1、 第 1 页 共 11 页 . 考点 20 圆锥曲线的综合问题 1.（ 2010上海高考文科 3） 在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0) ， 1 (2,1)e 、 2 (2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线 上的点 P ，若21 ebeaOP （ a 、 bR ），则 a 、 b 满足的一个等式是 【 命题立意 】 本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题 【 思路点拨 】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及信点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双曲线方程。由向量相等，建立 P 点坐标 x,y 与 a,b 的关系，将 P 点坐标代入双曲
2、线方程就能找到 a、 b 满足的 等式 【 规范解答 】 可设双曲线方程为 )0,0(12222 nmnymx，因为 1 (2,1)e 、 2 (2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量，所以 21mn ， 又由已知可得双曲线的半焦距 c= 5 ，所以 522 nm 由可得 12nm，所以双曲线方程为 14 22 yx，设 P（ x， y），则 )1,2()1,2(),( bayx ， 所以 bay bax 22代入双曲线方程 ,得 41ab . 【 答案 】 41ab . 2.（ 2010上海高考理科 3） 如图所示，直线 x=2 与双曲线 ： 14 22 yx 的渐近线交于 1E , 2E
3、 两点， 记 1 1 2 2,OE e OE e，任取双曲线 上的点 P， 若 12, ( )O P ae be a b R 、，则 a、 b 满足的 一个等式是 【 命题立意 】 本题考查双曲线性质与向量的有关知识 【 思路点拨 】先求出双曲线的渐 近线方程，再确定 1E , 2E 的坐标，由向量相等，建立 P 点坐标 x,y与 a,b的关系，将 P 点坐标代入双曲线方程就能找到 a、 b 满足的等式 第 2 页 共 11 页 . 【 规范解答 】 易得 )1,2(),1,2( 21 EE ， 所以 )1,2(),1,2( 2211 OEeOEe ， 设 ),( yxP ,则 ),( yxO
4、P ，所以 )1,2()1,2(),( bayx ， 即 bay bax 22，代入双曲线方程 ,得 41ab . 【 答案 】 41ab . 【 方法技巧 】求双曲线221xyab渐近线时，可令220xyab即可解出渐近线方程 3.（ 2010江西高考文科） 已知抛物线 1C ： 22x by b经过椭圆 2C ： 22 1( 0 )xy abab 的两个焦点 . (1) 求椭圆 2C 的离心率； (2) 设 (3, )Qb，又 ,MN为 1C 与 2C 不在 y 轴上的两个交点，若 QMN 的重心在抛物线 1C 上，求 1C 和 2C 的方程 . 【 命题立意 】本小题主要考 查直线、椭圆
5、、抛物线等基础知识，考查三角形的重心性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想。 【 思路点拨 】 （ 1）将焦点坐标直接代入即可得；（ 2）利用对称特点先求两个交点 M、 N 的坐标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可 . 【 规范解答】 （ 1）因为抛物线 1C 经过椭圆 2C 的两个焦点 12( , 0), ( , 0)F c F c ， 所以 220c b b ，即 22cb ，由 2 2 2 22a b c c 得椭圆 2C 的离心率22e. （ 2）由（ 1）可知 222ab ，椭圆 2C 的方程为：2212xybb联立抛物线 1C 的方程 2
6、2x by b得： 2220y by b ， NxQMOy第 3 页 共 11 页 . 解得： 2by 或 yb （舍去），所以 62xb ， 即 66( , ) , ( , )2 2 2 2bbM b N b ，所以 QMN 的重心坐标为 (1,0) . 因为重心在 1C 上，所以 2210bb ，得 1b .所以 2 2a . 所以抛物线 1C 的方程为： 2 1xy，椭圆 2C 的方程为：2 2 12x y. 4.（ 2010江西高考理科） 设椭圆 221 : 1 ( 0 )xyC a bab ，抛物线 222 :C x by b （ 1）若 2C 经过 1C 的两个焦点，求 1C 的离
7、心率； （ 2）设 5(0, ), (3 3, ) 4A b Q b，又 M、 N 为 1C 与 2C不在 y 轴上的两个交 点，若 AMN 的垂心为3(0, )4Bb，且 QMN 的重心在 2C 上，求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程 【 命题立意 】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想。 【 思路点拨 】 （ 1）将焦点坐标直接代入即可得；（ 2）利用对称特点先求两个交点 M、 N 的坐 标，然后将求出的重心坐标代入方程求出字母系数即可 . 【 规范解答 】 （ 1）因为抛物线 2C 经过椭圆 1C 的两个
