1、 1 2017年普通高等学校招生全国统一考试（ 北京卷 ） 数学（文史类） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）已知 UR ，集合 | 2 2A x x x 或，则 UA （ A） ( 2,2) （ B） ( , 2) (2, ) （ C） 2,2 （ D） ( , 2 2, ) （ 2）若复数 (1 i)( i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 （ A） ( ,1) （ B） ( , 1) （ C） (1, ) （ D） ( 1, ) （ 3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （ A
2、） 2 （ B） 32 （ C） 53 （ D） 85 （ 4）若 ,xy满足3,2,xxyyx错误 !未找到引用源。 则 2xy 的最大值为 （ A） 1 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 9 （ 5）已知函数 1( ) 3 ( )3xxfx ，则 ()fx （ A）是偶函数，且在 R 上是增函数 （ B）是奇函数，且在 R 上是增函数 （ C）是偶函数，且在 R 上是减函数 （ D）是奇函数，且在 R 上是 减函数 （ 6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为 （ A） 60 （ B） 30 （ C） 20 （ D） 10 （ 7）设 ,mn为非零向量，则 “ 存在负数 ，使
3、得 mn ” 是 “ 0mn ” 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8） 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3613 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 8010 .则下列各数中与 MN 最接近的是 （ ） （参考数据： lg30.48 ） （ A） 3310 （ B） 5310 （ C） 7310 （ D） 9310 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （ 9） 在平面直角坐标系 xOy 中，角 a 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 .若 1sin
4、3a ，则 sin _ 2 （ 10） 若双曲线 22 1yxm的离心率为 3 ，则实数 m =_ （ 11）已知 0x ， 0y ，且 1xy，则 22xy 的取值范围是 _ （ 12）已知点 P 在圆 22=1xy 上，点 A 的坐标为 (-2,0)， O 为原点，则 AOAP 的最大值为 _ （ 13） 能够说明 “ 设 ,abc是任意实数若 abc， 则 a b c ” 是假命题的一组整数 ,abc的值依次为 _ （ 14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ ）男学生人数多于女学生人数； （ ）女学生人数多于教师人数； （ ）教师人数的两倍多于男学生人数 若
5、教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 _ 该小组人数的最小值为 _ 三、解答题 ： 共 6 小题，共 80 分 。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题 13 分） 已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足 1 1 2 4 2 4 51, 1 0 ,a b a a b b a （ ）求 na 的通项公式； （ ）求和： 1 3 5 2 1nb b b b （ 16）（ 本小题 13 分） 已知函数 ( ) 3 c o s ( 2 ) 2 s in c o s3f x x x x （ ） 求 ()fx的最小正周期； （ ）求证：当 , 44x 时， 1() 2fx 3
6、 （ 17）（本小题 13 分） 某大学艺术专业 400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： 20,30）， 30,40）， .， 80,90，并整理得到如下频率分布直方图： （ ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （ ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 40,50）内的人数； （ ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 （ 18）（本小题 14 分） 如
7、图，在三棱锥 P ABC 中， , , , 2P A A B P A B C A B B C P A A B B C ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 （ ）求证： PA BD ； （ ）求证：平面 BDE 平面 PAC ； （ ）当 /PA 平面 BDE 时，求 三棱锥 E BCD 的体积 4 （ 19）（本小题 14 分） 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2,0)， B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 32 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的 两点 ,MN，过 D 作 AM 的垂线交BN
