1、 1 中考数学压轴题全面突破之四三角形的存在性 题型特点 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算 解题思路 由 判定定理 确定三角形所满足的特殊关系； 分类讨论，画图； 建等式，对结果验证取舍 对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： 从角度入手，通过角的对应关系 尝试画出一种情形 解决第一种情形 能根据几何特征表达线段长的，借助 对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数
2、表达式求解 分类讨论，类比解决其他情形 分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题 难点拆解 直角三角形关键是 用好直角 ，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1； 等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式； 全等三角形或相似三角形关键是 研究目标三角形的边角关系 ，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式 分类不仅要考虑图形存在性的分类 ，也要考虑点运动的分类 2 1. （ 2012 云南改编） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 错误 !未找到引用源。的图象 经过 点 (2， 4)，且与 直线 错误 !未找到引用源。 交于
3、A， B两点 （ 1） 求抛物线的 函数 解析式 （ 2） 过点 A 作 AC AB交 x 轴于点 C，求点 C的坐标 （ 3） 除点 C外，在坐标轴上是否存在点 M，使得 MAB 是直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标 ； 若不存在，请说明理由 yxOCBAyxOCBAyxOCBA3 2. （ 2009 广西钦州） 如图，已知抛物线 错误 !未找到引用源。 与坐标轴交于 A， B，C三点 ， A点的坐标为 ( 1， 0)，过点 C的直线 错误 !未找到引用源。 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P作 PH OB 于点 H若 PB=5t，且 00)与 x 轴相交
4、于点 B， C，与 y 轴相交于点 E，且点 B在点 C 的左侧 （ 1） 若抛物线过点 M(2， 2)，求实数 m的值 （ 2） 在 （ 1） 的条件下，求 BCE的面积 （ 3） 在 （ 1） 的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 BH+EH最小，并求出点 H的坐标 （ 4）在第四象限内，抛物线上是否存在点 F，使得以点 B， C， F为顶点的三角形与 BCE相似 ？ 若存在，求 出 m的值；若不存在，请说明理由 B CEO xyB CEO xy8 7. （ 2012 福建福州 ） 如图 1，已知抛物线 错误 !未找到引用源。 （ a 0） 经过 A(3，0)， B(4， 4)两点
5、（ 1）求抛物线的解析式 （ 2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m 的值及点 D的坐标 （ 3）如图 2，若点 N在抛物线上，且 NBO= ABO，则在（ 2）的条件下，求出所有满足 POD NOB 的点 P的坐标（点 P， O， D 分别与点 N， O， B 对应） 图 1ABDO xyN图 2yxODBA9 8. （ 2012 江苏苏州 ） 如图，已知抛物线 错误 !未找到引用源。 （ b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A， B（点 A位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C （ 1） 点 B的坐标为 _，点
6、 C的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） （ 2） 请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由 （ 3） 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 PA BCO xyPA BCO xyPA BCO xy10 9. （ 2012 浙江丽水 ） 在 ABC 中， ABC=45 ， tan ACB=错误 !未找到引用源。 如图，把 ABC 的一边 BC 放置在 x 轴上，有 OB=14， OC=错误 !未找到引用源。 ，AC与 y 轴交于点 E. （ 1）求 AC 所在直线的函数解析式 （ 2）过点 O 作 OG AC，垂足为 G，求 OEG 的面积 （ 3）已知点 F(10， 0)，在 ABC 的边上取两点 P， Q，是否存在以 O， P， Q为顶点的三角形与 OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 GyxOEF CBAGyxOEF CBAGyxOEF CBAGyxOEF CBA
