1、 第 1 页 共 17 页 一元一次方程全章复习与巩固（ 提高 ）知识讲解 撰稿：吴婷婷 审稿： 常春芳 【学习目标】 1理解单项式、多项式、整式等概念，弄清他们之间的区别与联系； 2. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法； 3. 理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 4掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴含的化归思想 ； 5能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性，体会建立数学模型的思想 【 知识网络 】 【要点梳理】 要 点一、整式的相关概念 1.代数式的定义： 诸如： 5.6n ， 3.5x ， m+n ， 34， 100v ， 2 1n
2、 等式子， 它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式 要点诠释： 带等号或不等号的式子不是代数式，如 33x ， 33x ， 33x 等都不是代数式 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把 问题中 涉及的数量关系 用代数式来 表示 ， 这就是 列出代数式 用数值代替代数式 里 的字母，按照代数式 原有 的运算关系计算得出的结果，叫做 代数式的值 要点诠释： 代数式的书写规范： （ 1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或省略不写； （ 2）除法运算一般以分数的形式表示； 第 2 页 共 17 页 （ 3）字母与数字相乘
3、时，通常把数字写在字母的前面； （ 4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （ 5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写 3单项式： 由数字或字母的积组成的代数式叫做 单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释： （ 1） 单项式的系数是指单项式中的数字因数 （ 2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 4多项式： 几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释： （ 1） 在多项式中，不含字母的项叫做常数项 （ 2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 （ 3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单
4、项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 5. 多项式的降幂与升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做 把这个多项式按这个字母降幂排列 另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列 要点诠释： （ 1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； （ 2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 6整式： 单项式和多项式统称为整式 要 点二、 同类项与合并同类项 1同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项 要点诠释： 辨别同类项要把准“两相同，
5、两无关”： （ 1）“两相同”是指： 所含 字母相同；相同字母的指数相同； （ 2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点诠释： 合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变 要点三、等式和一元一次方程的 概念 1等式的概念： 用符号“ =”来表示相等关系的式子叫做等式 . 2等式的性质 ： 等式的性质 1：等式两边加 (或减 )同一个数 (或式子 )，结果仍相等 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 3方程 ： 含有未知数的等式叫做方程 4一元一次方
6、程： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程 要点诠释： （ 1）一元一次方程变形后总可以化为 ax+b 0(a 0)的形式，它是一元一次方程的标准形式 （ 2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足： 只含有一个未知数，未知数的次数为 1； 未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数； 5方程的解： 使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解 6解方程： 求方程的解的过程叫做解方程 要点四 、 一元一次方程的解法 解一元一次方程 的一般步骤 (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括
