1、导数单元专项练习 一选择题（共 12 小题） 1定义：如果函数 f（ x）在 a， b上存在 x1， x2（ a x1 x2 b）满足 ，则称函数 f（ x）是 a， b上的 “双中值函数 ”已知函数 f（ x） =x3 x2+a 是 0， a上的 “双中值函数 ”，则实数 a 的取值范围是（ ） A B（ ） C（ ， 1） D（ ， 1） 2曲线 y=x3 x+2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A ， +） B（ ， +） C（ ， +） D ， +） 3已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4已知 f（ x） =aln
2、x+ x2（ a 0），若对任意两个不等的正实数 x1， x2，都有 2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1 B（ 1， +） C（ 0， 1） D 1， +） 5若在曲线 f（ x， y） =0（或 y=f（ x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线 f（ x， y）=0（或 y=f（ x）的自公切线，下列方程的曲线： x2 y2=1； y=3sinx+4cosx； y=x2 |x|； |x|+1=，存在自公切线的是（ ） A B C D 6已知定义在实数集 R 的函数 f（ x）满足 f（ 1） =4，且 f（ x）导函数 f（ x） 3，则不等式 f（ lnx）
3、 3lnx+1 的解集为（ ） A（ 1， +） B（ e， +） C（ 0， 1） D（ 0， e） 7设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） +xf（ x） x2，则不等式（ x+2014） 2f（ x+2014） 4f（ 2） 0 的解集为（ ） A（ ， 2012） B（ 2012， 0） C（ ， 2016） D（ 2016， 0） 8已知函数 满足 f（ x） f（ x），则 f（ 1）与 ef（ 0）的大小关系为（ ） A f（ 1） =ef（ 0） B f（ 1） ef（ 0） C f（ 1） ef（ 0） D不能确定 9
4、已知函数 f（ x） =sinx+lnx，则 f（ 1）的值为（ ） A 1 cos1 B 1+cos1 C cos1 1 D 1 cos1 10 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时， f（ x） g（ x） +f（ x） g（ x） 0且 f（ 1） =0 则不等式 f（ x） g（ x） 0 的解集为（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ 1， 0） （ 0， 1） C（ ， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 0， 1） 11要得到函数 的导函数 f（ x）的图象，只需将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位，再把各点的纵坐标
5、伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B向左平移 个 单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍（横坐标不变） C向右平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） D向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 12函数 y=sin（ 2x2+x）导数是（ ） A y=cos（ 2x2+x） B y=2xsin（ 2x2+x） C y=（ 4x+1） cos（ 2x2+x） D y=4cos（ 2x2+x） 二解答题（共 10 小题） 13已知函数 f（ x） =mx3 3（ m+1） x2+（ 3m+6） x+1，其中 m 0 （ 1）若 f（ x）
6、的单调增区间是（ 0， 1），求 m的值； （ 2）当 x 1， 1时，函数 y=f（ x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 m的取值范围 14已知函数 f（ x） =ax3+bx2的图象经过点 M（ 1， 4），曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增，求 m的取值范围 15已知函数 f（ x） =x2+lnx ax 在（ 0， 1）上是增函数 （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）设 g（ x） =e2x aex 1， x 0， ln3，求 g（ x）的最小值 16已知函数 f
7、（ x） =x ax2 lnx（ a 0） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 2，求 a 的值以及切线方程； （ 2）若 f（ x）是单调函数，求 a 的取值范围 17设函数 f（ x） =xea x+bx，曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程为 y=（ e 1） x+4， （ ）求 a， b 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间 18已知函数 f（ x） =xlnx， g（ x） = x2+ax 3 （ ）求函数 f（ x）的最小值； （ ）对一切 x （ 0， +）， 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）
