1、中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题 【 知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式： 1、一般式： 2y ax bx c (a0)； 2、顶点式： y =a(x h) 2- k； 3、交点式： y=a(x x 1)(x x 2 ) ，这里 x 1、 x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例 1】 (浙江杭州 ) 在直角坐标系 xOy 中，设点 A（ 0， t），点 Q（
2、t， b）。平移二 次函数 2txy 的图象，得到的抛物线 F满足两个条件： 顶点为 Q ； 与 x 轴相交于 B ， C 两点（ OB 0 这二种情况。 【例 3】（浙江丽水） 如图，在平面直 角坐标系中，已知点 A 坐标为（ 2， 4），直线 2x与 x 轴相交于点 B ，连结 OA，抛物线 2xy 从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 2x 交于点 P ，顶点 M 到 A 点时停止移动 （ 1）求线段 OA所在直线的函数解析式； （ 2）设抛物线顶点 M 的横坐标为 m , 用 m 的代数式表示点 P 的坐标 ； 当 m 为何值时，线段 PB 最短 ； （ 3）当 线段 PB 最短时，相
3、应的 抛物线上是否存在点 Q ，使 QMA 的面积与 PMA 的面积相等，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【 思路点拨 】 （ 2）构建关于 PB 的二次函数，求此函数的最小值； （ 3）分当点 Q 落在直线 OA的下方时、当点 Q 落在直线 OA的上方时讨论。 【例 4 】 （ 广东 省 深圳 市 ） 如 图 1 ，在 平面 直 角坐 标系 中， 二次 函 数y B O A P M x 2x 中考网 http:/ 京翰教育 http:/ )0(2 acbxaxy 的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、 B 两点 ， A 点在 原点 的左侧，
4、B 点的坐标为（ 3， 0） ， OB OC ， tan ACO 31 （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2）经 过 C、 D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在 该 抛物线上是否存在这样的点 F， 使以 点 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形 ？ 若存在，请求出点 F 的坐 标；若不存在，请说明理由 （ 3）若平行 于 x 轴的直线与 该 抛物线交于 M、 N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切 ，求 该圆半径的长度 （ 4）如 图 2，若点 G（ 2， y）是该抛物线上一点， 点 P 是直线 AG 下方的 抛物 线上 一动点 ， 当点 P 运动到什么位置时， AP
5、G 的面积最大 ？求出此时 P 点的坐标和 APG的最大 面积 . 【 思路点拨 】 （ 2） 可先 以 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形时，求 F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（ 3）讨论当直线 MN 在 x 轴上方时、当直线 MN 在 x轴下方时二种情况。 （ 4）构建 S 关于 x 的二次函数，求它的最大值。 【例 5】 （山东济南） 已知：抛物线 2y ax bx c (a0)，顶点 C (1， 3 )，与 x 轴交图 9yxOEDCBAGA BCDO xy图 10中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 于 A、 B 两点， ( 10)A， （ 1）求这条
6、抛物线的解析式 （ 2） 如图，以 AB为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接A、 D、 B、 E，点 P为线段 AB 上一个动点 (P与 A、 B 两点不重合 )，过点 P作 PM AE 于 M， PN DB 于 N，请判断 PM PNBE AD是否为定值 ? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 （ 3）在 (2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FG EP ， FG 分别与 边AE、 BE 相交于点 F、 G(F 与 A、 E 不重合， G 与 E、 B 不重合 )，请判断 PA EFPB EG是否成 立若成立，请给出证明 ；若不成立，