8、 于点 E .求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 4:5 （ 20）（本小题 13 分） 已知函数 ( ) cosxf x e x x （ ）求曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ ）求函数 ()fx在区间 0, 2 上的最大值和最小值 . 5 2017年普通高等学校招生全国统一考试（ 北京卷 ） 数学（文史类） 一、选择题 （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） D （ 5） B （ 6） D （ 7） A （ 8） D 二、填空题 （ 9） 13 （ 10） 2 （ 11） 1 ,12 （ 12） 6 （ 13） -1， -2， -3 （ 14
9、） 6， 12 三、解答题 （ 15） 解： （ ） 设 na 的公差为 d ，据已知 2410aa，得 1 1 3 10dd ， 所以 2d . 所以 1 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 2 1na a n d n n （ ） 设 nb 的公比为 q ，因为 2 4 5bb a ，所 以 3 9qq ，所以 2 3q 因为 nb 是首项为 1 公比为 q 的等比数列，所以 1 3 5 2 1, , ,., nb b b b 是首项为 1 公比为 2 3q 的等比数列， 所以 *1 3 5 2 1 1 (1 3 ) 3 1. ( )1 3 2nnnb b b b n N 求和： 1 3 5 2
10、 1nb b b b （ 16） 解： （） ( ) 3 c o s ( 2 ) 2 s in c o s3f x x x x 133 ( c o s 2 si n 2 ) si n 222x x x 31cos 2 sin 222xx sin( )3x 所以，最小正周期为 22| | 2T （）由（）知， ( ) sin(2 )3f x x 因为 , 44x 所以 52 , 3 6 6x 所以，当 2 36x ，即 4x 时， ()fx取最小值， 所以 1() 2fx ，得证 （ 17） 解： （ ） 由频率分布直方图知，分数小于 70 的频率为 1 (0 .4 0.2) 0.4 6 （ ）
11、 设样本中分数在区间 40,50）内的人数为 x ，则由频率和为 1 得 5 0 .1 0 .2 0 .4 0 .2 11 0 0 1 0 0x 解得 5x （ ） 因为样本中分数不小于 70 的人数共有 (0 .4 0.2) 100 60 （人） 所以，分数不小于 70 的人中男女各占 30 人 所以，样本中男生人数为 30+30=60 人，女生人数为 100-60=40 人 所以，总体中男生和女生的比例为 60 340 2 （ 18）（ ） 证明： ,P A A B P A B C A B B C B ， 又 AB 平面 ,ABC BC 平面 ABC ， PA平面 ABC ， 又 BD 平
12、面 ABC ， PA D （ ） 证明： AB BC ， D 是 AC 的中点， BD AC, 由（）知 PA 平面 ,ABC PA 平面 PAC ， 平面 PAC 平面 ABC ， 平面 PAC 平面 ABC AC ， BD 平面 ABC ， BD AC ， BD平面 PAC ， BD 平面 BDE ， 平面 BDE 平面 PAC ， （ ） /PA 平面 BDE ， 又平面 BDE 平面 PAC DE ， PA 平面 PAC ， /PA DE D 是 AC 中点， E 为 PC 的中点， 1DE 1 1 1 2 2 12 2 2B D E A B CSS , 1 1 11 1 13 3 3
13、E B C DV D E （ 19） 解： （） 焦点在 x 轴上，且顶点为 ( 2,0) 2a 32ce a 3c 7 2 2 2a b c 1b 椭圆方程为 2 2 14x y （ ）设 0 0 0 0 0, 0 , , , ,D x M x y N x y ， 直线 AM 的方程是 00 22yyxx ， DE AM ， 002DE xk y ， 直线 DE 的方程是 000 2xy x xy ，直线 BN 的方程是 00 22yyxx ， 直线 BN 与 DE 直线联立 00000222xy x xyyyxx ， 整理为： 0002 22xyx x xyx ，即 220 0 042x
14、x x y x 即 22 000 4424xx x x x ，解得 0425E xx ， 代入求得 2004415 4 5E xyy 54NEyy 又 4S5BDE EBDN NSyyBDE 和 BDN 面积的比为 4:5 （ 20） 解： （ ） ( ) cosxf x e x x ( ) (c o s sin ) 1xf x e x x 曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线斜率为 0 (c o s 0 sin 0 ) 1 0ke 切点为 (0,1) ， 8 曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 1y （ ） ( ) (c o s sin ) 1xf x e x x ， 令 ( ) ( )g x f x 则 ( ) ( c o s s i n s i n c o s ) 2 s i nxxg x e x x x x e x 当 0, 2x ，可得 ( ) 2 sin 0xg x e x ， 即有 ()gx 在 0, 2 上单调递减，可得 ( ) (0) 0g x g， 所以 ()fx在 0, 2 上单调递减， 所以函数 ()fx在区间 0, 2 上的最大值为 0(0) cos 0 0 1fe ； 最小值为 2( ) c o s2 2 2 2fe
