1、 高三数学应用题专题复习 类型一：函数应用题 1.1 以分式函数为载体的函数应用题 例 1. 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件 )间的关系为 ：1 0,623xcxpxc （ c 为常数， 且 0c6） . 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1.5 元 .（ 1） 将日盈利额 y(万元 )表示为日产量 x(万件 )的函数； （ 2） 为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？ (注：次品率 次品数产品总数 100%) 【解】（ 1）若 cx0 ，则 )6(2 93623)6(3 xxxxxxxxy ， 若 cx ，则 03223)32(3 xxxy ，
2、 0)6(2)29(3 2xxxy cxcx0 （ 2）当 cx0 ，则222)6( )9)(3(3)6( )1)(29()6)(49(23 x xxx xxxxy 若 30 c ，则 0 y ，函数在 c,0 上为增函数，)6(2 )29(3,2m ax cccycx 若 63 c ，在 )3,0( 上为增函数，在 ),3( c 上为减函数，当 3x 时， 29max )3( fy . 综上，若 30 c ，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最大；若 63 c ，则当日产量为 3 万件时，日盈利额最大 . 例 2. 近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元 , 为了节能减排 , 决定安装一个
3、可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网 , 安装这种供电设备的工本费 (单位 : 万元 )与太阳能电池板的面积 (单位 : 平方米 )成正比 , 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电 , 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 . 假设在此模式下 , 安装后该企业每年消耗的电费 C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位 :平方米 )之间的函数关系是) ( 0 ,20 100kC x x kx为常数 ). 记 F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和 . （ 1） 试解释(0)C的实际意义 , 并建立 关于 x的函数关系式； （ 2） 当
4、x为多少平方米时 , F取得 最小值？最小值是多少万元？ 【 解 】（ 1）(0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用 ， 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 ， 由(0) 24100kC ,得 2400k， 所以2400 180015 0.5 0.5 , 020 100 5x x xxx ； （ 2） 因为1800 0.5 ( 5 ) 0.25 2 1800 0.5 0.25 59.755Fxx . 当且仅当1800 0.5 ( 5)5 xx ， 55时取等号 ， 所以当 x为 55 平方米时 , F取得最小值为 59.75 万元 . 1.2 以分段函数为载体
5、的函数应用题 例 3. 在等边 ABC 中 , AB =6cm，长为 1cm 的线段 DE 两端点 ,DE都在边 AB 上，且由点 A 向点 B运动（运动前点 D 与点 A 重合）， FD AB ,点 F 在边 AC 或边 BC 上； GE AB ,点 G 在边 AC 或边 BC上，设 AD xcm . （ 1）若 ADF 面积为 1 ()S f x ,由 ,DE EG GF FD围成的平面图形面积为 2 ()S g x ，分别求出函数( ), ( )f x g x 的表达式； （ 2）若四边形 DEGF 为矩形时 0xx ，求当 0xx 时 , 设 ()()()fxFx gx，求函数 ()F
6、x的取值范围 . 解：（ 1） 当 03x时， F 在边 AC 上， 0ta n 6 0 3F D x x， 23() 2f x x； 当 35x时， F 在边 BC 上， 0( 6 ) t a n 6 0 3 ( 6 )F D x x , 3( ) (6 )2f x x x ，23 , 0 32()3 ( 6 ) , 3 52xxfxx x x 当 02x时， F、 G 都在边 AC 上， 0ta n 6 0 3F D x x， 3( 1)EG x 3 3 ( 1 ) 3( ) 1 322xxg x x ； 当 23x时， F 在边 AC 上， G 在边 BC 上 , 3FD x , 3(5
7、 )EG x 53() 2gx； 当 35x时， F、 G 都在边 BC 上 , 3(6 )FD x, 3(5 )EG x 11( ) 3 32g x x 33 , 0 2253( ) , 2 32113 3 , 3 52xxg x xxx . （ 2）0 52x 当 5 32 x时， 2 59( ) , ( )5 4 5xF x F x 当 35x时， 22 26 5 3 3( ) , ( ) 4 02 1 1 2 1 1x x x xF x F xx x 5 1 8( ) , 5 , 1 045Fx 的 取 值 范 围 为 例 4. 如图，长方体物体 E 在雨中沿面 P （面积为 S ）的
