1、提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 1 抽象函数 常见题型及解法 没有明确给出解析式的函数 统 称为抽象函数。 常见题型 及其解法 如下： 一 、 函数性质法 1.利用奇偶性整体思考 ； 2.利用单调性等价转化 ； 3.利用周期性回归已知 ； 4.利用对称性数形结合 ； 5.借助特殊点 . 二 、 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k 0) f（ x y） f（ x） f（ y） 幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 指数函数 f(x)=ax (a0 且 a 1) f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)
2、=logax (a0 且 a 1) f(xy)=f(x)+f(y) 三、 常用变换 技巧 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f y f x yf x y f x f x y y f x y f x f yf x f y 四 、 经典例题及易混易错题型 (一 )定义域 问题 这类问题只要紧紧抓住：将函数 f gx ( ) 中的 gx() 看作一个整体，相当于 fx() 中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解 . 例 1. 函数 y f x ( ) 的定义域为 ( ， 1 ，则函数 y f x log ( )2 2 2的定义域是 _. 分析：因为 log (
3、)2 2x 相当于 fx() 中的 x，所以 log ( )2 2 2 1x ，解得 2 2 x 或 2 2x . 例 2. 已知函数 )( 2xf 的定义域是 1， 2，求 f（ x）的定义域 . 分析：已知函数 的定义域是 A，求函数 f(x)的定义域 ,相当于求内函数 的值域 . )( 2xf 的定义域是 1， 2，是指 21 x ，所以 )( 2xf 中的 2x 满足 41 2 x ,从而函数 f（ x）的定义域是 1， 4 )y(f )x(f)yx(f )y(f )x(f)yx(f 或)y(f)x(f)yx(f 或)( )()()()()( yf xfyxfyfxfyxf ()( )
4、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()fxf x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y fy )()()()()()( yfxfyxfyfxfyxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xf x y f x f y f x f y f f y f f x f yy y y xf x提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 2 例 3.若函数 )1( xfy 的定义域为 )3,2 ，求函数 )21( xfy 的定义域 . 解析：由 )1( xfy 的定义域为 )3,2
5、 ，知 1x 中的 )3,2x ，从而 411 x ，对函数)21( xfy 而言，有 11 2 4x ，解之得： ),21(31,( x . 所以函数 )21( xfy 的定义域为 ),21(31,( 例 4.已知 fx() 的定义域为 (0 )， 1 ，则 y f x a f x a a ( ) ( )(| | )12的定义域是 _. 分析：因为 xa 及 xa 均相当于 fx() 中的 x，所以 0 10 1 11 x ax a a x aa x a(1)当 12 0a 时，则 x a a ( )， 1 (2)当 0 12 a 时，则 x a a ( )， 1 fx() 的定义域为 (0
6、 )， 1 ，意思是凡被 f 作用的对象都在 (0 )， 1 中 . 评析：已知 f(x)的定义域是 A，求 的定义域问题，相当于解内函数 的不等式问题 . 例 5.定义在 上的函数 f(x)的值域为 ，若它的反函数为 f-1(x)，则 y=f-1(2-3x)的定义域为 _，值域为 _. 答案 : (二 )函数值 问题 1. 赋特殊值法求值 例 1.已知 fx() 的定义域为 R ，且 f x y f x f y( ) ( ) ( ) 对一切正实数 x， y 都成立，若 f( )8 4 ，则f(2) _. 分析：在条件 f x y f x f y( ) ( ) ( ) 中，令 x 4 ，得 f
7、 f f f( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 2 4 4 ， f( )4 2 又令 x y 2 ，得 f f f(4 ) (2 ) (2 ) 2， f(2) 1 例 2.设函数 )(xf 的定义域为 ,0 ，且对于任意正实数 yx, 都有 )(xyf = )(xf )(yf 恒成立。若已知 xf x 8,3 2,2 8,3,34,0 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 3 1)2( f ,试求：（ 1） )21(f 的值 ;（ 2） )2( nf 的值，其中 n 为正整数 . 分析：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律 . （ 1）令 1yx ，则 )1()1(
8、)1( fff ， 0)1( f . 再令 x =2, y = 21 , 则 )21()2()1( fff , .1)2()21( ff （ 2）由于 2)21()21()2( 2 fff ， ,3)21()21()21()2( 3 ffff 依此类推就有 ,)2( nf n 其中 n 为正整数 . 例 3.已知定义域为 R 的函数 f（ x），同时满足下列条件： 51)6(1)2( ff ， ； )()()( yfxfyxf ，求 f（ 3）， f（ 9）的值。 解：取 32 yx ， ，得 )3()2()6( fff 因为 51)6(1)2( ff ， ，所以 54)3( f 又取 3yx
9、 得 58)3()3()9( fff 抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决 . 2.利用周期函数求值 例 4. 已知 fx() 是定义在 R 上的函数，且满足： f x f x f x( ) ( ) ( ) 2 1 1， f ( )1 1997 ，求 f(2001) 的值 . 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 fx() 是 周期函数，显然 f x( )1 ，于是 f x f xf x( ) ( )( ) 2 11 ，f x f xf xf xf xf xf xf x( )( )( )( )( )( )( )( ) 4 1 21 21 111 111所以 f x
10、 f x f x( ) ( ) ( ) 81 4故 fx() 是以 8 为周期的周期函数，从而 f f f( 2 0 0 1 ) ( ) ( ) 8 250 1 1 1997 例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_. 分析 :这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令 x=y=0,得： f(0)=0, f(1)= ,)1(2)()1(,1, 2fnfnfynx 得令提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 4 , 3.