7、号，最后去大括号 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 ax b(0 0)的形式 (5)系数化为 1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 bx a (a 0) (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程 的解；若方程左右两边的值不相第 3 页 共 17 页 等，则不是方程的解 要点五 、 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题： 路程速度时间 2.和差倍分问题： 增长量原有量增长率 3.利润问题： 商品利润商品售价商品进价 4.工程问题： 工作量工作效率工作
8、时间，各部分劳动量之和总量 5.银行存贷款问题： 本息和本金 +利息，利息本金利率 6.数字问题： 多位数的表示方法： abcd a 103+b 103+c 10+d 【典型例题】 类型一、 整式的相关概念 1 指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式 (1) 3a (2)5 (3)2 ba(4)2x y (5)3xy (6)x(7) 5mn (8)1+a% (9) 1()2 a b h 【答案 与解析 】 解：整式： (1)、 (2)、 (4)、 (5)、 (6)、 (7)、 (8)、 (9) 单项式： (2)、 (5)、 (6)，其中：
9、 5 的系数是 5，次数是 0； 3xy 的系数是 3，次数是 2； x 的系数是 1，次数是 1. 多项式： (1)、 (4)、 (7)、 (8)、 (9)，其中： 3a 是一次二项式； 2x y 是一次二项式； 5mn 是一次二项式； 1+a%是一次二项式； 1()2 a b h 是二次二项式。 【总结升华】 分母中出现字母的式子不是整式，故 2 ba 不是整式；是常数而不是字母，故 x 是整式，也是单项式； (7)、 (9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减如 5mn 其实质为 55mn ， 1()2 a bh 其实质为 1122ah bh 举一反三： 【变式 1】
10、若单项式 22 abxy 与单项式 253 byx 的和是单项式，那么 3ab . 【答案】 15 【变式 2】 若多项式 31( 4 ) 5 ( 2 )nm x x x n m 是关于 x 的二次三项式，则 _m ， _n ，这个二次三项式为 . 【答案】 4, 3, 2 59xx 类型二、同类项及合并同类项 2 若 3123 mmxy 与 5 2 115 nn xy 是同类项，求出 m, n 的值，并把这两个单项式相加 . 【答案 与解析 】 解： 因为 3 1 2 121 535mnmnx y x y与 是同类项， 第 4 页 共 17 页 所以 3 1 5,2 1 1.mn 解得 2,
11、1.mn 当 2m 且 1n 时， 5 5 5 53 1 5 2 12 1 4 2 4 2 1 4( ) ( )3 5 3 5 3 5 1 5mnmnx y x y x y x y x y x y . 【总结升华】 同类项的定义中强调，除所含字母相同外， 相同字母 的指数也要相同 .其中，常数项也是同类项 .合并同类项 时 ，若不是同类项，则不需 合并 . 举一反三： 【变式】 合并同类项 (1) 2 2 2 23 4 4 5 2 2x x y y x x y y ； (2) 3 2 3 2 39 9 1 1 1552 4 2 4x y x y x y x y x y x y 【答案】 (1)
12、原式 22( 3 5 ) ( 4 2 ) ( 4 2 )x x y y 222 2 2x xy y (2)原式 3 2 3 2 39 1 1 9 1554 4 2 2x y x y x y x y 3 2 345x y x y 类型三、 等式和 一元一次方程的相关概念 3 已知方程 (3m-4)x2-(5-3m)x-4m -2m 是关于 x 的一元一次方程，求 m 和 x 的值 【 思路点拨 】 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程 【答案 与解析 】 解： 因为方程 (3m-4)x2-(5-3m)x-4m -2m 是关
13、于 x 的一元一次方程， 所以 3m-4 0 且 5-3m 0 由 3m-4 0 解得 43m ，又 43m 能使 5-3m 0，所以 m 的值是 43 将 43m 代入原方程，则原方程变为 485333x ，解得 83x 所以 43m ， 83x 【总结升华】 解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义 方程 (3m-4)x2-(5-3m)x-4m -2m2是关于 x 的一元一次方程，就是说 x 的二次项系数 3m-4 0，而 x 的一次项系数 5-3m 0， m 的值必须同时符合这两个条件 举一反三： 【高清课堂： 一元一次方程复习 393349 等式和方程 例 3】 【变式】 下面方
14、程变形中，错在哪里： 第 5 页 共 17 页 (1)方程 2x=2y 两边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以 x-y, 得 1=-1. （ 2） 3 7 2 1 223xx x，去分母，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得 ： 9-21x=4x+2+2x. 【答案】 （ 1） 答：错在第二步，方程两边 不能 除以 x-y，只有一种可能就是 x-y为 0 了，所以出现了 1=-1的错误， 也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为 0 的 . （ 2） 答：错在第一步
