1、 1 高三文科数学 一摸 专题复习 （ 立体几何 ） 【 基础知识点 】 一、平行问题 1 直线与平面平行的判定与性质 定义 判定定理 性质 性质 定理 图形 条件 a 结论 a b a a b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ， a 结论 a b a 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义 ： 直线 l 与平面 内的 都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符 号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行
2、直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 垂直 这个平面 3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 4.直线和平面垂直的 常用 性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 任意 直线 2 FDEC 1 B 1A 1CBAMDAPBC 垂直于同一个平面的两条直线 平行 垂直于同一条直线的两平面 平行 二、平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于
3、 交线 的直线垂直于另一个平面 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例 1.如图，已知三棱锥 A BPC 中， ,A P P C A C B CM 为 AB 中点， D 为 PB 中点，且 PMB 为正三角形。 （）求证： DM 平面 APC ； （）求证：平面 ABC 平面 APC ； （ ）若 BC 4 ， 20AB ，求三棱锥 D BCM 的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 底面 ABC ， 2AC BC， 1 4AA ， 22AB ， M ， N 分别是 棱 1CC ， AB 中点 . （）求证： CN 平面 11ABBA ； （）求证： /
4、CN 平面 1AMB ；（）求三棱锥 1B AMN 的体积 【 变式 1】 . 如图，三棱柱 111 CBAABC 中，侧棱 1AA 平面 ABC ， ABC 为等腰直角三角形， 90BAC ，且 1AAAB ， FED , 分 别是 BCCCAB , 11 的中点。 （ 1）求证： /DE 平面 ABC ； （ 2）求证： FB1 平面 AEF ； （ 3）设 AB a ，求三棱锥 D AEF 的体积。 二、线面平行与垂直的性质 A B C A1 B1 C1 M N 3 M E D C B A E D C B A 图 1 图 2 例 3、 如图 4，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD
5、平面 ABCD ， AB DC ， PAD 是等边三角形，已知 24BD AD， 2 2 5AB DC （ 1）求证： BD 平面 PAD ； （ 2）求三棱锥 A PCD 的体积 例 4、如图，四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD，底 面 ABCD 为正方形， BC=PD=2， E 为 PC 的中点， .31CBCG （ I）求证： PC BC ； （ II）求三棱锥 C DEG 的体积； （ III） AD 边上是否存在一点 M，使得 /PA 平面 MEG。若存在， 求 AM 的长；否则，说明理由。 【 变式 2】 直棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯
6、 形， BAD ADC 90， AB 2AD 2CD 2. ( )求证： AC 平面 BB1C1C； ( ) A1B1 上是否存一点 P， 使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行？证明你的结论 . 三、三视图与折叠问题 例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若 F 为 PD 的中点，求证： AF 面 PCD ； （ 1） 证明： BD 面 PEC ； （ 2） 求三棱锥 E PBC 的体积。 例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形， ABDEB ADDCAB ,45,1,3 （如图 1）。 现将 ADE 沿 DE 折起，使得 EBAE （如图 2）， 连结
7、 ABAC, 。 （ I） 求证：平面 ADE 平面 ACD ； （ II） 试在棱 AB 上确定一点 M ，使截面 EMC 把几 何体分成两部分的体积比 1:2: M E C BA D C M E VV ； （ III） 在点 M 满足 （ II） 的情况下，判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ，并说明理由。 A B E P D C 4 【 变式 3】 一个四棱锥的直观图和三视图如 下 图所示 ， E 为 PD 中点 .科网 （ I） 求证： PB/平面 AEC； （ II） 求四棱锥 C PAB 的体积； （ ）若 F 为侧棱 PA 上一点，且 FAPF ，则 为何值时， PA 平面