11、利用约分化简求值 .2000 .( ,原式 =16) (三 )值域问题 例 1. 设函数 f（ x）定义于实数集上，对于任意实数 x、 y， )()()( yfxfyxf 总成立，且存在 21 xx ，使得 )()( 21 xfxf ，求函数 )(xf 的值域。 解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立，这与存在实数 ，使得 成立矛盾，故 f(0) 0，必有 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、 y 均成立，因此， ,又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x
12、)f(-x)=0 与 f(0) 0 矛盾 ,所以 f(x)0. 3. 例 2.若函数 h(x),g(x)均为奇函数， f(x) ah(x)+bg(x) 2 在 （ 0，） 上有最大值 5，求 f(x)在 （， 0）上的最小值。 解 析：由于 h(x),g(x)均为奇函数，故 ah(x)+bg(x)也是奇函数，令 F(x)=ah(x)+bg(x)，则 f(x)=F(x)+2。由 f(x)在 （ 0，） 上有最大值 5 知， F(x)在 （ 0，） 上有最大值为 3。又因 F(x)是奇函数，故 F(x)在 （， 0） 上有最小值为 3从而 f(x)在 （， 0） 上有最小值为 1. (四 )奇偶性
13、问题 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 fx() 与 f x( ) 的关系 . f(x)是偶函数与 f(x+a)是偶函数的区别 ： f(x+a)为偶函数 ，则 f(x+a)=f(-x+a)； f(x)是偶函数 ， 则 f(x+a)=f(-x-a). f(x)是 奇 函数与 f(x+a)是 奇 函数的区别 ： f(x)是 奇 函数 ， 则 f(-x-a)=-f(x+a)； f(x+a)为 奇 函数 ， f(-x+a)=-f(x+a). 如 f(2x+1)是奇函数 : f(-2x+1)=-f(2x+1). 原因如下： 令 g(x)=f(2x+1)，即 g(x)是奇函数问题，即 g(-x)=-
14、g(x)，即 f(-2x+1)=-f(2x+1). 例 1.已知 fx() 的定义域为 R，且对任意实数 x， y 满足 f xy f x f y( ) ( ) ( ) ，求证： fx() 是偶函数。 分析：在 f xy f x f y( ) ( ) ( ) 中，令 x y 1 ， 得 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 令 x y 1 ，得 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0 于是 f x f x f f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1故 fx() 是偶函数。 例 2.若函数 y f x f x ( )( (
15、) )0与 y f x ( ) 的图象关于原点对称，求证：函数 y f x ( ) 是偶函数。 21 .22 0 0 1)2 0 0 1(f,2n)n(f,21f ( n )-1)f(n 故即的值是则且如果 )2 0 0 1(f )2 0 0 0(f)5(f )6(f)3(f )4(f)1(f )2(f,2)1(f),y(f)x(f)yx(f 2 (1) (2)(1)fff 2 2 2( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) (6 ) ( 4 ) ( 8 )( 3 ) ( 5 ) (7)f f f f f ff f f ( ) 2nfn21 xx)()( 21 xfxf 0)2()( 2 xfxf提
16、高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 5 证明：设 y f x ( ) 图象上任意一点为 P（ x y0 0， ） ,y f x ( ) 与 y f x ( ) 的图象关于原点对称， P x y( )0 0， 关于原点的对称点 ( ) x y0 0， 在 y f x ( ) 的图象上， 0 0 0 0( ) ( )y f x y f x ， 又 y f x0 0 ( ) ， f x f x( ) ( )0 0 即对于函数定义域上的任意 x 都有 f x f x( ) ( ) ，所以 y f x ( ) 是偶函数。 例 3.已知 )(xfy 是定义在 R 上的不恒为零的函数，
17、且对于任意的 Rba , ，都满足：)()()( abfbafbaf 。判断 )(xfy 的奇偶性，并证明你的结论。 解析：令 1ba ，则 )1(1)1(1)11( fff ，得 0)1( f ； 令 1ba ，则 )1()1()1()1()1()1( fff ，得 0)( f ； 令 1a ， xb 得 )1()()1()1( fxxfxf ，得 )()( xfxf 因此函数 )(xfy 为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。 例 4.已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ） A.x=1 B.x=2 C.x= D.x= 解析： f(2
18、x+1)关于 x=0 对称 ,则 f(x)关于 x=1 对称 ,故 f(2x)关于 2x=1 对称 . 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。 F（ x） =f(2x+1)为 偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1) f(x)关于 x=1 对称。 已知 y=f(x)是偶函数 ，则 f(-2x-1) =f(2x+1). 例 5.已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ，（ 2）存在正常数 a，使 f(a)=1.求证： f(x)是奇函数 . 证明：设 t=x-y,则 ，所以 f(x)为奇函数 . （ 五 ） 单调性 问题 抽象函数的单调性多用定义法解
