1、 上海市闵行区 2017 届 高三 一模 数学试卷 2016.12 一 . 填空题 （本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 方程 lg(3 4) 1x的解 x 2. 若关于 x 的不等式 0xaxb （ ,ab R ）的解集为 ( ,1) (4, ) ，则 ab 3. 已知数列 na 的前 n 项和为 21nnS ，则此数列的通项公式为 4. 函数 ( ) 1f x x的反函数是 5. 6(1 2 )x 展开式中 3x 项的系数为 （用数字作答） 6. 如图，已知正方形 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1 2AA ， E 为 棱
2、 1CC 的中点，则三棱锥 1D ADE 的体积为 7. 从单词“ shadow”中任意选取 4 个不同的字母排成一排， 则其中含有“ a”的共有 种排法（ 用数字作答） 8. 集合 | c o s ( c o s ) 0 , 0 , x x x （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为 1 的扇形 AOB ， 60AOB ， P 为弧 AB 上的一个动点，则 OPAB 取值范围是 10. 已知 x 、 y 满足曲线方程 221 2x y，则 22xy 的 取值范围是 11. 已知两个不相等的非零向量 a 和 b ，向量组 1 2 3 4( , , , )x x x x 和 1 2 3 4(
3、, , , )y y y y 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成，记 1 1 2 2 3 3 4 4S x y x y x y x y ，那么 S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量 a 、 b 表示） 12. 已知无穷数列 na ， 1 1a ， 2 2a ，对任意 *nN ，有 2nnaa ，数列 nb 满足 1n n nb b a （ *nN ），若数列 2nnba 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的 1b 的值为 二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 若 a 、 b 为实数，则“ 1a ”是“ 1 1a ”的（ ）条件
4、A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若 a 为实数， (2 )( 2 ) 4ai a i i （ i 是虚数单位），则 a （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 15. 函数 2( ) | |f x x a在区间 1,1 上的最大值是 a ，那么实数 a 的取值范围是（ ） A. 0, ) B. 1 ,12C. 1 , )2 D. 1, ) 16. 曲线 1 : sinC y x ，曲线 2 2 22 1: ( )2C x y r r （ 0r ），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过 2017 D. 可超过
5、2017 三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图， 在 Rt AOB 中， 6OAB ，斜边 4AB ， D 是 AB 中点，现将 Rt AOB 以 直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底 面圆周上一点，且 90BOC ， （ 1）求圆锥的侧面积； （ 2）求直线 CD 与平面 BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示） 18. 已知 (2 3,1)m ， 2(cos ,sin )2AnA ， A 、 B 、 C 是 ABC 的内角； （ 1）当 2A 时，求 |n 的值； （ 2）若 23C ， | | 3AB ，当
6、 mn 取最大值时，求 A 的大小及边 BC 的长； 19. 如图所示，沿河有 A 、 B 两城镇，它们相距 20 千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为 0.7( ) 25f m m（万元）， m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费） ( ) 3.2g x x （万元）， x 表示输送污水管道的长度（千米）； 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 1 3m 、 2 5m ， A 、 B 两城镇
7、连接污水处理 厂的管道总长为 20 千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到 0.1） （ 1）若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂，共需多少总费用？ （ 2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A 到拟建厂 的距离 为 x 千米，求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系 式，并求 y 的取值范围； 20. 如图，椭圆 22 14yx 的左、右顶点分别为 A 、 B ，双曲线 以 A 、 B 为顶点，焦距 为 25，点 P 是 上在第一象限内的动点，直线 AP 与椭圆相交于另一点 Q ，线段 AQ 的 中点为 M ，记直线 AP 的斜率
8、为 k ， O 为坐标原点； （ 1）求双曲线 的方程； （ 2）求点 M 的纵坐标 My 的取值 范围； （ 3）是否存在定直线 l ，使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称？若存在，求直线 l 方程， 若不存在，请说明理由； 21. 在平面直角坐标系上，有一点列 0 1 2 3 1, , , , , ,nnP P P P P P ，设点 kP 的坐标 ( , )kkxy （ kN ， kn ），其中 kx 、 kyZ ，记 1k k kx x x ， 1k k ky y y ，且满足 | | | | 2kkxy （ *kN ， kn ）； （ 1）已知点 0(0,1)P ，点 1P 满足 110yx ，求 1P 的坐标； （ 2）已知点 0(0,1)P ， 1kx（ *kN ， kn ），且 ky （ kN ， kn ）是递增数列， 点 nP 在直线 : 3 8l y x上，求 n ； （ 3）若点 0P 的坐标为 (0,0) ， 2016 100y ，求 0 1 2 2016x x x x 的最大值；