8、焦点 1( ,0)Fc ， 2( ,0)Fc ， 可得 22cb ，由 2 2 2 22a b c c ，有 22 12ca ， 所以椭圆 1C 的离心率 22e （ 2）由题设可知 M， N 关于 y 轴对称，设 1 1 1 1 1( , ) , ( , ) , ( 0 )M x y N x y x， 则由 AMN 的垂心为 B，有 0BM AN， 所以 21 1 13( ) ( ) 04x y b y b 第 4 页 共 11 页 . 由于点 11( , )Nx y 在 2C 上，故有 2211x by b 由得 ,41 by 或 by1 （舍去），所以 ,251 bx 故 ),4,25(
9、),4,25( bbNbbM 所以 QMN 的重心为 )43b，（ ，因重心在 2C 上得： ,43 22 bb 所以 ),21,5(),21,5(,2 NMb 又因为 NM, 在 1C 上，所以 ,14)21()5( 222 a 得 .3162 a 所以椭圆 1C 的方程为：,1431622 yx抛物线 2C 的方程为： .422 yx 5.（ 2010四川 高考理科 20） 已知定点 1 0 2 0A( , ),F( , ) ，定直线 12l:x ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍 .设点 P 的轨迹为 E ，过点 F 的直线交 E 于 BC、 两
10、点，直线AB AC、 分别交 l 于点 MN、 （ ）求 E 的方程； （ ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，并说明理由 . 【命题立意】 本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线相交交点问题、圆的性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力 . 【思路点拨】 （ ）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题 . （ ）结合图形，要判断线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，一从长度判断：点 F 到 MN 的中点的距离是否是线段 MN 长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若 F 在以 MN 为直径的圆上，则MFN 为直角， 即 MF NF ,因平
11、面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断0MF NF是否成立 . 【规范解答】 （ I）设 ( , )( 0)P x y y ，则由题意知22 1( 2 ) ( 0 ) 2 2x y x ， 整理可得22 1( 0)3yxy . E 的方程的为22 1( 0)3yxy . 第 5 页 共 11 页 . （ II）当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 ( 2)( 0)y k x k ， 由22 1,3( 2).yxy k x 消去 y 得 2 2 2( 3 ) 4 ( 4 3 ) 0k x k x k . 由题意知， 230k且 0 . 设 11( , )Bx y
12、 ， 22( , )Cx y 则212 24 3kxx k ，212 2433kxx k . 221 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4y y k x x k x x x x 2 2 22 2 2 24 3 8 9( 4 )3 3 3k k kk k k k ， 121xx， ，直线 AB 的方程为 11 ( 1)1yyxx, 因此 M 点的坐标为 1131( , )2 2( 1)yx , 1133( , )2 2( 1)yFM x ,同 理可得 2233( , )2 2 ( 1)yFN x , 1212933( ) ( )2 2 4 ( 1 ) ( 1 )yyF
13、 M F N xx 222222819 9 93 04 3 44 4 44 ( 1 )33kkkkkk . FM FN ,即以线段 MN 为直径的圆过点 F . 当直线 BC 与 x 轴垂直时，其方程为 2x ，则 (2,3), (2, 3)BC , AB 的方程为 1yx，因此 M 点的坐标为 13( , )22 ， 33( , )22FM .同理可得 33( , )22FN . 3 3 3 3( ) ( ) 02 2 2 2F M F N （ ）. FM FN ,即以线段 MN 为直径的圆过点 F . 综上，以线段 MN 为直径的圆过点 F . 【方法技巧】 利用方程组求解直线和圆锥曲线的
