1、2017 年北京市海淀区高考数学零模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x2=x， N= 1， 0， 1，则 M N=（ ） A 1， 0， 1 B 0， 1 C 1 D 0 2下列函数中为偶函数的是（ ） A y=x2sinx B y=2 x C y= D y=|log0.5x| 3执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ） A 1 B 3 C 7 D 15 4在极坐标系中圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A =0（ R）和 cos=2 B = （ R
2、）和 cos=2 C = （ R）和 cos=1 D =0（ R）和 cos=1 5设 为两个非零向量，则 “ =| |”是 “ 与 共线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6设不等式组 表示的平面区域为 D，若函数 y=logax（ a 1）的图象上存在区域 D 上的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 3 B 3， + ） C（ 1， 2 D 2， + ） 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ） A B C D 8已知函数 f（ x）满足如下条件： 任意 x R，有 f（ x） +f（ x
3、） =0 成立； 当 x 0 时， f（ x） = （ |x m2|+|x 2m2| 3m2）； 任意 x R，有 f（ x） f（ x 1）成立则实数 m 的取值范围（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9复数 Z=i（ 1+i）在复平面内对应的点的坐标为 10抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 11在锐角 ABC 中，角 A、 B 所对的边长分别为 a、 b，若 2asinB= b，则角 A等于 12已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an 2，若数列 bn满足 bn=10log2an，则使数列 bn的前
4、 n 项和取最大值时的 n 的值为 13小明、小刚、小红等 5 个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有 种 14已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，长度为 2 的线段 MN 的一个端点 M在棱 DD1 上运动，另一个端点 N 在正方形 ABCD 内运动，则 MN 中点的轨迹与正方体 ABCD A1B1C1D1 的表面所围成的较小的几何体的体积等于 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .） 15已知函数 （ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值； （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间 16如图
5、 1，在直角梯形 ABCP 中， CP AB， CP CB， AB=BC= CP=2， D 是 CP的中点，将 PAD 沿 AD 折起，使得 PD CD （ ）若 E 是 PC 的中点，求证： AP 平面 BDE； （ ）求证：平面 PCD 平面 ABCD； （ ）求二面角 A PB C 的大小 17某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润 1（万元）的概率分布列如表所示： 1 110 120 170 P m 0.4 n 且 1 的期望 E（ 1） =120；若投资乙项目一年后可获得的利润 2（万元）与该项目建设材料的成
6、本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为 p（ 0 p 1）和 1 p若乙项目产品价格一年 内调整次数 X（次数）与 2 的关系如表所示： X 0 1 2 2 41.2 117.6 204.0 （ ）求 m， n 的值； （ ）求 2 的分布列； （ ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求 p 的取值范围 18已知椭圆 C： =1（ a b 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （ ）求椭圆 C 的标准方程和长轴长； （ ）设 F 为椭圆 C 的左焦点， P 为直线 x= 3 上任
7、意一点，过点 F 作直线 PF的垂线交椭圆 C 于 M， N，记 d1， d2 分别为点 M 和 N 到直线 OP 的距离，证明：d1=d2 19已知函数 （ ）若曲线 y=f（ x）与直线 y=kx 相切于点 P，求点 P 的坐标； （ ）当 a e 时，证明：当 x （ 0， + ）， f（ x） a（ x lnx） 20已知数集 A=a1， a2， ， an（ 1=a1 a2 an， n 2）具有性质 P：对任意的 k（ 2 k n）， i， j（ 1 i j n），使得 ak=ai+aj 成立 （ ）分别判断数集 1， 3， 4与 1， 2， 3， 6是否具有性质 P，并说 明理由；
8、（ ）求证： an 2a1+a2+an 1（ n 2）； （ ）若 an=72，求数集 A 中所有元素的和的最小值 2017 年北京市海淀区高考数学零模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M=x|x2=x， N= 1， 0， 1，则 M N=（ ） A 1， 0， 1 B 0， 1 C 1 D 0 【考点】交集及其运算 【分析】求出 M 中方程的解确定出 M，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】解：由 M 中方程变形得： x（ x 1） =0， 解得： x=0 或
