1、高中数学必修一笔记和习题 1 目录 第一章 集合与函数概念 . 2 课堂笔记 . 2 一、 集合有关概念 . 2 二、函数的有关概念 . 3 随堂练习 . 7 第二章 基本初等函数（） . 13 课堂笔记 . 13 一、指数函数 . 13 二、对数函数 . 14 三、幂函数 . 15 随堂练习 . 17 指数函数专题练习 . 17 对数函数专题练习 . 22 幂函数专 题练习 . 27 指数函数、对数函数和幂函数专题练习 . 30 第三章 函数的应用 . 36 课堂笔记 . 36 随堂练习 . 37 参考答案 . 40 高中数学必修一笔记和习题 2 第一章 集合与函数概念 课堂笔记 一、 集合
2、有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y (3) 元素的无序性 : 如： a,b,c和 a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 表示方法： 1） 列举法： a
3、,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图 : 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例： x|x2= 5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系 子集 注意： BA 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2） A 与 B 是同一集合。 反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“相等”关系： A=
4、B (5 5，且 5 5，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集 合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。 AA 真子集 :如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 高中数学必修一笔记和习题 3 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集， 2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A且属
5、于 B的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的 交集 记作A B（读作 A交 B），即 A B= x|xA，且xB 由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B的 并集 记作： A B（读作 A并 B），即 A B =x|xA，或xB) 设 S是一个集合， A是 S的一个子集，由 S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的 补集 （或余集） 记作 ACS ，即 CSA= ,| AxSxx 且 韦 恩 图 示 性 质 A A=A A = A B=B A A B A A B B A A=A A =A A B=B A A B A B B (CuA) (CuB) =
6、Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= 二、函数的有关概念 函数的概念 ：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数
7、的定义域时列不等式组的主要依据是： A B图 1A B图 2S A S A 高中数学必修一笔记和习题 4 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . 相同函数的判断方法 ：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21 页相关例 2) 2值
8、域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 （ 1）区间的分类：开区间、闭区间、
9、半开半闭区间 （ 2）无穷区间 （ 3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f（对应关系）： A（原象） B（象）” 对于映射 f： A B 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以 是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (
10、1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充 ： 复合函数 高中数学必修一笔记和习题 5 如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、 g 的复合函数。 函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) （ 1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y
11、=f(x)的单调增区间 . 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （ 2） 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x1， x2 D，且 x1x2； 2 作差 f(x1) f(x2)
12、； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差 f(x1) f(x2)的正负）； 5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质） （ 1）偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 （ 2）奇函数 一般地，对于
13、函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 （ 3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，
14、若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)= 1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （ 1） .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出高中数学必修一笔记和习题 6 它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . （ 2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大（小）值 （定义见课本 p36 页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2 利用图象求函数的最大
15、（小）值 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； 高中数学必修一笔记和习题 7 随堂练习 一、选择题 1设全集 U (x， y)| x R， y R，集合 M 123|),( xyyx ， P (x， y)| y x 1，那么 CU(M P)等于 ( ) A B (2， 3) C (2， 3) D (x， y)| y x 1 2
16、若 A a， b， B A，则集合 B 中元素的个数 是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 0 或 1 或 2 3函数 y f(x)的图象与直线 x 1 的公共点数目是 ( ) A 1 B 0 C 0 或 1 D 1 或 2 4设函数 f(x) 2x 3， g(x 2) f(x)，则 g(x)的表达式是 ( ) A 2x 1 B 2x 1 C 2x 3 D 2x 7 5. 已知函数 f(x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则 ( ) A b (， 0) B b (0， 1) C b (1， 2) D b (2， ) 6设函数 f(x) 0 02 xc x cbxx， ， ， 若
17、f( 4) f(0)，f( 2) 2，则关于 x 的方程 f(x) x 的解的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7设集合 A x | 0 x 6， B y | 0 y 2，下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( ) A f:x y 21 x B f:x y 31 x C f:x y 41 x D f:x y 61 x 8有下面四个命题： 偶函数的图象一定与 y 轴相交； 奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于 y 轴对称； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x) 0(x R) 其中正确命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 9函数 y x2
18、6x 10 在区间 (2， 4)上是 ( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增 D先递增再递减 10二次函数 y x2 bx c 的图象的对称轴是 x 2，则有 ( ) A f(1) f(2) f(4) B f(2) f(1) f(4) C f(2) f(4) f(1) D f(4) f(2) f(1) 二、填空题 11集合 3， x， x2 2x中， x 应满足的条件是 (第 5 题 ) 高中数学必修一笔记和习题 8 12若集合 A x | x2 (a 1)x b 0中，仅有一个元素 a，则 a _， b _ 13建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁
19、的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为 元 14已知 f(x 1) x2 2x，则 f(x) ； f(x 2) 15 y (2a 1)x 5 是减函数，求 a 的取值范围 16设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x 0， )时， f(x) x(1 x3)，那么当 x (， 0时， f(x) 三、解答题 17已知集合 A x R| ax2 3x 2 0，其中 a 为常数，且 a R 若 A 是空集，求 a 的范围； 若 A 中只有一个元素，求 a 的值； 若 A 中至多只有一个元素，求 a 的范围 高中数学必修一笔记和习题 9 18已知 M 2， a， b， N
20、2a， 2， b2，且 M N，求 a， b 的值 19证明 f(x) x3 在 R 上是增函数 20 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x4 21x ； (2)f(x) (x 1) xx11 ； (3)f(x) 1x x1 ； (4)f(x) 12x 21 x 高中数学必修一笔记和习题 10 21.已知集合 A x| 73 x , B=x| 2x10, C=x|xa （ 1）求 ;BA （ 2）求 ()RC A B ; （ 3）若 AC ,求 a 的取值范围 22.已知函数 3 1()f x x x=+,判断 ()fx的奇偶性并且证明。 23.已知函数3() 1xfx x= +，求 ()fx在区间 2,5上的最大值和最小值