15、，去分母时 2x 项 没乘以公分母 6. 4 如果 5(x+2) 2a+3 与 (3 1) (5 3)35a x a x 的解相同，那么 a 的值是 _ 【答案】 711 【 解析 】 由 5(x+2) 2a+3，解得 275ax 由 (3 1) (5 3)35a x a x ，解得 95xa 所以 2 7 955a a ，解得 711a 【总结升华】 因为两方程的解相同，可把 a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于 a的一元一次方程 举一反三： 【变式】 已知 |x+1|+(y+2x)2 0，则 yx _ 【答案】 1 类型 四 、一元一次方程的 解法 5.解关于 x 的方
16、程： 11( ) ( 2 )34m x n x m 【 思路点拨 】 这个方程化为标准形式后，未知数 x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与 x 的系数和常数的取值都有关系 【答案 与解析 】 解： 原方程可化为： ( 4 3 ) 4 6 2 ( 2 3 )m x m n m m n 当 34m 时，原方程有唯一解： 4643mn mx m ； 当 33,42mn 时，原方程无数个解 ； 当 33,42mn 时，原方程无解 ； 【总 结升华】 解含字母系数的方程时，一般化为最简形式 ax b ，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明 6. 解方程 |x-2
17、| 3 【答案 与解析 】 解： 当 x-2 0 时，原方程可化为 x-2 3，得 x 5 第 6 页 共 17 页 当 x-2 0 时，原方程可化为 -(x-2) 3，得 x -1 所以 x 5 和 x -1 都是方程 |x-2| 3 的解 【总结升华】 如图所示，可以看出点 -1 与 5 到点 2 的距离均为 3，所以 |x-2| 3 的意义为在数轴上到点 2的距离等于 3 的点对应的数，即方程 |x-2| 3 的解为 x -1 和 x 5 举一反三： 【变式 1】若关于 x 的方程 2 3 0xm 无解， 3 4 0xn 只有一个解， 4 5 0xk 有两个解， 则 ,mnk 的大小关系
18、为： （ ） A. m n k B.n k m C.k m n D.m k n 【答案】 A 【变式 2】若 9x 是方程 1 23xm的解，则 _m ；又若当 1n 时，则方程 1 23xn的解是 【答案】 1； 9 或 3 类型 五 、一元一次方程的应用 7 李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟；若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少 ? 【 思路点拨 】 本题中的两个不变量为： 火车开出的时间 和 李伟从家到火车站的路程不变 【答案 与解
19、析 】 解： 设李伟从家到火车站的路程为 y 千米，则有： 15 1530 60 18 60yy ，解得： 452y 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为 45 152 130 60(小时 ) 李伟打算在火车开车前 10 分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为 x 千米 /时 ， 则有： 452 271 0 1 0116 0 6 0yx (千米 /时 ) 答：李伟此时骑摩托车的速度应是 27 千米 /时 【总结升华】 在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法 8
20、 某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元，制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 第 7 页 共 17 页 方案 2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成 你认为选择哪种方案获利最多，为什么 ? 【答案 与解析 】 解： （ 1）
21、若选择方案 1，依题意， 总利润 =2000 元 4+500 元 (9-4)=10500（元） （ 2）若选择方案 2 方法一： 解： 设将 x 吨鲜奶制成奶片， 则用 (9-x)吨鲜奶制成酸奶销售 . 依题意得， 9 413xx， 解得 1.5x 当 1.5x 时， 9 7.5x 总利润 =2000 1.5+1200 7.5=12000（元） 1200010500， 选择方案 2 较好 方法二： 解： 设 x 天生产 奶片 ，则（ 4-x）天生产酸奶 . x+3(4-x)=9 x=1.5 4-x=2.5 1.5 1 2000+2.5 3 1200=12000（元） 1200010500， 选
22、择方案 2 较好 答： 选择方案 2 获利最多，只要在四天内用 7.5 吨鲜奶加工成酸奶，用 1.5 吨的鲜奶加工成奶片 【总结升华】 如果题目中的数量 关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程 例如本题 方案 2 中的方法一，设将 x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下： 每吨利润 吨数 工效 天数 酸奶 1200 9x 3 93x 奶片 2000 x 1 1x 合计 9 4 从表中能一目了然条件之间的关系，从而 得到等量 关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择 举一反三： 【变式】 某科技小组的学生在 3 名老师的带领下，准备前往国家