8、证明：对一切 x （ 0， +），都有 成立 19已知函数 f（ x） =ax2+blnx 在 x=1 处有极值 （ ）求 a， b 的值； （ ）求函数 y=f（ x）的单调性 20已知函数 ， g（ x） =x+lnx，其中 a 0 （ 1）若 x=1 是函数 h（ x） =f（ x） +g（ x）的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的 x1， x2 1， e（ e 为自然对数的底数）都有 f（ x1） g（ x2）成立，求实数 a 的取值范围 21已知函数 f（ x） = x2+lnx （ 1）求函数 f（ x）在 1， e上的最大值，最小值； （ 2）求证：在区间 1， +）
9、上，函数 f（ x）的图象在函数 g（ x） = x3图象的下方 22已知函数 f（ x） =lnx mx+m， m R （ ）求函数 f（ x）的单调区间 （ ）若 f（ x） 0 在 x （ 0， +）上恒成立 ，求实数 m的取值范围 （ ）在（ ）的条件下，任意的 0 a b， 参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题） 1（ 2016宜春二模）定义：如果函数 f（ x）在 a， b上存在 x1， x2（ a x1 x2 b）满足 ，则称函数 f（ x）是 a， b上的 “双中值函数 ”已知函数 f（ x） =x3 x2+a 是 0， a上的 “双中值函数 ”，则实数 a 的取值范围
10、是（ ） A B（ ） C（ ， 1） D（ ， 1） 【分析】 根据题目给出的定义可得 f（ x1） =f（ x2） = =a2 a，即方程 3x2 2x=a2 a 在区间（ 0， a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意可知， f（ x） =x3 x2+a， f（ x） =3x2 2x 在区间 0， a存在 x1， x2（ a x1 x2 b）， 满足 f（ x1） =f（ x2） = =a2 a， f（ x） =x3 x2+a， f（ x） =3x2 2x， 方程 3x2 2x=a2 a 在区间（ 0， a）有两个不相等的解 令 g（ x） =3x2
11、 2x a2+a，（ 0 x a） 则， 解得； 实数 a 的取值范围是（ ， 1） 故选： C 【点评】 本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题 2（ 2016 春 邯郸期中）曲线 y=x3 x+2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A ， +） B（ ， +） C（ ， +） D ， +） 【分析】 先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线 y=x3 x+2 上的任意一点 P处切线的斜率的取值范围 【解答】 解：由题意， f（ x） =x3 x+2， 曲线 y=x3 x+2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是
12、， 故选 D 【点评】 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导函数，并确定函数的值域 3（ 2014西藏一模）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标 【解答】 解：已知曲线 的一条切线的斜率为 ， = ， x=1，则切点的横坐标为 1， 故选 A 【点评】 函数 y=f（ x）在 x=x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（ x）在点 P（ x0， y0）处的切线的斜率应熟练掌握斜率与导数的关系 4（ 2014上海二模）已知 f（ x） =alnx+ x2（
13、 a 0），若对任意两个不等的正实数 x1， x2，都有 2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1 B（ 1， +） C（ 0， 1） D 1， +） 【分析】 先将条件 “对任意两个不等的正实数 x1， x2，都有 2 恒成立 ”转换成当 x 0 时， f（ x） 2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出 a 的范围即可 【解答】 解：对任意两个不等的正实数 x1， x2，都有 2 恒成立 则当 x 0 时， f（ x） 2 恒成立 f（ x） = +x 2 在（ 0， +）上恒成立 则 a （ 2x x2） max=1 故选 D 【点评】 本题主要考查了导数的几何意义，以及函数
14、恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题 5（ 2014南靖县校级模拟）若在曲线 f（ x， y） =0（或 y=f（ x）上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线 f（ x， y） =0（或 y=f（ x）的自公切线，下列方程的曲线： x2 y2=1； y=3sinx+4cosx； y=x2 |x|； |x|+1= ，存在自公切线的是（ ） A B C D 【分析】 通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，从而得到结论 【解答】 解： x2 y2=1 为等轴双曲线，不存在自公切线，故 不存在；函数 y=3s
