1、第 1 页 黄浦区 2018 年 高 考模拟考 数学试卷 (完卷时间 ： 120 分钟 满分 ： 150 分 ) 2018.4 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚 ， 并在规定的区域贴上条形码 ； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分 . 1 已知集合 1, 2 , 3 1,A B m
2、， ， 若 3 mA， 则 非零实数 m 的数值是 2 不等式 |1 | 1x的解集是 3 若 函数 2( ) 8 2f x ax x 是偶函数，则该函数的定义域 是 4 已知 ABC 的 三内角 A B C、 、 所对的边长分别为 a b c、 、 ， 若 2 2 2 2 sina b c bc A ，则内角 的大小是 5 已知向量 a 在向量 b 方向上 的 投影为 2 ，且 3b ，则 ab = (结果用数值表示 ) 6方程 33lo g ( 3 2 5 ) lo g ( 4 1 ) 0xx 的解 x 7 已知函数 2 si n c os 2()1 c osxxfx x，则函数 ()fx
3、的单调递增区间 是 8 已知 是实系数一元二次方程 22( 2 1 ) 1 0x m x m 的一个虚数根，且 | | 2 ， 则实数 m 的取值范围是 9 已知 某 市 A 社区 35 岁至 45 岁的居民有 450 人， 46 岁至 55 岁的居民有 750 人， 56 岁至 65 岁的居民有900 人 为了解该 社 区 35 岁至 65 岁 居民的身体健康 状 况， 社区 负责人 采用 分层抽样 技术 抽取若干人进行体检调查 ， 若 从 46 岁至 55 岁的居民中随机抽取 了 50 人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人 10 将一枚质地均 匀的硬币连续抛掷 5 次，则恰好有 3 次出现
4、正面向上的概率是 (结果用 数值表示 ) 11 已知数列 na 是共有 k 个 项 的 有 限数 列 ， 且 满足11 ( 2 , , 1 )nn nna a n ka ， 若122 4 , 5 1, 0ka a a ， 则 k 12 已知函数 2( ) ( 0 2 )f x a x b x c a b 对任意 Rx 恒有 ( ) 0fx 成立，则代数式 (1)(0) ( 1)fff的最小值是 第 2 页 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13 在空间中，“直线 m
5、 平面 ”是“直线 m 与平面 内无穷多条直线都垂直 ”的 答 ( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件 14 二项式 4031x x的展开式中，其中是有理项的项数共有 答 ( ). (A ) 4 项 (B ) 7 项 (C ) 5 项 (D ) 6 项 15 实数 xy、 满足线性约束条件 3,0, 0,1 0,xyxyxy 则 目标函数 23w x y 的最大值是 答 ( ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 16 在给出的下列命题中，是 假 命 题 的是 答 ( ) (A )设 O A B C、 、 、 是同
6、一平面上的四个不同的点，若 (1 ) ( R )O A m O B m O C m ， 则点 A B C、 、 必共线 (B )若向量 ab和 是平面 上的 两个 不平行 的 向量，则平面 上的任一向量 c 都可以 表示为 ( R )c a b 、 ，且表示方法是唯一的 (C )已知 平面 向量 OAOBOC、 、 满足 | | | | ( 0 )O A O B O C r r |=| ， 且 0OA OB OC ， 则 ABC 是等边三角形 (D )在平面 上的所有向量中，不存在这样的四个 互不相等的 非零向量 abcd、 、 、 ，使得 其 中 任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相
7、互垂直 三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分 在四棱锥 P ABCD 中， P A A B C D平面 ，第 3 页 , , 1 ,A B A D B C A D B C 02 , 4 5CD CD A (1)画出四棱锥 P ABCD 的主视图； (2)若 PA BC ， 求直线 PB 与平面 PCD 所成 角 的大小 (结果用反三角函数值表示 ) 18.（本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满
8、分 6 分，第 2 小题满分 8 分 某企业欲 做 一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面 (由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构 成的 ) 已知 1 0 , ( 0 1 0 )O A O B x x 米 米， 线段 BA CD、 线 段 与 弧 BC 、 弧 AD 的长度之和为 30 米， 圆心角为 弧度 (1)求 关于 x 的函数解析式 ； (2)记铭牌的截面面积为 y ， 试问 x 取 何值时 ， y 的值最大？并 求 出最大值 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知 动点 ( , )Mxy 到点