14、交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量积解决 .注重数形结合的思想，很多几何性质，从图形可直观体现出来 . 第 6 页 共 11 页 . 6.（ 2010上海高考文科 23） 已知椭圆 的方程为 22 1( 0 )xy abab ， (0, )Ab、 (0, )Bb 和 ( ,0)Qa为 的三个顶点 . （ 1）若点 M 满足 1 ()2AM AQ AB，求点 M 的坐标 ； （ 2）设直线 11:l y k x p交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 22:l y k x 于点 E .若 212 2bkk a ，证明：E 为 CD 的中点； （ 3）设点 P 在椭圆 内且不在 x
15、 轴上，如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ，使得 l 与椭圆 的两个交点 1P 、2P 满足 PQPPPP 21 ？令 10a ， 5b ，点 P 的坐标是（ -8， -1），若椭圆 上的点 1P 、 2P 满足PQPPPP 21 ，求点 1P 、 2P 的坐标 . 【 命题立意 】本题是个综合性较强的题目，它涉及到椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向量的应用等有关知识 【 思路点拨】 （ 1）根据向量的运算将各点坐标化，即可求出 M的坐标； （ 2）设出 C， D 点的坐标，代入椭圆方程作差，即可找到 CD 中点坐标与直线 CD 斜率的关系，然后结合已知条件证明；
16、 （ 3）先将向量问题转化为求作过 PQ 中点的弦且被该点平分的问题；根据椭圆中平行弦中点的轨迹是一条线段采用极限思想找到这些弦的斜率，即可找到过 PQ 中点 F 的直线 【 规范解答 】 （ 1） ),( baAQ ， )2,0( bAB ， )23,2()(21 baABAQ 设 ),( yxM ，则 ),( byxAM ，由 1 ()2AM AQ AB 得 232bbyax，解得 22byax，所以点 M 的坐标为 )2,2( baM （ 2）设 ),( 11 yxC ， ),( 22 yxD ， 则 1221221 byax， 1222222 byax，两式相减整理得 21212221
17、21 yy xxabxx yy ， 第 7 页 共 11 页 . 所以 2121221 yy xxabk ，又因为212 2bkk a 所以 21212 xx yyk ， 设 CD 的中点为 )2,2( 2121 yyxxN ，则点 N 在直线 1l 上， 又点 N 坐标满足 2l 方程，所以点 N 在直线 2l 上，即 N 为直线 1l 与 2l 的交点，由题设 1l 与 2l 交于点 E,所以点 E 与点 N 重合，即 E 为 CD 的中点 （ 3）由 PQPPPP 21 ，且直线 21PP 过 PQ 中点，所以四边形 21QPPP 为平行四边形，设点 P 的坐标为（ m,n） ,则 PQ
18、 中点坐标为 F )2,2( nam ，则只需过 PQ 的中点作斜率为 n amab 22的直线 l 即为所求的直线 作法：设椭圆的中心为 O 作直线 OF 交椭圆于点 N， 过 N 作椭圆的切线 t， 过 F 作直线 t 的平行线， 则这条线就是所求的直线 l 当 10a ， 5b ，点 P 的坐标是（ -8， -1）时，可知椭圆方程为 12510022 yx， )0,10(Q , )21,1( F ,设点的坐标 ),(),( 442331 yxPyxP ， 则 1251002323 yx， 1251002424 yx，两式相减整理得 43434343 41 yy xxxx yy ， 所以2
19、121141 lk，所以直线 l 的方程为 )1(2121 xy ，即 121 xy . 由 12112510022xyyx解得 )3,8(),4,6( 21 PP 或 )4,6(),3,8( 21 PP 第 8 页 共 11 页 . 【 方法技巧 】直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直线的斜率与弦中点坐标的关系 . 7.（ 2010上海高考理科 23） 已知椭圆 的方程为 22 1( 0 )xy abab ，点 P 的坐标为（ -a， b） . （ 1）若直角坐标平面上的点 M、 A(0,-b)， B(a， 0)满足 1PM = ( PA + PB )
20、2 ,求点 M 的坐标； （ 2）设直线 11:l y k x p交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 22:l y k x 于点 E .若 212 2bkk a ，证明：E 为 CD 的中点； （ 3）对于椭圆 上的点 Q（ a cos， b sin）（ 0），如果椭圆 上存在不同的两个交点 1P 、 2P满足 12PP + PP = PQ,写出求作点 1P 、 2P 的步骤，并求出使 1P 、 2P 存在的 的取值范围 . 【 命题立意 】本题是个综合性较强的题目，它涉及到椭圆的方程及性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向量的应用等有关知识 【 思路点拨】 （ 1）根据向量的运算将