15、inx+4cosx 的一条自公切线为 y=5，故存在； 函数 y=x2 |x|的图象如下左图显然满足要求，故 存在；对于方程 |x|+1= ，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故 不存在 故选 C 【点评】 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自 公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合的思想，属于中档题 6（ 2016延安校级二模）已知定义在实数集 R 的函数 f（ x）满足 f（ 1） =4，且 f（ x）导函数 f（ x） 3，则不等式 f（ lnx） 3lnx+1 的解集为（ ） A（ 1， +） B（ e， +） C（ 0， 1）
16、D（ 0， e） 【分析】 构造函数 g（ x） =f（ x） 2x 1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论 【解答】 解：设 t=lnx， 则不等式 f（ lnx） 3lnx+1 等价为 f（ t） 3t+1， 设 g（ x） =f（ x） 3x 1， 则 g（ x） =f（ x） 3， f（ x）的导函数 f（ x） 3， g（ x） =f（ x） 3 0，此时函数单调递减， f（ 1） =4， g（ 1） =f（ 1） 3 1=0， 则当 x 1 时， g（ x） g（ 1） =0， 即 g（ x） 0，则此时 g（ x） =f（ x） 3x 1 0， 即不等式 f（ x） 3
17、x+1 的解为 x 1， 即 f（ t） 3t+1 的解为 t 1， 由 lnx 1，解得 0 x e， 即不等式 f（ lnx） 3lnx+1 的解集为（ 0， e）， 故选： D 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题 7（ 2016荆州模拟）设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） +xf（ x） x2，则不等式（ x+2014） 2f（ x+2014） 4f（ 2） 0 的解集为（ ） A（ ， 2012） B（ 2012， 0） C（ ， 2016） D（
18、 2016， 0） 【分析】 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结 论 【解答】 解：由 2f（ x） +xf（ x） x2，（ x 0）， 得： 2xf（ x） +x2f（ x） x3， 即 x2f（ x） x3 0， 令 F（ x） =x2f（ x）， 则当 x 0 时， 得 F（ x） 0，即 F（ x）在（ ， 0）上是减函数， F（ x+2014） =（ x+2014） 2f（ x+2014）， F（ 2） =4f（ 2）， 即不等式等价为 F（ x+2014） F（ 2） 0， F（ x）在（ ， 0）是减函数， 由 F（ x+2014）
19、 F（ 2）得， x+2014 2， 即 x 2016， 故选： C 【点评】 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 8（ 2016聊城校级模拟）已知函数 满足 f（ x） f（ x），则 f（ 1）与 ef（ 0）的大小关系为（ ） A f（ 1） =ef（ 0） B f（ 1） ef（ 0） C f（ 1） ef（ 0） D不能确定 【分析】 引入辅助函数 g（ x），在函数解析式中取 x 等于 0 和 1 求出 g（ 1）和 g（ 0），然后把函数 g（ x）求导判断其单调性，运用函数的单调性即可得到正确结论 【解答】 解：令 ，则
20、f（ 1） =eg（ 1）， ef（ 0） =eg（ 0）， 而 = ，因为 f（ x） f（ x），所以 g（ x） 0， 所以函数 g（ x）为增函数，所以 g（ 1） g（ 0），故 f（ 1） ef（ 0） 故选 C 【点评】 本题考查了导数的运算，考查了不等关系和不等式，训练了利用导函数判断函数单调性的方法，是中档题 9（ 2012 春 宿松县校级期末）已知函数 f（ x） =sinx+lnx，则 f（ 1）的值为（ ） A 1 cos1 B 1+cos1 C cos1 1 D 1 cos1 【分析】 求函数在某点处的导数值，先求导函数 【解答】 解：因为 f（ x） =cosx+
21、，则 f（ 1） =cos1+1 故选 B 【点评】 本题主要考查导数加、减法的运算法则 10（ 2014 春 黄山期末） f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时， f（ x） g（ x） +f（ x） g（ x） 0 且 f（ 1） =0 则不等式 f（ x） g（ x） 0 的解集为（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ 1， 0） （ 0， 1） C（ ， 1） （ 1， +） D（ ， 1） （ 0， 1） 【分析】 构造函数 h（ x） =f（ x） g（ x），由已知得到当 x 0 时， h（ x） 0，所以函数 y=h（ x）在（ ，