8、BDF. 【 变式 4】 如图 1 所示，正 ABC 的边长为 2a， CD 是 AB 边上的高， E，F 分别是 AC， BC的中点。现将 ABC沿 CD 翻折，使翻折后平面 ACD 平面 BCD（如图 2） （ 1）试判断翻折后直线 AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （ 2）求三棱锥 C-DEF 的体积。 四、立体几何中的最值问题 例 8. 如图，在 = 2 ,2A B C B A B B C P A B 中 ， ， 为 边 上 一 动 点 ， PD/BC交 AC 于 点 D,现将 , P D A .P D A P D P D A P B C D 沿 翻 折 至 使 平 面 平
9、 面 （ 1）当棱锥 A PBCD 的体积最大时，求 PA 的长； （ 2） 若点 P为 AB 的中点， E为 .A C B D E的 中 点 ， 求 证 ： A 【变式 5】 如图 3，已知在ABC中，90，PA平面 ABC，AEPB于 E，AFPC于 F，AP AB2，AEF ，当变化时，求三棱锥 体积的最大值。 ECADBP图 （ 2 ）图 （ 1 ）FEFEABCABD CD5 高三文科数学专题复习 :立体几何平行、垂直问题（答案） 【典例探究】 例 1 解：（） M A B为 中 点 ,D 为 PB 中 点 , MD AP ，又 MD APC 平 面 DM APC平 面 （） PMB
10、 为正三角形 ,且 D 为 PB 中点， MD PB 又由（ 1）知 ,MD AP AP PB 又已知 AP PC AP PBC 平 面 ， AP BC ，又 AC BC BC APC 平 面 ,平面 ABC 平面 PAC , （） 20AB ， 10MB , 10PB 又 4BC ， 1 0 0 1 6 8 4 2 2 1PC 1 1 1 4 2 2 1 2 2 12 4 4B D C P B CS S P C B C 2211 2 0 1 0 5 322M D A P 又 11 2 2 1 5 3 1 0 733D B C M M B C D B D CV V S D M 例 2.（）证明
11、： 因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 底面 ABC 又因为 CN 平面 ABC ， 所以 1AA CN . 因为 2AC BC， N 是 AB 中点， 所以 CN AB . 因为 1AA AB AI ， 所以 CN 平面 11ABBA （）证明：取 1AB 的中点 G ，连结 MG ， NG ， 因为 N ， G 分别是棱 AB ， 1AB 中点， A B C A1 B1 C1 M N G MDAPBC6 所以 1/NG BB ，112NG BB. 又因为 1/CM BB ，112CM BB， 所以 /CM NG ， CM NG . 所以四边形 CNGM 是平行四边形 .
12、 所以 /CN MG . 因为 CN 平面 1AMB ， GM 平面 1AMB ， 所以 /CN 平面 1AMB （ ）由 （）知 GM 平面 1ABN . 所以11M N M N1 1 2 4423 2 2 3B A A BVV . 变式 1.（ 1）根据中点寻找平行线即可；（ 2）易证 1AF BF ，在根据勾股定理的逆定理证明1BF EF ；（ 3） 由于点 D 是线段 1AB 的中点，故点 D 到平面 AEF 的距离是点 1B 到平面 AEF 距离的 12 ，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 【解析】（ 1）取 AB 中点 O ，连接 DOCO, ,/,21,/ 11 CEDOCE
13、DOAADOAADO 平行四边形DOCE ， DECODE ,/ 平面 ABC ， CO 平面 ABC ， /DE 平面 ABC 。 （ 4 分） （ 2）等腰直角三角形 ABC 中 F 为斜边的中点， BCAF 又 直三棱柱 111 CBAABC ， 面 ABC 面 CCBB11 ， AF 面 BC1 ， FBAF 1 设 EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB 121221111 ,23,2 3,2 6,1又 ,FEFAF FB1 面 AEF 。 （ 8 分） （ 3） 由于点 D 是线段 1AB 的中点，故点 D 到平面 AEF 的距离是点 1B 到平面 AEF 距离的 12 。221
14、 2622B F a a a ，所以三棱锥 D AEF 的高为 64a ；在 RtAEF 中，32,22E F a A F a，所以三棱锥 D AEF 的底面面积为 268a ，故三棱锥 D AEF 的体积为 231 6 6 13 8 4 1 6a a a 。（ 12 分） 7 OPDCBA二、线面平行与垂直的性质 例 3.（ 1） 证明： 在 ABD 中，由于 2AD ， 4BD ， 25AB ， 2 2 2AD BD AB. 2分 AD BD 又平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ， BD 平面 ABCD ， BD 平面 PAD . 4分 （ 2） 解： 过