21、各点坐标化，即可求出 M的坐标； （ 2）设出 C， D 点的坐标，代入椭圆方程作差，即可找到 CD 中点坐标与直线 CD 斜率的关系，然后结合已知条件证明； （ 3）先将向量问题转化为求作过 PQ 中点的弦且被该点平分的问题；根据椭圆中平行弦中点的轨迹是一条线段采用极限思想找到这些弦的斜率，即可找到过 PQ 中点的直线 【 规范解答 】 （ 1） )2,( baPA ， ),2( baPB ， )23,23()(21 baPBPA 设 ),( yxM ，则 ),( byaxPM ，由 1PM = ( PA + PB )2 得 2323bbyaax，解得 22byax，所以点 M 的坐标为 )
22、2,2( baM （ 2）设 ),( 11 yxC ， ),( 22 yxD ， 则 1221221 byax， 1222222 byax，两式相减整理得 2121222121 yy xxabxx yy ， 第 9 页 共 11 页 . 所以 2121221 yy xxabk ，又因为212 2bkk a 所以 21212 xx yyk ， 设 CD 的中点为 )2,2( 2121 yyxxN ，则点 N 在直线 1l 上，又点 N 坐标满足 2l 方程，所以点 N 在直线2l 上，即 N 为直线 1l 与 2l 的交点，由题设 1l 与 2l 交于点 E,所以点 E 与点 N 重合，即 E
23、为 CD 的中点 (3)由 PQPPPP 21 ，且点 21,PP 在椭圆上，由向量的几何性 质可知四边形 21QPPP 为平行四边形， 作法：设椭圆的中心为 O 取 PQ 中点为 F， 作直线 OF 交椭圆于点 N， 过 N 作椭圆的切线 t， 过 F 作直线 t 的平行线 l ， 则这条线与椭圆的两个交点就是所求的点 21,PP 要使这样的点 21,PP 存在，只需线段 PQ 的中点 F 在椭圆内部，易得 )2s in,2c o s( bbaaF ， 由 12s i n2c o s222 bbbaaa ，解得 42)4sin( ，所以 42a rc s in4 ， 又 0，所以 42a r
24、 c s in40 的取值范围为 42a r c s in40 【 方法技巧】 （ 1）直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直线的斜率与弦中点坐标的关系；（ 2）“直线与椭圆有两个交点”等价于“弦中点在椭圆内部”，可以将弦中点的坐标代入椭圆方程，将方程中的“ =”改为“ ” ，其作用等价于联立方程后的判别式大于 0. 第 10 页 共 11 页 . 8.（ 2010湖北高考理科 19） 已知一条曲线 C 在 y 轴 右边， C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y轴距离的差是 1. ( )求曲线 C 的方程； ( )是否存在正数 m，对于过点 M(
25、m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 0FA FB ? 若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 【命题立意】本题主要考查如何求曲线方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等，同时考查考生的推理和运算求解能力 【思路点拨】 ( )按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程。 ( )假设存在符合条件的 m，由 0FA FB 1 2 1 2( 1)( 1)x x y y = 1 2 1 2 1 2( ) 1 0x x x x y y 再利用根与系数的关系找出 m的值或范围。 【 规范解答】 ( )设 ( , )Pxy 是曲线 C 上的任意一点，则由题意 ( , )Px
26、y 一定满足： 22( 1 ) 1 ( 0)x y x x ，化简得： 2 4 ( 0)y x x ( )设过点 ( ,0)( 0)M m m 的直线 l 与曲线 C 的交点为 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ,设直线 l 的方程为x ty m，由 2 4x ty myx 得 2 4 4 0y ty m ， 216( ) 0tm ，于是 121244y y ty y m ， 又 11( 1, )FA x y ， 22( 1, )FB x y 1 2 1 20 ( 1 ) ( 1 )F A F B x x y y = 1 2 1 2 1 2( ) 1 0x x x y y ，
27、又 24x ，于是不等式 等价于 2 2 2 21 2 1 212 ( ) 1 04 4 4 4y y y yyy 212()16yy + 21 2 1 2 1 21 ( ) 2 1 04y y y y y y ， 由式，不等式等价于 226 1 4m m t 。因对任意实数 t， 24t 的最小值为 0，所以不等式对于一切 t 成立等价于 2 6 1 0mm ，即 3 2 2 3 2 2m 。由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 0FA FB，且 (3 2 3 , 3 2 3 )m 。 【方法技巧】 1、直线和圆锥曲线的交点个数问题求解时可以将直线和圆锥曲线的 方程联立，转化为方程根的个数问题（有些题目也可借用数形结合）。其中一定要注意对 的符号加以验证，必要时还须注意根