22、 0）单调递减，又因为 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得到函数 y=h（ x）为 R 上的奇函数，得到函数 y=h（ x）在（ 0， +）单调递减，画出函数 h（ x）的草图，结合图象得到不等式的解集 【解答】 解：设 h（ x） =f（ x） g（ x）， 因为当 x 0 时， f（ x） g（ x） +f（ x） g（ x） 0， 所以当 x 0 时， h（ x） 0， 所以函数 y=h（ x）在（ ， 0）单调递减， 又因为 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 所以函数 y=h（ x）为 R 上的奇 函数， 所以函数 y=h（
23、x）在（ 0， +）单调递减， 因为 f（ 1） =0， 所以函数 y=h（ x）的大致图象如下： 所以等式 f（ x） g（ x） 0 的解集为（ 1， 0） （ 1， +） 故选 A 【点评】 本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题 11（ 2014榆林模拟）要得到函数 的导函数 f（ x）的图象，只需将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B向左平移 个 单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍（横坐标不变） C向右平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横
24、坐标不变） D向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 【分析】 由题意可得 f（ x） =2cos（ 2x+ ） = =2sin2（ x+ ） + ，而由 y=sin（ 2x+ ）y=2sin2（ x+ ） + =f（ x），分析选项可判断 【解答】 解： 的导函数 f（ x） =2cos（ 2x+ ） = =2sin2（ x+ ） + 而由 y=sin（ 2x+ ） y=2sin2（ x+ ） + =f（ x） 故选 D 【点评】 本题主要考查三角函数的平移复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减 12（ 2010永州校级模拟）函数 y=sin
25、（ 2x2+x）导数是（ ） A y=cos（ 2x2+x） B y=2xsin（ 2x2+x） C y=（ 4x+1） cos（ 2x2+x） D y=4cos（ 2x2+x） 【分析】 设 H（ x） =f（ u）， u=g（ x），则 H（ x） =f（ u） g（ x） 【解答】 解：设 y=sinu， u=2x2+x， 则 y=cosu， u=4x+1， y=（ 4x+1） cosu=（ 4x+1） cos（ 2x2+x）， 故选 C 【点评】 牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用 二解答题（共 10 小题） 13（ 2016 春 牡丹江校级期末）已知函数 f（
26、x） =mx3 3（ m+1） x2+（ 3m+6） x+1，其中 m 0 （ 1）若 f（ x）的单调增区间是（ 0， 1），求 m 的值； （ 2）当 x 1， 1时，函数 y=f（ x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 m 的取值范围 【分析】 （ 1）已知函数 f（ x） =mx3 3（ m+1） x2+（ 3m+6） x+1 其中 m 0，对其进行求导，因为 f（ x）的单调增区间是（ 0， 1），说明 f（ x） 0，在（ 0， 1）上恒成立，从而求出 m 的值； （ 2）设 M（ x0， y0）为 y=f（ x）（ 1 x 1）图象上任意一点，切线斜率 K=f（ x）
27、=3m 6（ m+1） x0+（ 3m+6） 3m，将问题转化为 3m 6（ m+1） x0+6 0 在 x0 1， 1， m 0）则（ g（ x0） min 0，再利用导数研究函数的最值问题，求 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =mx3 3（ m+1） x2+（ 3m+6） x+1， m 0， f（ x） =3mx2 6（ m+1） x+（ 3m+6）（ m 0） 因为 f（ x）的增区间是（ 0， 1） 则 f（ x） =3mx2 6（ m+1） x+（ 3m+6） 0 的解集为（ 0， 1） 所以 f（ 0） =3m+6=0， f（ 1） =3m 6（ m+1） +3
28、m+6=0 解得 m= 2 （ 4 分） （ 2）设 M（ x0， y0）为 y=f（ x）（ 1 x 1）图象上任意一点 切线斜率 K=f（ x） =3m 6（ m+1） x0+（ 3m+6） 3m， 即 3m 6（ m+1） x0+6 0 在 x0 1， 1， m 0） 设 g（ x0） =3m 6（ m+1） x0+6，则 g（ 1） 0 且 g（ 1） 0， 即 3m+6（ m+1） +6 0 解得 m ，又 3m 6（ m+1） +6 0 解得 m 0， 综上所述： m 的取值范围：（ ， 0） 【点评】 此题主要利用导数研究函数的单调性及其最值问题，第二问用到了转化的思想，这是一道
29、综合性比较强的题，为一道中档题； 14（ 2015沈阳模拟）已知函数 f（ x） =ax3+bx2 的图象经过点 M（ 1， 4），曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直 （ 1）求实数 a， b 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增，求 m 的取值范围 【分析】 （ 1）将 M 的坐标代入 f（ x）的解析式，得到关于 a， b 的一个等式；求出导函数，求出 f（ 1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为 1，列出关于 a， b 的另一个等式，解方程组，求出 a， b 的值 （ 2）求出 f（ x），令 f（ x） 0，求出函数的单调递增区间，
