1、 相似三角形 压轴 经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB一动点（点 M 与点 AB、 不重合），过点 M 作 MN BC ，交 AC 于点 N ，在 AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h （ 1）请你用含 x 的代数式表示 h （ 2）将 AMN 沿 MN 折叠，使 AMN 落在四边形 BCNM 所在平面，设 点 A 落在平面的点为 1A ，1AMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值为多少？ 【答案】 解：（ 1） MN B
2、C A M N A B C 68hx 34xh （ 2） 1A M N A M N 1AMN 的边 MN 上的高为 h ， 当点 1A 落在 四边形 BCNM 内或 BC 边上时， 1AMNyS = 21 1 3 32 2 4 8M N h x x x （ 0 4x ） 当 1A 落在四边形 BCNM 外时，如下图 (4 8)x ， 设 1AEF 的边 EF 上的高为 1h ， 则1 32 6 62h h x 11E F M N A E F A M N 11A M N A B C A E F A B C 1216A EFS hS ABC1 6 8 2 42ABCS 223 632 2 4 1
3、2 2 462EFxS x x 1 A112 2 23 3 91 2 2 4 1 2 2 48 2 8A M N A E Fy S S x x x x x 所以 29 1 2 2 4 ( 4 8 )8y x x x 综上所述：当 04x 时， 238yx ，取 4x ， 6y 最 大 当 48x时， 29 1 2 2 48y x x ， 取 163x ， 8y 最 大 86 当 163x 时， y 最大， 8y 最 大 2 如图，抛物线经过 ( 4 0 ) (1 0 ) (0 2 )A B C ， ， ， ， ，三点 （ 1）求出抛物线的解析式； （ 2） P 是抛物线上一动点，过 P 作 P
4、M x 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A， P， M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A1 【答案】 解：（ 1） 该抛物线过点 (0 2)C ， ， 可设该抛物线的解析式为 2 2y ax bx 将 (40)A， ， (10)B ， 代入， 得 16 4 2 020aba b . ，解得1252ab. ，此抛物线的解析式为 215 222y x x （ 2）存在 如图，设 P 点的横坐标为 m ， 则 P 点的纵坐标为 215222mm ， 当 14m时， 4AM m ， 215 222P
5、 M m m 又 90C O A P M A ， 当 21AM AOPM OC时， APM ACO ， 即 2154 2 222m m m 解得 1224mm， （舍去）， (21)P ， 当 12AM OCPM OA时， APM CAO ，即 2152 ( 4 ) 222m m m 解得 1 4m ， 2 5m （均不合题意，舍去） 当 14m时， (21)P ， 类似地可求出当 4m 时， (5 2)P ， 当 1m 时， ( 3 14)P ， 综上所述，符合条件的点 P 为 (21)， 或 (5 2)， 或 ( 3 14)， 3 如图，已知直线1 28: 33l y x与直线 2 : 2
6、 16l y x 相交于点 C l l12， 、 分别交 x 轴于 AB、 两点矩形 DEFG 的顶点 DE、 分别在直线 12ll、 上，顶点 FG、 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合 （ 1）求 ABC 的面积； （ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长； （ 3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(0 12)tt 秒，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围 【答案】 （ 1）解：由 28033x， 得 4xA 点坐标为 40， 由 2 1
7、6 0x ， 得 8xB 点坐标为 80， 8 4 12AB 由 28332 16yxyx ，解得 56xy ， C 点的坐标为 56， 11 1 2 6 3 622A B C CS A B y （ 2）解：点 D 在 1l 上且 288 8 833D B Dx x y ， D 点坐标为 88， 又点 E 在 2l 上且 8 2 1 6 8 4E D E Ey y x x ， E 点坐标为 48， 8 4 4 8O E E F ， （ 3）解法一： 当 03t 时，如图 1，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分为五边形 CHFGR （ 0t时，为四边形 CHFG ） 过 C 作 CM AB 于
8、 M ，则 R t R tR G B C M B A D B E O C F x yy 1l y 2l （ G） BG RGBM CM ， 即 36t RG ， 2RG t R t R tA F H A M C ， 1 1 23 6 2 8 82 2 3A B C B R G A F HS S S S t t t t 即 24 1 6 4 43 3 3Stt 当 83 t 时，如图 2，为梯形面积， G（ 8 t,0） GR= 32838)8(32 tt , 3803832838)4(32421 ttts 当 128 t 时，如图 3,为三角形面积， 4883)12)(328(21 2 ttt
9、ts 4 如图，矩形 ABCD 中， 3AD 厘米， AB a 厘米（ 3a ）动点 MN， 同时从 B 点出发，分别沿BA ， BC 运动，速度是 1厘米秒 过 M 作直线垂直于 AB ，分别交 AN ， CD 于 PQ， 当点N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动设运动时间为 t 秒 （ 1）若 4a 厘米， 1t 秒，则 PM _厘米； （ 2）若 5a 厘米，求时间 t ，使 PNB PAD ，并求出它们的相似比； （ 3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围； （ 4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 P
10、MBN ，梯形 PQDA ，梯形 PQCN 的面积都相等？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 【答案】解： （ 1） 34PM ， （ 2） 2t ，使 PNB PAD ，相似比为 3:2 A D B E O R F x yy 1ly 2l M （图 3） G C A D B E O C F x yy 1ly 2l G （图 1） R M A D B E O C F x yy 1ly 2l G （图 2） R M D Q C P N B M A D Q C P N B M A （ 3） P M A B C B A B A M P A B C ， ， AM P ABC ， PM AMBN