15、 P 作 PO AD 交 AD 于 O . 又平面 PAD 平面 ABCD ， PO 平面 ABCD 6分 PAD 是边长为 2的等边三角形， 3PO . 由（ 1）知， AD BD ，在 Rt ABD 中， 斜边 AB 边上的高为 455A D B Dh AB. 8分 AB DC ，1 1 4 5522 2 5A CDS CD h . 10分 1 1 2 3233 3 3A P CD P A CD A CDV V S P O . 14分 例 4、（ I）证明： PD 平面 ABCD， BCPD 又 ABCD 是正方形， BC CD， PDICE=D， BC平面 PCD 又 PC 面 PBC，
16、 PC BC （ II）解： BC平面 PCD， GC 是三棱锥 G DEC 的高。 E 是 PC 的中点， 1)2221(212121 P D CE D CE D C SSS921323131 D E CD E CGD E GC SGCVV （ III）连结 AC，取 A C 中点 O，连结 EO、 GO，延长 GO 交 AD 于点 M，则 PA/平面MEG。 下面证明之 E 为 PC 的中点， O 是 AC 的中点， EO/平面 PA， 8 又 M E GPAM E GEO 平面平面 , ， PA/平面 MEG 在正方形 ABCD 中， O 是 AC 中点， OCG OAM ,32 CGA
17、M 所求 AM 的长为 .32 变式 2.证明： ( )直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1平面 ABCD， BB1 AC. 又 BAD= ADC=90， AB=2AD=2CD=2， AC= 2 ， CAB=45， BC= 2 ， BC AC. 又 BB1 BC=B， BB1， BC 平面 BB1C1C， AC平面BB1C1C. ( )存在点 P， P 为 A1B1 的中点。 证明：由 P 为 A1B1 的中点，有 PB1 AB，且 PB1=21 AB. 又 DC AB， DC=21 AB， DC PB1，且 DC=PB1， DCB1P 为平行四边形，从而 CB1 DP.又 CB1
18、 ACB1,DP 面 ACB1， DP面 ACB1. 同理， DP面 BCB1. 例 5、 （ 1）由几何体的三视图可知，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， PA 面 ABCD ， PA EB ， 2 4.PA EB ,PA AD F 为 PD 中点， .PD AF 又 ,C D D A C D P A ,CD AF AF 面 PCD 。 （ 2）取 PC 的中点 M ， AC 与 BD 的交点为 N ， 1 ,2MN PA MN PA ， ,MN EBMN EB ，故 BEMN 为平行四边形， EM BN ， BD 面 PEC 。 A B E P D C 4 4 2 2 4 4 4 正
19、视图 侧视图 俯视图 9 （ 3） 1 1 1 6()3 2 3E P B C C P B EV V B E A B B C 例 6.答案略 变式 3.解：（）由三视图得，四棱锥底面 ABCD 为菱形 , 棱锥的高为 3,设 AC BD O,则 PO 即是棱锥 的高 ,底面边长是 2，连接 OE ， ,EO 分别 是 ,DPDB 的中点， OE BP ， ,O E A E C B P A E C面 面PB AEC面 （ 2） 1 1 1 1( 2 2 3 ) 3 32 2 3 2V V V 三 棱 锥 C-PAB 三 棱 锥 P-ABC 四 棱 锥 P-ABCD（ 3）过 O 作 3, , 3
20、 , 3 , 2 3 2O F P A P O A P O A O P A A F 在 Rt 中-10 分 : 3 , ,P F F A O F P AP O B D A C B D P O A C O B D P A C 时 即 =3 时 面-12 分 ,B D P A O F P A B D O F O P A B D F 由 且 面-14 分 变式 4.解：（ 1）判断： AB/平面 DEF.2 分 证明： 因在 ABC 中， E， F 分别是 AC， BC 的中点，有 EF/AB .5 分 又因 AB 平面 DEF， EF 平面 DEF.6分 所以 AB/ 平面DEF.7 分 （ 2）
21、过点 E 作 EM DC 于点 M， 面 ACD 面 BCD，面 ACD 面 BCD CD，而 EM 面 ACD 图 （ 2 ）图 （ 1 ）FEFEABCABD CDM 10 故 EM 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高 .9 分 又 CDF 的面积为 2 2 21 1 1 1 3( 2 )2 2 2 4 4C D F B C DS S C D B D a a a a EM 1122AD a 11 分 故三棱锥 C-DEF 的体积为 231 1 3 1 3 .143 3 4 2 2 4C D E F E C D F C D FV V S E M a a a 分 四、立体几何
22、中的最值问题 例 8.解：（ 1）设 xPA ，则 )2(3131 2xxxSPAVP D C BP B C DA 底面-令 )0(,632)22(31)( 32 xxxxxxf 则 232)( 2xxf x )332,0( 332 ),332( )(xf 0 )(xf 单调递增 极大值 单调递减 由上表易知：当 332 xPA 时，有 PBCDAV- 取最大值。 证明： （ 2） 作 BA 得中点 F，连接 EF、 FP 由已知得： FPEDPDBCEF /21/ PBA 为等腰直角三角形， PFBA 所以 DEBA . 变式 6. 解：因为PA平面 ABC BC平面 ABC， 所以BC又因为BC AC PA AC A,， 所以 平面 PAC，