8、垂直方向作匀速移动，速度为 v（ v 0）， 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c c R ， E 移动时 单位时间 内的淋雨量包括两部分：（ 1） P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 vc S 成正比，比例系数为 1；（ 2）其他面的淋雨量之和，其值为 12 . 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 100d ，面积 23S S=32 . （ 1）写出 y 的表达式； （ 2）设 0 v 10,0 c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v ，使总淋雨量 y 最少 . 1.3 以二次函数为载体的函数应用题 例 5. 轮滑是 穿着带滚轮的特制鞋在坚硬
9、的场地上滑行的运动 如图，助跑道 ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E处，飞行的轨迹是一段抛物线 CDE（ 抛物线 CDE与抛物线 ABC 在同一平面内） ， D 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系， x 轴在地面上，助跑道一端点 A(0， 4)，另一端点 C(3， 1)，点B(2， 0)，单位： 米 （ 1）求助跑道所在的抛物线方程； （ 2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间（包括 4
10、 米和 6 米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点 C 与点 E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值） 24yO xEDCBA【 解 】 （ 1）设助跑道所在的抛物线方程为 20 0 0()f x a x b x c ， 依题意： 00 0 00 0 04,4 2 0,9 3 1,ca b ca b c 解得， 0 1a ， 0 4b ， 0 4c ， 助跑道所在的抛物线方程为 2( ) 4 4f x x x （ 2）设飞行轨迹所在抛物线为 2()g x ax bx c （ 0a ）， 依题意： (3) (3),(3) (3),fg 得 9 3 1,6 2,a
11、 b cab 解得 2 6 ,9 5,baca 22 3 1 1( ) ( 2 6 ) 9 5 ( ) 1ag x a x a x a a x aa ， 令 ( ) 1gx 得， 223 1 1()ax a a， 0a ， 3 1 1 23ax a a a ， 当 31ax a 时， ()gx有最大值为 11a ，则运动员的飞行距离 2233d aa ， 飞行过程中距离平台最大高度 1111h aa ，依题意， 246a ，得 123a ， 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间 例 6. 某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元为了增加企业竞争力
12、，决定优化产业结构，调整出 x (x N )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 310500xa万元 (a 0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x% （ 1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （ 2）在（ 1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？ 【解】 （ 1）由题意，得 10(1000 x)(1 0.2x %)101000，即 2x 500x0，又 x 0，所以 0 x500即最多调整 500 名员工从事第三产业
13、（ 2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 310500xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为11 0 (1 0 0 0 ) 1 500xx万元，则 310 500xax 11 0 (1 0 0 0 ) 1 500xx，所以 ax 23500x 1000 2x x21500x ，所以 ax 22500x 1000 x，即 a 2500x 1000x 1 恒成立 因为 2500x 1000x 2 10002500x x 4，当且仅当 2500x 1000x，即 x 500 时等号成立，所以 a5，又 a 0，所以 0 a5所以 a 的取值范围为 (0， 5 类型二：三角测量应用题 2.1 以
14、三角函数的定义为载体的三角应用题 例 7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮 1O 的半径为 r2 （ r 为常数），小飞轮 2O 的半径为 r ， rOO 421 .在大飞轮的边缘上有两个点 A ， B ， 满足 31 ABO ，在小飞轮的边缘上有点 C 设大飞轮逆时针 旋转一圈，传动开始时，点 B ， C 在水平直线 21OO 上 m （ 1）求点 A 到达最高点时 A ， C 间的距离； （ 2）求点 B ， C 在传动过程中高度差的最大值 . 【解】（ 1）以 1O 为坐标系的原点， 12OO 所在直线为 x 轴，如图所示建立直角坐标系当点 A 到达最高点时，点 A 绕 O1转过