9、 (2,0)F 的距离为 1d ， 动点 ( , )Mxy 到直线 3x 的距离为 2d ， 且 1263dd . (1)求 动点 ( , )Mxy 的轨迹 C 的方程 ； (2)过 点 F 作直线 : ( 2 )( 0 )l y k x k 交 曲线 C 于 PQ、 两点 ， 若 OPQ 的面积 3OPQS (O 是坐标系原点 )，求直线 l 的方程 . 20.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ， 第 3 小题满分 6 分 第 4 页 已知函数22 , 1 0 ,( ) =1 , 0 1.xxfxxx (1) 求函数 ()fx的反
10、函数 1()fx ； (2)试问 :函数 ()fx的图像上是否存在关于坐标原点对称的点 ， 若存在，求出这些点的坐标 ； 若不存在，说明理由； (3)若方程 22( ) 2 1 | ( ) 2 1 | 2 4 0f x x f x x a x 的三个实数根 1 2 3x x x、 、 满足 : 1 2 3x x x ， 且 3 2 2 12( )x x x x ， 求实数 a 的值 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分 ， 第 3 小题满分 9 分 定义：若 数列 nc 和 nd 满足 *1 220 , 0 , Nnnn n nn
11、ncdc d ncd 且 c ， ，则称数列 nd 是数列nc 的“伴随数列” . 已知数 列 nb 是数列 na 的 伴随数列 ， 试解答下列问题： (1)若 *( N )nnb a n， 1 2b ， 求 数列 na 的 通项公式 na ； (2)若 *1 1 ( N )nn nbbna ， 11ba 为常数， 求证： 数列 2nnba是等差 数列； (3)若 *1 2 ( N )nn nbbna ， 数列 na 是等比 数列 ，求 11ab、 的数值 黄浦区 2018 年高考模拟考 第 5 页 数学试卷 参考答案和评分标准 2018.4 说明： 1 本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的
12、解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进 行评分 2 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 一、 填空题 . 1 2 2 ( ,0) (2, ) 3 2,2 445 6 6 2 7 3 , , Z88k k k 8 3( , 349 140 10 516 11 50 12 3 . 二、选择题 13 ()A 14 ()B 15 ()D 16 ()D 三、解
13、答题 17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分 解 (1)主视图如下： (2) 根据题意，可算得 1, 2AB AD. 又 1PA BC， 按如图所示建立空间直角坐标系， 可得， (0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , (0 , 2 , 0 ) , (0 , 0 , 1 )A B C D P. 于是，有 ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 1 )P B C D P D . 设平面 PCD 的法向量为 ( , , )n x y z ，
14、则 0,0,n CDn PD 即 0,2 0.xyyz 令 2z ，可得 1, 1yx，故平面 PCD 的一个法向量为 (1,1,2)n . 设直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ，则 | | 3s in6| | |n PBn PB . 第 6 页 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 3arcsin6. 18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 解 (1)根据题意，可算得弧 BC x (m )，弧 10AD (m ). 又 30B A C D B C C D 弧 弧， 于是， 1 0 1 0 1 0 3 0x x x
15、 ， 所以， 2 1 0 (0 1 0 )10x xx . (2) 依据题意，可知 22111022O A D O B Cy S S x 扇 扇化简，得 2 5 50y x x 25 225()24x . 于是，当 52x (满足条件 0 10x )时，max 2254y ( 2m ). 答 所以当 52x 米时铭牌的面积最大，且最大面积为 2254 平方米 . 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 解 (1)结合题意，可得 2212( 2) , | 3 |d x y d x . 又 1263dd ，于是， 22( 2) 6| 3
16、 | 3xyx ，化简得 22162xy. 因此， 所求 动点 ( , )Mxy 的轨迹 C 的方程 是 22162xy. (2) 联立方程组 221,62( 2),xyy k x 得 2 2 2 2(1 3 ) 1 2 1 2 6 0k x k x k . 设点 1 1 2 2( , ) ( , )P x y Q x y、 ，则212 2212 212 ,1312 6 ,130.kxxkkxxk 第 7 页 于是，弦 2222 2 21 2 1 21 2 1 2 6| | ( ) ( ) 1 41 3 1 3kkP Q x x y y k ， 点 O 到直线 l 的距离2| 2 |1 kd