9、 x=1，即 M=0， 1， N= 1， 0， 1， M N=0， 1 故选： B 2下列函数中为偶函数的是（ ） A y=x2sinx B y=2 x C y= D y=|log0.5x| 【考点】函数奇偶性的判断 【分析】利用奇偶函数的定义，进行判断即可 【解答】解：对于 A， f（ x） =（ x） 2sin（ x） = x2sinx，是奇函数； 对于 B，非奇 非偶函数； 对于 C， f（ x） = = ，是偶函数； 对于 D，非奇非偶函数 故选 C 3执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ） A 1 B 3 C 7 D 15 【考点】程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句
10、的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加 S=0+20+21+22+23 的值，并输出 【解答】解：分析 程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加 S=0+20+21+22+23 的值 S=0+20+21+22+23=15， 故选 D 4在极坐标系中圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A =0（ R）和 cos=2 B = （ R）和 cos=2 C = （ R）和 cos=1 D =0（ R）和 cos=1 【考点】 简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程 【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出 【解答】解：
11、如图所示，在极坐标系中圆 =2cos 是以（ 1， 0）为圆心， 1 为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为 （ R）， cos=2 故选 B 5设 为两个非零向量，则 “ =| |”是 “ 与 共线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论 【解答】解：若 =| |， 则 | | |cos ， =| | |cos ， |，即 cos ， =|cos ， |，则 cos ， 0，则 与 共线不成立，即充分性不成立 若 与 共线，当
12、， =， cos ， = 1，此时 =| |不成立，即必要性不成立， 故 “ =| |”是 “ 与 共线 ”的既不充分也不必要条件， 故选： D 6设不等式组 表示的平面区域为 D，若函数 y=logax（ a 1）的图象上存在区域 D 上的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， 3 B 3， + ） C（ 1， 2 D 2， + ） 【考点】简单线性规划 【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=logax（ a 1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题 【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图： 由 a 1，对数函数的图象经过可行
13、域的点，满足条件， 由 ，解得 A（ 3， 1）， 此时满足 loga3 1，解得 a 3， 实数 a 的取值范围是： 3， + ）， 故选 ： B 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（ ） A B C D 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】根据几何体的三 视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥 P ABC， 直观图如图所示：由图得， PA 平面 ABC， ， ， ， 则 ，
14、 在 PBC 中， ， 由余弦定理得： ， 则 ，所以 ， 所以三棱锥中，面积最大的面是 PAC，其面积为 ， 故选 B 8已知函数 f（ x）满足如下条件： 任意 x R，有 f（ x） +f（ x） =0 成立； 当 x 0 时，f（ x） = （ |x m2|+|x 2m2| 3m2）； 任意 x R，有 f（ x） f（ x 1）成立则实数 m的取值范围（ ） A B C D 【考点】抽象函数及其应用 【分析】化简 f（ x）在 0， + ）上的解析式，根据 f（ x）的奇偶性做出函数图象，根据条件 得出不等式解出 【解答】解： f（ x） +f（ x） =0， f（ x）是奇函数 当
15、 m=0 时， f（ x） =x，显然符合题意 当 m 0 时， f（ x）在 0， + ）上的解析式为： f（ x） = ， 做出 f（ x）的函数图象如图所示： 任意 x R，有 f（ x） f（ x 1）成立， 6m2 1，解得 m 故选 A 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9复数 Z=i（ 1+i）在复平面内对应的点的坐标为 （ 1， 1） 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】解： Z=i（ 1+i） =i 1 在复平面内对应的点的坐标为（ 1， 1） 故答案为：（ 1， 1） 10抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出抛物线 y2=8x 的焦点坐标、双曲线 的渐近线，即可求出结论 【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点（ 2， 0）到双曲线 的渐近线 y= x 的距离是 d= = ， 故答案为 11在锐角 ABC 中，角 A、 B 所对的边长分别为 a、 b，若 2asinB= b，则角 A 等于 60