30、据题意知 m， m+1（ ， 2 0， + ），列出端点的大小，求出 m 的范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =ax3+bx2 的图象 经过点 M（ 1， 4）， a+b=4式 （ 1 分） f（ x） =3ax2+2bx，则 f（ 1） =3a+2b（ 3 分） 由条件 式 （ 5 分） 由 式解得 a=1， b=3 （ 2） f（ x） =x3+3x2， f（ x） =3x2+6x， 令 f（ x） =3x2+6x 0 得 x 0 或 x 2， （ 8 分） 函数 f（ x）在区间 m， m+1上单调递增 m， m+1（ ， 2 0， + ） m 0 或 m+1 2 m 0 或 m
31、 3 【点评】 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为 1 15（ 2015衡阳县校级一模）已知函数 f（ x） =x2+lnx ax 在（ 0， 1）上是增函数 （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）设 g（ x） =e2x aex 1， x 0， ln3，求 g（ x）的最小值 【分析】 （ 1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于 0 恒成立，分离出 a，利用基本不等式求出函数的最小值，令 a 小于等于最小值即可得到 a 的范围 （ 2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值 【
32、解答】 解：（ 1） ， f（ x）在（ 0， 1）上是增函数， 在（ 0， 1）上恒成立， 即 恒成立， 只需 即可 （当且仅当 时取等号）， （ 2）设 ex=t， x 0， ln3， t 1， 3 设 ， 其对称轴为 ，由（ 1）得 ， 则当 ，即 时， h（ t）的最小值为 当 ，即 a 2 时， h（ t）的最小值为 h（ 1） = a 所以，当 时， g（ x）的最小值为 ， 当 a 2 时， g（ x）的最小值为 a 【点评】 解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于） 0 恒成立；解决不等式恒 成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换
33、元法解题时，一定注意新变量的范围 16（ 2013铁岭模拟）已知函数 f（ x） =x ax2 lnx（ a 0） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 2，求 a 的值以及切线方程； （ 2）若 f（ x）是单调函数，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）先求函数 f（ x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出 a 值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可 （ 2）对函数求导，要讨论函数的单调性，只要讨论 a 的范围再判断 f（ x）的符号即得 【解答】 解：（ 1） f（ x） =1 2ax （ 2 分） 由题设， f（ 1） = 2a= 2， a=1，
34、此时 f（ 1） =0，切线方程为 y= 2（ x 1），即 2x+y 2=0 （ 5 分） （ 2） f（ x） = ， 令 =1 8a 当 a 时， 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）单调递减 （ 10 分） 当 0 a 时， 0，方程 2ax2 x+1=0 有两个不相等的正根 x1， x2， 不妨设 x1 x2， 则当 x （ 0， x1） （ x2， +）时， f（ x） 0，当 x （ x1， x2）时， f（ x） 0， 这时 f（ x）不是单调函数 综上， a 的取值范围是 ， +） （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几
35、何意义在切线的求解中的应用，属于中档试题 17（ 2016北京）设函数 f（ x） =xea x+bx，曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程为 y=（ e 1） x+4， （ ）求 a， b 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间 【分析】 （ ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f（ 2），建立方程组关系即可求 a， b 的值； （ ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f（ x）的单调区间 【解答】 解：（ ） y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程为 y=（ e 1） x+4， 当 x=2 时， y=2（ e 1） +