15、 6，则点 C 绕 O2转过 3 此时 A（ 0， 2r）， C 93( , )22rr A OZ OZ CZ BZ 1 2 x y 2293( ) ( 2 ) 2 5 2 322A C r r r r （ 2）由题意，设大飞轮转过的角度为 ，则小飞轮转过的角度为 2，其中 0,2 此时 B（ 2rcos ， 2rsin ）， C（ 4r rcos2 ， rsin2 ） 记点 ,BC高度差为 d ，则 | 2 si n si n 2 |d r r 即 2 | s in s in c os |dr 设 ( ) sin sin c osf ， 0,2 ，则 ( ) (1 c os ) ( 2 c
16、os 1 )f 令 ( ) (1 c os ) ( 2 c os 1 ) 0f ，得 1cos2或 1则 23， 43， 0 或 2 列表： 0 2(0, )323 24( , )3343 4( ,2)3 2 ()f + 0 0 + ()f 0 极大值 f( 23 ) 极小值 f( 43 ) 0 当 23时， f()取得极大值为 334；当 43时， f()取得极小值为 334 答：点 B， C在传动中高度差的最大值max 332dr 2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题 例 8. 如图，摩天轮的半径为 m40 ，点 O 距地面的高度为 m50 ，摩天轮做匀速转动，每 min3 转一圈，
17、摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处 . （ 1）试确定在时刻 (min)t 时点 P 距离地面的高度； （ 2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 m70 ？ （ 3）求证：不论 t 为何值， )2()1()( tftftf 是定值 . 2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例 9不含分式结构的解三角形问题；例 10和例 11 含有分式结 构的解三角形问题，方法略有不同） 例 9. 在路边安装路灯，灯柱 AB与地面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB所在平面与道路垂直，且 120ABC，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线 如图中阴影部分所示，已知60ACD，路宽24AD米，设灯柱高
18、 ABh（米）， ACB （30 45） . （ 1）求灯柱的高 h（用 表示）； （ 2）若灯杆 BC与灯柱 AB所用材料相同，记此用料长度和为 S，求 关于 的函数表达式，并求出 S的最小值 例 10. 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 2)得到正方形 ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论： AFE ； 对任意 (0 2)， EAL， EAF， GBF， GBH， ICH， ICJ， KDJ， KDL 均是全等三角形 （ 1）设 AE x，将 x 表示为 的函数； （ 2）试确定 ，使正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积
19、 【 解 】 （ 1）在 Rt EAF 中，因为 AFE ， AE x， 所以 EF xsin， AF xtan 由 题意 AE AE x， BF AF xtan， 所以 AB AE EF BF x xsin xtan 3 所以 x 3sin1 sin cos， (0， 2) （ 2） S AEF 12AEAF 12x xtan x22tan (3sin1 sin cos)2cos2sin9sincos2(1 sin cos)2 令 t sin cos，则 sincos t2 12 因为 (0， 2)，所以 4(4， 34 )，所以 t 2sin( 4)(1， 2 CBA DLKJ IHGFE
20、CDABOADBCLKJ IHGFECDABOADBCS AEF 9(t2 1)4(1 t)294(12t 1)94(122 1) 正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积 S S 正方形 ABCD 4S AEF9 9 (1 22 1) 18( 2 1) 当 t 2，即 4时等号成立 例 11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD， 10 3AB m， 33CD m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法： （ 1）如图（ 1）设两根钢管相距 1m，在 AB 上取一点 E，以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F处 ,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）则 BE
21、多长时钢丝绳最短？ （ 2）如图（ 2）设两根钢管相距 33m，在 AB 上取一点 E，以 C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在 D 处、 B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则 BE 多长时钢丝绳最短？ 【解】（ 1）设钢丝绳长为 ym， CFD ，则 33 1 33 1ta nc o s s in c o sy （其中00 2 ， 0tan 7 ）， 223 3 c o s sinsin c o sy 当 tan 3 时，即 34BE 时， min 8y （ 2） 设钢丝绳长为 ym， CFD ，则 3 3 3 3 1 c o s s i n