17、k . 由 3OPQS ，得21 |2 |2 1kk 2222 1 2 1 2 6141 3 1 3kkk 3 ，化简得 422 1 0kk ，解得 1k ，且满足 0 ， 即 1k 都符合题意 . 因此，所求直线的方程为 2 0 2 0x y x y 或 . 20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 ， 第 3 小题满分 6 分 解 (1) 22 , 1 0 ,( ) =1 , 0 1.xxfxxx 当 10x 时， ( ) 2 , 0 ( ) 2f x x f x 且 . 由 2yx ， 得 12xy ， 互换 xy与 ， 可得 1
18、 1( ) (0 2 )2f x x x . 当 01x时， 2( ) 1 , ( ) 0f x x f x 且 -1. 由 2 1yx， 得 1+xy ， 互换 xy与 ， 可得 1 ( ) 1 + ( 1 0 )f x x x . 11 , 0 2 ,2()1 , 1 0 .xxfxxx (2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称 . 设点 0 0 0 0 0( , ) ( 0 1 ) ( , )A x y x B x y 、是函数图像上关于原点对称的点， 则 00( ) ( ) 0f x f x ， 即 2001 2 0xx ， 解得 002 1 ( 2 1 , )xx 舍 去，且满足
19、01x . 因此，函数图像上存在点 ( 2 1 , 2 2 2 ) (1 2 , 2 2 2 )AB 和关于原点对称 . (3) 考察函数 ()y f x 与函数 221yx的图像，可得 当 212x 时，有 2( ) 2 1f x x， 原方程可化为 4 2 4 0x ax ， 解得 第 8 页 2+2x a ， 且由 221 +2 2a ， 得 0 2 2 2a . 当 2 12 x 时，有 2( ) 2 1f x x， 原方程可化为 24 1 2 4 0x ax ， 化简得 22( 4) 4 0a x ax ， 解得 24=0 +4axx a， 或 (当 0 2 2 2a 时，224 0
20、aa ). 于是，1 2 3224, , 0ax x xaa . 由3 2 2 12 ( )x x x x ， 得224 4 2= 2 ( + )+ 4 4 2aaa a a ， 解得 3 172a . 因为 3 17 12a ， 故 3 172a 不符合题意，舍去； 3 + 1 70 2 2 22a ， 满足条件 .因此，所求实数 3+ 172a . 21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分 ， 第 3 小题满分 9 分 解 (1)根据题意 ， 有 *1 220 , 0 , Nnnn n n nnaba b a nab 且 ，. 由
21、*( N )nnb a n， 1 2b ，得 1 1 122 2 , 2nnn nnaaa a baa ， *Nn . 所以 2na ， *Nn 证明 (2) *1 1 ( N )nn nbbna ， *1 220 , 0 , Nnnn n n nnaba b a nab 且 ， 11 22111nnnnnnbababbaa ， 2111nnbbaa， *Nn 22111nnbbaa ， *Nn 第 9 页 数列 2nnba是 首项为 211ba、公差为 1的等差数列 解 (3) *1 2 ( N )nn nbbna ， *1 220 , 0 , Nnnn n n nnaba b a nab
22、且 ， 由 222 2 *2 , N2nnn n n n aba b a b n ，得 112na . na 是等比 数列 ，且 0na ，设公比为 ( 0)rr ，则 1*1 ( N )nna a r n. 当 1r ，即 limnn a ，与 112na 矛盾 因此， 1r 不成 立 . 当 01r，即 lim 0nn a ，与 112na 矛盾 因此， 01r不成立 . 1r ，即数列 na 是常数列，于是， 1naa ( 112a ). *112 ( N )nnb b na . 100nbb ， ，数列 nb 也是等比 数列 ，设公比为 ( 0)qq ，有 11nnb bq . 112
23、 2211nnnnnaba ab ，可化为 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ( 1 2 )nnb a q a b q a a a ， *Nn . 2 2 2 2 4 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) 0 , 2 0 , ( 1 ) 0 , 4 ( 2 ) 0b a a b a a a b a ， 关于 x 的一元二次方程 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( 1 ) 2 ( 1 ) 0b a x a b x a a 有且仅有两个非负实数根 . 一方面， nq ( *Nn )是方程 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( 1 ) 2 ( 1 ) 0b a x a b x a a 的根；另一方面， 若 1( 0)qq，则无穷多个互不相等的 234, , , , , ,nq q q q q 都是该二次方程的根 .这与该二次方程有且仅有两个非负实数根 矛盾！ 1q，即 数列 nb 也是常数列，于是， 1nbb ， *Nn . 由 *1 2 ( N )nn nbbna ，得 1 2a . 把 1 2a ，代入1 22nnn nnaba ab ，解得 1 2b . 第 10 页 112,2.ab