7、请说明理由 【 思路点拨 】 （ 2）证 APM ABE， PM APBE AB同理 : PN PBAD AB（ 3） 证 PH=BH 且 APM PBH 再证 MEP EGF 可得。 【 学力训练】 1、 （广东梅州） 如图所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB CD， AD DB， AD=DC=CB， AB=4以AB 所在直线为 x 轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 y轴建立平面直角坐标系 （ 1）求 DAB 的度数及 A、 D、 C 三点的坐标； （ 2）求过 A、 D、 C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L （ 3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角
8、形的点 P 有几个 ?（不必求点 PC O x A D P M E B N y 中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 的坐标，只需说明理由） 2、（ 广东肇庆） 已知点 A（ a， 1y ）、 B（ 2a， y 2 ）、 C（ 3a， y3 ）都在抛物线 xxy 125 2 上 . （ 1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （ 2）当 a=1 时，求 ABC 的面积； （ 3）是否存在含有 1y 、 y2 、 y 3 ，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 . 3、 （青海西宁） 如图，已知半径为 1 的 1O 与 x 轴交于 AB， 两点， OM
9、 为 1O 的切线，切点为 M ，圆心 1O 的坐标为 (20)， ，二次函数 2y x bx c 的图象经过 AB， 两点 （ 1）求二次函数的解析式； （ 2） 求切线 OM 的函数解析式； （ 3）线段 OM 上是否存在一点 P ，使得以 P O A， ，为顶点的三角形与 1OOM 相似若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 4、 （辽宁 12 市） 如图，在平面直角坐标系中，直线 33yx 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 2 23 ( 0 )3y a x x c a 经过 A B C， ， 三点 （ 1）求过 A B C， ， 三点抛物
10、线的解析式并求出顶点 F 的坐标； （ 2）在抛物线上是否存在点 P ，使 ABP 为直角三角形，若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）试探究在直线 AC 上是否存在一点 M ，使得 MBF的周长最小，若存在，求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 5、 （四川资阳） 如图，已知点 A 的坐标是（ 1， 0），点B 的坐标是（ 9， 0），以 AB 为直径作 O，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、 BC，过 A、 B、 C 三点作抛物线 （ 1） 求 抛物线 的解析式； （ 2） 点 E 是 AC 延长线上一点， BCE 的平分线 CD 交 O于点 D，连结 B
11、D，求直线 BD 的解析式 ； （ 3） 在 （ 2） 的条件下， 抛物线上是否存在点 P，使得 PDB CBD?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 y x O A B M O1 A O x y B F C 中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 6、 （辽宁沈阳） 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的 负半轴上，边 OC 在 y 轴的正半轴 上，且 1AB ， 3OB ，矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转 60 后得到矩形 EFOD 点 A 的对应点为点 E ，点 B 的对应点为点 F ，点 C 的对应点为点 D ，抛物线2
12、y ax bx c 过点 A E D， ， （ 1）判断点 E 是否在 y 轴上，并说明理由； （ 2）求抛物线的函数表达式； （ 3 ）在 x 轴的上方是否存在点 P ，点 Q ，使以点O B P Q， ， ， 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍，且点 P 在抛物线上，若存在，请求出点 P ，点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 7、（苏州市） 如图，抛物线 y a(x 1)(x 5)与 x 轴的交点为 M、 N直线 y kx b 与 x 轴交于 P( 2， 0)，与 y 轴交于 C若 A、 B 两点在直线 y kx b 上，且 AO=BO=2 ，AO BO D 为线段