22、s i n c o sy （其中 00 ， 0 1 2 3 3 3tan 333 ） 9 分 22 3 3 3 3c o s s i n3 3 1 s i n c o s c o s s i ns i n c o ss i n c o sy 令 0y 得 sin cos ，当 4 时，即 36BE 时 m in 6 3 2 2y 12 分 A E D C B F A E D C B F 图 1 图 2 例 12. 海岸线 MAN ， 2,A 现用长为 l 的拦网 围成一养殖场，其中 ,B MA C NA （ 1） 若 BC l , 求养殖场面积最大值 ； （ 2） 若 B 、 C 为定点， B
23、C l ，在折线 MBCN 内选点 D ，使 BD DC l，求四边形养殖场 DBAC的最大面积 ； （ 3）若 (2)中 B、 C可选择，求四边形 养殖场 ACDB面积的最大值 . 【 解 】 （ 1） 设, , 0 , 0.AB x AC y x y 2 2 2 2 c os 2 2 2 c os 2l x y x y x y x y ， 2222 2 c os 2 4 si nllxy ，221 1 c ossi n 2 2 si n c os2 4 si n 4 si nllS x y ， 所以， ABC面积的最大值为2cos4sinl ，当且仅当xy时取到 （ 2） 设,(AB m
24、AC n m n ，为定值 ) 2BC c(定值 ) ， 由 2DB DC l a ， a = 12 l，知点 D在以 、C为焦点的椭圆上，1 si n 22ABCS m n 为定值只需 BC面积最大 ,需此时点 到 的距离最大 , 即D必为椭圆短轴顶点 22 2 ,4 B C Dlb a c c S 面积的最大值为2 21 224lc b c c ， 因此 ,四边形 ACDB 面积的最大值为2 21 si n 2 lm n c c （ 3） 先确定点 B、 C，使 BCl. 由 (2)知 DBC为 等腰三角形时，四边形 ACDB 面积最大 .确定 BCD的形状，使 B、 C分别在 AM、 A
25、N 上滑动，且 BC 保持定值，由 (1)知 AB=AC 时四边形 ACDB面积最大 . ACD ABD， CAD= BAD=，且 CD=BD=2l.来 S=sin2122 ADACS ACD. 由 (1)的同样方法知， AD=AC 时，三角形 ACD 面积最大，最大值为 2tan4221 ll. 所以，四边形 ACDB面积最大值为 2tan82. 2.4 以立体几何为载体的三角应用题 例 13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体 积为 803 立方米，且 2lr 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱
26、形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 ( 3)cc 千元，设该容器的建造费用为 y 千元 （ 1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ 2）求该容器的建造费用最小时的 r 【解】（ I）设容器的容积为 V， 由题意知 234 8 0,33V r l r V 又故 32 2 24 80 4 4 203()3 3 3Vrl r rr r r 由于 2lr ，因此 0 2.r 所以建造费用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 4 ,3y r l r c r r r cr 因此 2 1604 ( 2 ) , 0 2 .y c r rr （ 2）
27、由（ 1）得 3221 6 0 8 ( 2 ) 2 0 8 ( 2 ) ( ) , 0 2 .2cy c r r rr r c 由于 3, 2 0,cc 所 以 当 3 32 0 2 00 , .22rrcc 时 令 3 20 ,2 mc 则 0m ，所以 2228 ( 2 ) ( ) ( ) .cy r m r r m mr （ 1）当 902 2mc 即 时，易得 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。 （ 2）当 2m 即 93 2c 时，当 (0, 2) , 0,ry时 函数单调递减， 所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 93 2c 时，建造费用最小时 2;r 当 92c 时，建造费用最小时 3 20 .2r c 例 14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为 O ，半径为 R（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三 个 部 件 组成，其中圆弧形灯托 EDECEBEA , 所在圆的 圆心 都是 O 、半径 都是 R（米）、 圆 弧 的 圆心角 都是 （弧度）；灯杆 EF 垂直于地面，杆顶 E 到地面的距离为 h（米） ，且 hR ；灯脚 FA1， FB1， FC1， FD1是正四棱锥 F A1B1C1D1的四条侧棱，正方形 A1B1C1D1的外接圆半径为 R（米），