19、决 例 1.如果奇函数 fx() 在区间 3 7， 上是增函数且有最小值为 5，那么 fx() 在区间 7 3， 上是 A. 增函数且最小值为 5 B. 增函数且最大值为 5 C. 减函数且最小值为 5 D. 减函数且最大值为 5 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解 . 例 2.设函数 ()y f x 的定义域为 R ，且对任意实数 m， n，总有 ( ) ( ) ( )f m n f m f n ，且当 0x 时，0 ( ) 1fx 21 21 )()( 1)()()(1 xfyf yfxfyxf )()()( 1)()()()( 1)()()()(
20、 tfxfyf xfyfyfxf xfyfxyftf 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 6 （ 1）证明： (0) 1f ，且当 0x 时， ( ) 1fx ； （ 2）证明： ()fx在 R 上单调递减 分析：解决抽象函数问题，可借助具体的“模型函数”帮助同学们思考本题的“模型函数”为指数函数，同学们还没有学到它，不过没有关系，利用现有的知识同学们也同样能够解答 证明：（ 1）在 ( ) ( ) ( ) f m n f m f n ， m， n R 中，令 1m ， 0n ，得 (1) (1) (0)f f f ，即(1) (0 ) 1 0ff ，但 (1)f 0，
21、故必有 (0)f 1设 0x ，则 0x，令 mx ， nx ，代入条件式有 (0 ) ( ) ( ) 1f f x f x ，1() ()fx fx ，由 0x 时， 0 ()fx 1 知 x 0 时， 0 ()fx 1，1()fx 1，即当 0x 时， ()fx 1 （ 2）设任意 12xx， R 且 12xx ， 则 210xx， 210 ( ) 1f x x ， 又 2 2 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x f x x f x ，故 2 211() ( ) ( 0 1 )()fx f x xfx ， 21( ) ( )f x f x ，从而证得 (
22、)fx在 R 上单调递减 例 3.设 f（ x）定义于实数集上，当 0x 时， 1)( xf ，且对于任意实数 x、 y，有 )()()( yfxfyxf ，求证： )(xf 在 R 上为增函数。 证明：在 )()()( yfxfyxf 中取 0yx ，得 2)0()0( ff 若 0)0( f ，令 00 yx ， ，则 0)( xf ，与 1)( xf 矛盾 所以 0)0( f ，即有 1)0( f 当 0x 时， 01)( xf ；当 0x 时， 01)(0 xfx ， 而 1)0()()( fxfxf 所以 0)(1)( xfxf又当 0x 时， 01)0( f 所以对任意 Rx ，恒
23、有 0)( xf 设 21 xx ，则 1)(0 1212 xxfxx ， 所以 )()()()()( 11211212 xfxxfxfxxxfxf 所以 )(xfy 在 R 上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 7 例 4. 已知函数 ()fx的定义域为 R ，且对 mnR， ，恒有 ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n ，且1 02f ，当 12x 时， ( ) 0fx （ 1）求证： ()fx
24、是单调递增函数；（ 2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 分析：在学过的函数中一次函数满足上述条件，而一次函数具有单调性，从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明在证明的过程中为了扣紧题设条件，要有一定的变形技巧 （ 1）证明：设任意 12xxR， ，且 12xx ，则 211122xx ，由题意，得 211 02f x x ， 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )f x f x f x x x f x f x x f x f x 2 1 2 1 2 111( ) 1 ( ) 1 ( ) 022f x x f x x f f
25、 x x ， ()fx是单调递增函数 （ 2）解析： ( ) 2 1f x x验证过程同学们可以自己试做一下 例 5.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0, f(x2-x1)0 时， f(x)1,且对于任意实数 x、 y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x)在 R上为增函数。 证明：设 R 上 x11， f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定 ) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f（ 0） =0