36、4=2e+2，即 f（ 2） =2e+2， 同时 f（ 2） =e 1， f（ x） =xea x+bx， f（ x） =ea x xea x+b，则 ，即 a=2， b=e； （ ） a=2， b=e； f（ x） =xe2 x+ex， f（ x） =e2 x xe2 x+e=（ 1 x） e2 x+e， f（ x） = e2 x（ 1 x） e2 x=（ x 2） e2 x， 由 f（ x） 0 得 x 2，由 f（ x） 0 得 x 2， 即当 x=2 时， f（ x）取得极小值 f（ 2） =（ 1 2） e2 2+e=e 1 0， f（ x） 0 恒成立， 即函数 f（ x）是增函数
37、， 即 f（ x）的单调区间是（ ， +） 【点评】 本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强 18（ 2016白银模拟）已知函数 f（ x） =xlnx， g（ x） = x2+ax 3 （ ）求函数 f（ x）的最小值； （ ）对一切 x （ 0， +）， 2f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）证明：对一切 x （ 0， +），都有 成立 【分析】 （ I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值 （ II）若 2f（ x） g（ x），
38、则 a 2lnx+x+ ，构造函数 h（ x） =2lnx+x+ ，则 a hmin（ x），进而得到实数 a 的取值范围； （ ）对一切 x （ 0， +），都有 成立，即 ，结合（ 1）中结论可知 lnxx ，构造新函数 m（ x） = ，分析其最大值，可得答案 【解答】 解：（ ） f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x）的导数 f（ x） =1+lnx 令 f（ x） 0，解得 x ； 令 f（ x） 0，解得 0 x 从而 f（ x）在（ 0， ）单调递减，在（ ， +）单调递增 所以，当 x= 时， f（ x）取得最小值 （ II）若 2f（ x） g（ x），则 a 2l
39、nx+x+ ， 设 h（ x） =2lnx+x+ ， 则 h（ x） = +1 = = x （ 0， 1）时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， x （ 1， +）时， h（ x） 0， h（ x）单调递增， h（ x） min=h（ 1） =4 故 a 4 即实数 a 的取值范围为（ ， 4 证明：（ III）若 则 ， 由（ I）得： lnxx ，当且仅当 x= 时，取最小值； 设 m（ x） = ，则 m（ x） = ， x （ 0， 1）时， m（ x） 0， m（ x）单调递增， x （ 1， +）时， m（ x） 0， m（ x）单调递减， 故当 x=1 时， m（ x）取最
40、大值 故对一切 x （ 0， +），都有 成立 【点评】 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题 中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键 19（ 2016 春 乐山校级期中）已知函数 f（ x） =ax2+blnx 在 x=1 处有极值 （ ）求 a， b 的值； （ ）求函数 y=f（ x）的单调性 【分析】 （ ）由函数 f（ x） =ax2+blnx，知 ，由 f（ x）在 x=1 处有极值 ，知 ，由此能求出 a， b 的值 （ ）由 f（ x） = ，其定义域为（ 0， +）， f（ x） =x = 列表讨论，能求出函数 f（ x）的单调区间 【
41、解答】 解：（ ） 函数 f（ x） =ax2+blnx， ， f（ x）在 x=1 处有极值 ， ，解得 a= ， b= 1 （ ）由（ ）得 f（ x） = ，其定义域为（ 0， +）， 且 f（ x） =x = 当 x 变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表： 函数 f（ x）的单调减区间是（ 0， 1），单调增区间是（ 1， +） 【点评】 本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用 20（ 2016永州模拟）已知函数 ， g（ x） =x+lnx，其中 a 0 （ 1）若 x=1 是函数 h（ x）
42、=f（ x） +g（ x）的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的 x1， x2 1， e（ e 为自然对数的底数）都有 f（ x1） g（ x2）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （ 1）通过 、 x=1 是函数 h（ x）的极值点及 a 0，可得 ，再检验即可； （ 2）通过分析已知条件等价于对任意的 x1， x2 1， e都有 f（ x） min g（ x） max结合当 x 1， e时及可知 g（ x） max=g（ e） =e+1 利用 ，且 x 1， e， a 0，分 0 a 1、 1 a e、 a e 三种情况讨论即可 【解答】 解：（ 1） ， g（ x） =x+lnx， ，其定义域为（ 0， +）， x=1 是函数 h（ x）的极值点， h（ 1） =0，即 3 a2=0 a 0， 经检验当 时， x=1 是函数 h（ x）的极值点， ； （ 2）对任意的 x1， x2 1， e都有 f（ x1） g（ x2）成立等价于 对任意的 x1， x2 1， e都有 f（ x） min g（ x） max 当 x 1， e时， 函数 g（ x） =x+lnx 在 1， e上是增函数