11、 AB即 ()P M a t t a tPMt a a， ， ( 1)3 taQM a 当梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，即 ( ) ( )22Q P A D D Q M P B N B M ()3 3 ( 1 ) ( )22t a t ta a t t taa 化简得 66at a ， 3t ， 6 36 aa ，则 6 3 6aa ， ， （ 4） 36a 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等 梯形 PQCN 的面积与梯形 PMBN 的面积相等即可，则 CN PM ( ) 3t a t ta ，把 66at a 代入，解之得 23a ，所以 23a 所以，存在 a
12、，当 23a 时梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积、梯形 PQCN 的面积相等 5如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、 Q 同时从 A、 B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时 间为 t（ s），解答下列问题： （ 1）当 t 2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由； （ 2）设 BPQ 的面积为 S（ cm2），求 S 与 t 的函数关系式； （ 3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， A
13、PR PRQ？ 【答案】 解： (1) BPQ是等边三角形 ,当 t=2时 ,AP=2 1=2,BQ=2 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又因为 B=600,所以 BPQ 是等边三角形 . (2)过 Q 作 QE AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin600= 3 t,由 AP=t,得 PB=6-t, 所以 S BPQ=21 BP QE=21 (6-t) 3 t= 23 t2+3 3 t； (3)因为 QR BA,所以 QRC= A=600， RQC= B=600， 又因为 C=600, 所以 QRC 是等边三角形 ,所以 QR=RC=QC=6-
14、2t.因为 BE=BQ cos600=21 2t=t, 所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形 , 所以 PR=EQ= 3 t,又因为 PEQ=900,所以 APR= PRQ=900.因为 APR PRQ, 所以 QPR= A=600,所以 tan600=PRQR ,即 3326 tt,所以 t=56 , 所以当 t=56 时 , APR PRQ 6在直角梯形 OABC 中， CB OA， COA 90， CB 3， OA 6， BA 3 5分别以 OA、 OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面
15、直角坐标系 （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）已知 D、 E 分别为线段 OC、 OB 上的点， OD 5， OE 2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE 的解析式； （ 3）点 M 是（ 2）中 直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以 O、 D、 M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 A B D E （第 26 题 图 1） F C O M N x y 图 7-2 A D O B C 2 1 M N 图 7-1 A D B M N 1 2 图 7-3 A D O B C 2 1 M N O .7在图
16、15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交 于点 O， 1 = 2 = 45 （ 1）如 图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD 的 数量关系和位置关系； （ 2）将 图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转 得到 图 15-2，其中 AO = OB 求证： AC = BD， AC BD； （ 3） 将 图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得 到 图 15-3，求ACBD的值 【答案】 解：（ 1） AO = BD， AO BD； （ 2）证明： 如图 4， 过点 B 作 BE CA 交 DO 于 E， ACO = BEO 又 AO =
17、OB， AOC = BOE， AOC BOE AC = BE 又 1 = 45， ACO = BEO = 135 DEB = 45 2 = 45， BE = BD， EBD = 90 AC = BD 延长 AC交 DB 的延长线于 F， 如图 4 BE AC， AFD = 90 AC BD （ 3）如图 5，过点 B 作 BE CA 交 DO 于 E， BEO = ACO 又 BOE = AOC ， BOE AOC AOBOACBE 又 OB = kAO， 由（ 2）的方法易得 BE = BD kACBD 10如图，已知过 A（ 2， 4）分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 M、 N，
18、若点 P 从 O 点出发，沿 OM 作匀速运动， 1 分钟可到达 M 点，点 Q 从 M 点出发，沿 MA 作匀速运动， 1分钟可到达 A点。 （ 1）经过多少时间，线段 PQ 的长度为 2？ （ 2）写出线段 PQ 长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和 t的取值范围； （ 3）在 P、 Q 运动过程中，是否可能出现 PQ MN？若有可能，求出此时间 t；若不可能，请说明理由； （ 4）是否存在时间 t，使 P、 Q、 M 构成的三角形与 MON 相似？若存在，求出此时间 t；若不可能，请说明理由； Y N A Q O P M X 图 4 A D O B C 2 1 M N E F A O B C 1 D 2 图 5 M N E