26、,令 x0,y=0，则 f(x)=0 与 x0 时， f(x)1 矛盾，所以 f(0)=1， x0时， f(x)10,x0， f(-x)1,由 ，故 f(x)0，从而f(x2)f(x1).即 f(x)在 R 上是增函数。（注意与例 3 的解答相比较，体会解答的灵活性） 例 7.已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、 n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f( )=0,当 x 时， f(x)0.求证： f(x)是单调递增函数； 证明：设 x1 x2,则 x2 x1 ,由题意 f(x2 x1 )0, f(x2) f(x1)=f (x2 x1)+x1 f(x1)=f(x2 x
27、1)+f(x1) 1 f(x1)=f(x2 x1) 1=f(x2 x1)+f( ) 1=f (x2 x1) 0, f(x)是单调递增函数 . 例 8. 定义在 R+上的函数 f(x)满足 : 对任意实数 m,f(xm)=mf(x); f(2)=1。 (1)求证 :f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立 ; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数 ; (3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围 . 解 :(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数 ,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又0)( 1)(1)()()0( xfxfx
28、fxff 得21 2121 21 2121 21提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 8 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y) ，故f(x1)0， f(x2)+f(x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在 1， 1上是增函数。 （ 2）由不等式 f(x+ ) f( )得 ,解得 1x0,即为所求 . （ 3）由以上知 f(x)最大值为 f(1)=1,所以要 f(x) m2 2pm+1 对所有 x 1,1 ,p 1,1 (p是常数 )恒成立，只需 1 m2 2pm+1 恒成立，得实数
29、 m 的取值范围为 m 0 或 m 2p. （ 七 ） 周期性 问题 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 常见结论 : （ 1） f(x+a)=f(x),则 T=a(a 是非零常数 )。 （ 2） f(x+a)=-f(x),则 T=2a(a 是非零常数 )。 1(3) ( ) ()f x a fx ,则 T=2a(a 是非零常数 )。 221( ) ( 1 ) 2 ,21 0 1 ( 0 ) 2 0 ,20,1 00 , ( ) 0 2( 1 ) 8 01 2 2令 其 对 称 轴当 即 时 ， 符 合 题 意
30、；1+k当 时2对 任 意 恒 成 立解 得 -1kf t t k t xk kfkt f tkk 31 2 2 ( 3 ) ( 3 9 2 ) 0时 ， xxk f k f 2x x x ,1221323,1323 xxxx uk 而 xR 23 1.3x xk 122ba bfaf )()(21 11x)( )()( 12 12 xx xfxf 21 11x 112111111211xxxx提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题 10 周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称） 编号 周 期 性 对 称 性 1 T=2 对称轴 是偶函数； 对称中心（
31、 a,0） 是奇函数 2 T= 对称轴 ； 对称中心 ； 3 f(x)= -f(x+a) T=2 f(x)= -f(-x+a)对称中心 4 T=2对称中心 5 f(x)= T=2 f(x)= b-f(-x+a)对称中心 6 f(x)=1- T=3 结论： (1) 函数图象关于两条直线 x=a， x=b 对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=2|a-b| (2) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线 x=a，及点 M(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 T=4|a-b| (4) 应
32、注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别 : y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 对称； y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于 0，解得的 x 为对称轴） 例 1. 已知函数 满足 ，求 的值。 解：已知式即在对称关系式 中取 ，所以函数 的图象关于点（ 0， 2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 的图象关于点（ 2002， 0）对称。 axfaxf a axfaxf ax y f x a axfaxf y f x a xbfxaf ab xbfxaf 2bax xbfxaf )0,2( baa 0,2a xbfxaf ab xbfxaf 0,2baxf1 a 2,2ba 0)(1 xfaxf a2abx )0,2( ab)(xfy 20 02)()( xfxf )2002()( 11 xfxf bxafxaf 2)()( 20020 ba ， )(xfy)(1 xfy