23、森林公园考察、采集标本，当地有甲，乙两家旅行社，其定价都一样，但对师生都有优惠：甲旅行社对带队老师免费，学生按 8 折收费；乙旅行社对师生一律按 7 折收费，经核算，甲，乙旅行社的实际收费正好相同 （ 1）该科技小组共有多少学生？ （ 2）若科技小组增加了学生人数，那么选择哪家旅行社较为 合 算？说明理由 【答案】 解：（ 1）设科技小组共有 x 个学生，根据题意得 80%x=（ x+3） 70% ， 80%x=70%x+2.1， 80%x-70%x=2.1， 10%x=2.1， 第 8 页 共 17 页 x=21 答：该科技小组共有 21 个学生； （ 2）设增加了 y 名学生，则： 甲旅行
24、社收费： 80%（ 21+y） =16.8+0.8y； 乙旅行社收费： 70%（ 24+y） =16.8+0.7y； 0.8y 0.7y（ y 是正整数）， 乙旅行社较为合算， 答：若科技小组增加了学生人数，那么选择乙旅行社较为合算 【巩固练习】 一、选择题 1 A、 B、 C、 D 均为单项式，则 A+B+C+D 为 ( ) A单项式 B多项式 C单项式或多项式 D以上都不对 2下列计算正确的个数（ ） ； ； ； ； A 2 B 1 C 4 D 0 3有理数 a， b， c 在数轴上的位置如右图所示，则 （ ） A 2b B 0 C 2c D 2c 2b 4已知方程 是关于 x 的一元一次
25、方程，则 m 的值是 ( ) A 1 B 1 C -1 D 0 或 1 5已知 是方程 的解，那么关于 y 的方程 的解是 ( ) A y 1 B y -1 C y 0 D方程无解 6已知 ，则 等于（ ） A B C D 7一架飞机在两城间飞行，顺风要 5 5 小时，逆风要 6 小时，风速为 24 千米 /时，求两城距离 x 的方程是（ ） A B C D 8某商 场的老板销售一种商品，他要以不低于进价 20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价 80%的价格标价若你想买下标价为 360 元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ） 第 9 页 共 17 页 A 80 元 B
26、 100 元 C 120 元 D 160 元 二、填空题 9 的系数是 _，次数是 _； 的系数是 _，次数是 _ 10多项式 是 _次 _项式 ,其中最高次项的系数是 _,常数项是 _，以 x为主元进行降幂排列为 _ _ 11当 k=_时，关于 x， y 的多项式 中不含 项 12多项式 是五次三项式，则 m 的值为 _ 13已知 方程 是关于 x 的一元一次方程，则这个方程的解为 _ 14已知 和 互为相反数，则 _ 15对于有理数 a， b，我们规定 （ 1） ；（ 2）若有理数 满足则 的值为 16 某书城开展学生优惠购书活动 ,凡一次性购书不超过 200 元的一律九折优惠 ,超过 2
27、00元的 ,其中 200 元按九折算 ,超过 200 元的部分按八折算某学生第一次去购书付款 72 元 ,第二次去购书享受八折优惠 ,他查看了所买书的定价 ,发现两次共节约了 34元则该学生第二次购书实际付款 _元 三、解答题 17已知： 为有理数， ，求 的值 18解方程： （ 1） （ 2） （ 3） 3x-2 -4=0 （ 4）探究：当 b 为何值时，方程 x-2 =b+1 无解；只有一个解； 有两个解 19右图的数阵是由一些奇数排成的 1 3 5 7 9 （ 1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为 ） （ 2）若这样框出的四个数的和是
28、200，求这四个数 91 93 95 97 99 （ 3）是否存在这样的四个数，它们的和为 420，为什么？ 第 10 页 共 17 页 20商场计划拨款 9 万元，从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家 生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元 （ 1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；（ 2）若商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售一台乙种电视机可获利 200 元，销售一台丙种电视机可获利 250 元在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利
29、最多，该选择哪种进货方案？ 【答案与解析】 一、选择题 1【答案】 C 【解析】若 A、 B、 C、 D 均为同类项，则 A、 B、 C、 D 的和为单项式，否则 为多项式，故选 C 2【答案】 D 3【答案】 B 4【答案】 B 【解析】由题意得 |m| 1，且 m+1 0，所以 m 1，故选 B 5【答案】 C 【解析】由 x 1 是方程 的解，可代入求出 a 的值，然后把 a 的值代入方程 a(y+4)2ay+4a 中，求出 y 的值 6【答案 】 D 【解析】由原式可得： ，将“ ”看作 整体，合并化简即可 7【答案】 A 【解析】解：两城距离为 x，顺风要 5 5 小时，逆风要 6 小时，顺风速度 = ，逆风速度 = ，风速为 24 千米 /时，可列方程为：8【答案】 C 【解析】解：设最多降价 x 元时商店老板才能出售则可得： （ 1+20%） +x=360 解得： x=120 二、填空题 9 【答案】 ， 5， ， 6 10【答案】 5， 4， -1， -2，