13、 MN 的中点， OH 为 Rt OPC 斜边上的高 (1)OH 的长度等于 _； k _， b _； (2)是否存在实数 a，使得抛物线 y a(x 1)(x 5)上有一点 E，满足以 D、 N、 E 为顶 点的三角形与 AOB 相似 ?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的 E 点 (简要说明理由 )；并进一步探索对符合条件的每一个 E 点，直线 NE 与直线 AB 的 交点 G 是否总满足 PB PG 210 ，写出探索过程 A H C B y -2 M O D N x P y x O D E C F A B 中考网 htt
14、p:/ 京翰教育 http:/ 抛物线与几何问题的参考答案 【典型例题】 【例 1】 (浙江杭州 )（ 1） 平移 2txy 的图象得到的抛物线 F 的顶点为 Q , 抛物线 F 对应的解析式为 : btxty 2)( . 抛物线与 x 轴有两个交点， 0bt . 令 0y , 得 tOBtb， tOCtb, tOCOB (|tb)( ttb)| 2|t 22| OAttb , 即 22 tt tb , 所以当 32tb 时 , 存在抛物线 F 使得 | 2 OCOBOA .- 2 分 (2) BCAQ/ , bt , 得 F : ttxty 2)( , 解得 1,1 21 txtx . 在
15、Rt AOB 中 , 1) 当 0t 时 ,由 | OCOB , 得 )0,1( tB , 当 01t 时 , 由 ABOtan23 | |OBOA 1tt, 解得 3t , 此时 , 二次函数解析式为 24183 2 xxy ; 当 01t 时 , 由 ABOtan 23 | |OBOA 1tt, 解得 t 53 , 此时，二次函数解析式为 y 53 2x +2518 x +12548 . 2) 当 0t 时 , 由 | OCOB , 将 t 代 t , 可得 t 53 , 3t , （也可由 x 代 x ， y 代 y 得到） 所以二次函数解析式为 y 53 2x +2518 x 1254
16、8 或 24183 2 xxy . 中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 【例 2】 (江苏常州 ) （ 1） 4)2(4 22 xxxy A(-2,-4) （ 2）四边形 ABP1O 为菱形时， P1(-2,4) 四边形 ABOP2为等腰梯形时， P1( 5452， ) 四边形 ABP3O 为直角梯形时， P1( 5854， ) 四边形 ABOP4为直角梯形时， P1( 51256 ， ) （ 3） 由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线 l 的函数关系式是y=-2x 当点 P 在第二象限时， x0, 过点 A、 P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A
17、、 P 则四边形 POA A 的面积 44)2(21)2(2 24 xxxxxSSS OPPAAP梯形PAAPO AA B 的面积 42421 BAAS )0(84 xxSSS BAAAAPO 286264 S ， 286264SS 即2868426484xx 21242223Sx x 的取值范围是 2 1242 223 x 【例 3】 （浙江丽水） （ 1）设 OA所在直线的函数解析式为 kxy ， A （ 2， 4）， 42k , 2k , OA所在直线的函数解析式为 2yx （ 2） 顶点 M 的横坐标为 m ，且在线段 OA上移动， 2ym （ 0 m 2） . 顶点 M 的坐标为 (
18、m , 2m ). 抛物线函数解析式为 2( ) 2y x m m . 当 2x 时， 2(2 ) 2y m m 2 24mm （ 0 m 2） . y B O A P M x 2x （第 24 题） 中考网 http:/ 京翰教育 http:/ 点 P 的坐标是（ 2， 2 24mm ） . PB = 2 24mm = 2( 1) 3m ， 又 0 m 2， 当 1m 时， PB 最短 （ 3）当 线段 PB 最短时，此时 抛物线的解析式为 212xy . 假设在抛物线上存在点 Q ，使 QMA PMASS . 设点 Q 的坐标为（ x ， 2 23xx ） . 当点 Q 落在直线 OA的下
19、方时，过 P 作直线 PC /AO ，交 y 轴于点 C ， 3PB ， 4AB ， 1AP ， 1OC ， C 点的坐标是（ 0， 1 ） . 点 P 的坐标是（ 2， 3）， 直线 PC 的 函数解析式为 12xy . QMA PMASS ，点 Q 落在直线 12xy 上 . 2 23xx =21x . 解得 122, 2xx，即点 Q （ 2， 3） . 点 Q 与点 P 重合 . 此时抛物线上不存在点 Q ，使 QMA 与 APM 的面积相等 . 当点 Q 落在直线 OA的上方时， 作点 P 关于点 A 的对称称点 D ，过 D 作直线 DE /AO ，交 y 轴于点 E ， 1AP ， 1EODA ， E 、 D 的坐标分别是（ 0， 1），（ 2， 5）， 直线 DE 函数解析式为 12xy . QMA PMASS ，点 Q 落在直线 12xy 上 . 2 23xx =21x . D y O A B P M x 2x C E
