ab20，则 522ab +b 3a+1a= . 【答案】 32 。 【考点】 解一元二次方程，求代数式的值。 【分析】 解 2a 2a 1 0 得 2 4 + 4 2 2 2a = = = 1 222 ， 解 42b
9、 2b 1 0 得 2 2 4 + 4 2 2 2b = = = 1 222 。 2b0 ， 2b =1+ 2 。 又 1 ab20， a 1+ 2 。 a= 1 2 。 2b= a 。 55 552 2 2 5a b + b 3 a + 1 a a 3 a + 1 2 a 1 a 3 a + 1 2 a= = = = 2 = 3 2a a a a 。 4. （ 2012 湖南 常德 3 分） 规定用符号 m表示一个实数 m 的整数部分，例如： 32 =0， 3.14=3。按此规定 110 的值为 。 【答案】 4。 【考点】 新定义，估计无理数的大小。 【分析】 9 10 16， 3 1 0
10、 4 4 1 0 + 1 5 。 解不等式组 ，得 0 x 32，解不等式组 ，无解。 不等式 2x2 3x 0 的解集为 0 x 32。 【考点】 有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。 【分析】 （ 1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则 “两数相乘，同号得正 ”化为两个一元一次不等式组求解即可。 （ 2）根据有理数的除法法则 “两数相除，同号得正 ”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。 （ 3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则 “两数相乘，异号得负 ”，化为两个一元一次不等式组求解即可。 4. （ 2012 贵州黔西
11、南 14 分） 问题：已知方程 2x +x 1=0 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍。 解：设所求方程的根为 y，则 y=2x，所以 yx=2把 yx=2代入已知方程，得 2yy+ 1=022 化简，得： 2y +2y 4=0 故所求方程为 2y +2y 4=0 这种利 用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法 ”。请阅 读材料提供的 “换根法 ”求新方程（要求：把所求方程化成一般 形式） （ 1）已知方程 2x +x 2=0 ，求一个一元二次方程， 使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （ 2）已知关于 x 的一 元二次方程 2ax +bx+c
12、=0 a 0有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。 来源 :学科网 ZXXK 【答案】 解：（ 1） y2 y 2=0。 （ 2） 设所求方程的根为 y，则 1yx（ x0），于是 1xy（ y0）。 把 1xy代入方程 2ax +bx+c=0 ，得 211a +b +c=0yy， 去分母，得 a+by+cy2=0。 若 c=0，有 2ax +bx=0 ，可得有一个解为 x=0，与已知不符，不符合题意。 c0。 所求方程为 cy2+by+a=0（ c0）。 【考点】 一元二次方程的应用。 【分析】 （ 1）设所求方程的根为 y，则 y= x 所以 x= y。
13、把 x= y 代入已知方程，得 y2 y 2=0。 （ 2）根据所给的材料，设所求方程的根为 y，再表示出 x，代入原方程，整理即得出所求的方程。 5. （ 2012 江苏南京 9 分） “？ ”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个 “？ ” 结果为何正确呢？ （ 1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过 程： 变化一下会怎样 （ 2）如图，矩形 ABCD在矩形 ABCD 的内部， AB AB， AD AD，且 AD： AB=2： 1，设 AB 与 AB、 BC 与 BC、CD
14、 与 CD、 DA 与 DA之间的距离分别为 a、 b、 c、 d，要使矩形 ABCD 矩形 ABCD， a、 b、 c、 d 应满足什么条件？请说明理由 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2： 1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m的空地，其他三侧内墙各保留 1m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解： 设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm， 根据题意，得 x2x=288 解这个方程，得 x1=-12（不合题意，舍去）， x2=12 所以温室 的长为 2 12+3+1=28（ m），宽为 12+1+1=14（ m） 答：当
15、温室的长为 28m，宽为 14m 时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2 ？ CDDCBBAA cbda 【答案】 解：（ 1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2： 1 的理由。 在 “设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm ”前补充以下过程： 设温室的宽为 ym，则长为 2ym。 则矩形蔬菜种植 区域的宽为（ y 1 1） m，长为（ 2y 3 1） m。 2 y 3 1 2 y 4 2y 1 1 y 2 ， 矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2： 1。 （ 2） a+c b+d =2。理由如下： 要使矩形 ABCD 矩形 ABCD，就要 AD ADAB AB，即 AD
16、a c 2AB b d 1 ， 即 2AB a c 2AB b d 1 ，即 a+c b+d =2。 【考点】 一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。 【分析】 （ 1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2： 1 的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。 （ 2）由使矩形 ABCD 矩形 ABCD，利用相似多边形的性质，可得 AD ADAB AB，然后利用比例的性质。 6. （ 2012 江苏盐城 12 分） 知识迁移： 当 0a 且 0x 时，因为 2()axx0 ,所以 2 axax0 ,从而 ax x 2a (当 xa
17、时取等号 ).记函数 ( 0 , 0 )ay x a xx ,由上述结论可知：当 xa 时 ,该函数有最小值为 2a . 直接应用： 已知函数 1 ( 0)y x x与函数2 1 ( 0)yxx, 则当 x _时 , 12yy 取得最小值 为 _. 变形应用： 已知函数 1 1( 1)y x x 与函数 22 ( 1) 4 ( 1)y x x ,求 21yy 的最小值 ,并指出取得该 最小值时相应的 x 的值 . 实际应用： 已知 某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用 ,共 360 元；二是燃油费 ,每 千米为 1.6 元；三是折旧费 ,它与路程的平方成正比 ,比例系数为 0.001 .设该汽车一次运输的路程为 x 千米 , 求当 x 为多少时 ,该汽车 平均每千米的运输成本 最低？最低是多少元？
