1、 导数题型 目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合 问题 13.数列不等式的证明 导数专题一 导数几何意义 一 .知识点睛 导数的几何意义：函数 y=f（ x）在点 x=x0 处的导数 f（ x0）的几何意义是曲线在点 x=x0 处切线的斜率。 二 .方法点拨： 1.求切线 若点是切点 ： (1)切点横坐标
2、x0 代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数 f (x)，把 x0 代入导数求得 函数 y f(x)在点 x=x0 处的导数 f (x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程： y y0 f(x0)(x x0) 点（ x0， y0）不是切点求切线：（ 1）设曲线上的切点为 (x1， y1)； (2)根据切点写出切线方程 y y1 f (x1)(x x1) (3)利用点（ x0， y0）在切线上求出（ x1， y1） ； (4)把（ x1， y1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程 ，切点的关系列方程：切线斜率 k=f (x0) 切点在曲线上切点在切线上 三常考题型：
3、 (1)求切线 (2)求切点 (3)求参数求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四跟踪练习 1.（ 2016 全国卷）已知 f(x)为偶函数，当 x 0 时， f(x)=f（ -x） +3x，则曲线 y=f（ x）在点（ 1， -3）处的切线方程是 2.（ 2014 新课标全国）设曲线 y=ax-ln（ x+1）在点（ 0,0）处的切线方程为 y=2x，则 a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（ 2016 全国卷 ）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（ x+1）的切线，则 b= 4.（ 2014 江西）若曲线 y=e-
4、x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0，则点 P 的坐标是 5.（ 2014 江苏）在平面直角坐标系中，若曲线 y=ax2+xb （ a， b 为常数）过点 P（ 2， -5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b= 6.（ 2012 新课标全国）设点 P 在曲线 y=21 ex上，点 Q 在曲线 y=ln（ 2x）上，则 PQ的最小值为 A.1-ln2 B. 2 （ 1-ln2） C.1+ln2 D. 2 (1+ln2) 7.若存在过 点（ 1,0）的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 415 x-9 都相切，则 a 等于 8.抛物线 y=x
5、2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 A. 2 B.827C. 22 D. 1 9.已知点 P 在曲线 y=14xe上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是 10.已知函数 f（ x） =2x3-3x.（ 1）求 f（ x）在区间 -2， 1上的最大值；（ 2） 若过点 P（ 1， t）存在 3 条直线与曲线 y=f（ x）相切，求 t 的取值范围 . 11. 已知函数 f（ x） =4x-x4， x R. (1) 求 f（ x）的单调区间 (2) 设曲线 y=f（ x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（ x），求证： 对于任意的实数 x
6、，都有 f（ x） g（ x） (3) 若方程 f（ x） =a（ a 为实数）有两个实数根 x1， x2，且 x1 x2，求证： x2-x1 -3a +431. 导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一 知识点睛 导数四则运算法则： f(x) g（ x） =f (x) g (x) f(x) g（ x） =f (x) g(x) +f(x) g (x) )()(xgxf = 2g(x) (x)f(x)g(x)g(x)f 二 方法点拨 在解抽象不等式或比 较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。 方法一 1：移项，对含有导数的
7、不等式进行移项处理，使不等式右边归 0（因为导数与 0 的大小决定函数单调性） 2：观察，若不等式左边是只含有 f (x)的式子，可以用和差函数求导法则构造 若不等式左边含有 f (x)和 f(x)，并且中间是 +， 可以用积函数求导法则构造 若不等式左边含有 f (x)和 f(x)，并且中间是 -，可以用商函数求导法则构造 方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边 或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以 x为主元的新函数。 三常考题型：构造新函数解不等式或比较大小 四跟踪练习 1. (2015 广东调研 )函数
8、f（ x）的定义域为 R， f（ -1） =2，对任意 x R,f（ x） 2，则 f（ x） 2x+4 的解集为 （ 和差） 2.(2016 贵州遵义 )设函数 f（ x）是函数 f（ x）的导函数，对任意 x R，有 f（ x） +f（ x）0，则 x1 x2 时，结论正确的是（积） A: ex2f（ x1） ex1f（ x2） B: ex2f（ x1） ex1f（ x2） C: ex1f（ x1） ex2f（ x2） D: ex1f（ x1） ex2f（ x2） 3.若定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x） 1， f（ 0） =4，则不等式 f（ x）xe3+1的
9、解集为 （ 积与差） 4.若函数 y=f（ x）在 R 上可导且满足不等式 xf（ x） f（ x）恒成立，且常数 a， b 满足 a b，则下列不等式一定成立的是（ 积） A: af（ b） bf(a) B:af(a) b(b) C: af(a) bf(b) D: a(b) b(a) 5.（ 2015 济南）已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， f（ x）为 f（ x）的导函数，且满足 f（ x） xf（ x），则不等式 f（ x+1）（ x 1） f（ x2 1）的解集是 （ 积） 6.(2015 新 课标全国卷 )设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f
10、（ -1） =0，当 x 0 时， xf（ x） - f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（商） A.(-， -1)（ 0,1） B.（ -1,0）（ 1， +） C.(-， -1)（ -1,0） D.（ 0,1）（ 1， +） 7.设函数是 R 上的奇函数，且 f（ -1） =0，当 x 0 时，（ x2+1） f（ x） -2xf(x) 0,则不等式 f（ x） 0 的解集为 （商） 8.已知定义在 R 上的函数 f（ x），满足 3f（ x） f（ x）恒成立，且 f（ 1） =e3,则下列结论正确的是 （商） A.f（ 0)=1 B.f(0) 1 C.f(2
11、) e6 D.f(2) e6 9.已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 2016f（ -x） f（ x）恒成立，且 f（ 1） =e-2016,则下列结论正确的是 （商） A.f(2016) 0 B.f(2016) 22016e C.f(2) 0 D。 f（ 2） e-4032 10.已知定义在（ 0， +）上的函数 f（ x）的导函数 f（ x）满足 xf（ x） +f（ x） = xxln ，且 f（ e） =e1 ，其中 e 为自然对数的底数，则不等式 f（ x） +e x+e1 的解集是（） A.（ 0， e1 ） B. （ 0， e） C.（ e1 ， e） D.（ e1 ，
12、+） 11.已知函数 F（ x） =lnx（ x 1）的图像与 G（ x） 的图像关于直线 y=x 对称，设函数 f（ x）的导函数 f（ x） =xxfx xG )(34)( （ x 0） ，且 f（ 3） =0，则当 x 0 时， f（ x） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既无极大值，也无极小值 D.既有极大值，也有极小值 导数专题三 利用导数研究函数单调性 一 知识点睛 1.函数的导数与单调性之间的联系： 一般地，设函数 y=f（ x）在某个区间内可导，如果在这个区间内有 f (x) 0，那么函数y=f（ x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 f (x) 0，
13、那么函数 y=f（ x）为这个区间内的减函数。 反过来，如果可导函数 y=f（ x）在某个区间内单调递增，则在这个区间内 f (x) 0 恒成立；如单调递减，则在这个区间内 f (x) 0 恒成立 2.利用导数研究函数的单调性步骤： 1.求定义域 2.求导 3.令 f (x) 0，解不等式得增区间；令 f (x) 0 解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用，不能用连接。 二 方法点拨 1.已知具体的函数确定它的单调区间，直接求导解不等式，确定单调区间 2.已知含参数的函数单调性，求参数的值或参数范围，处理方法有：分离参数，转化为 f (x)（ 0）恒成立问题导数含参
14、分类讨论 3.已知含参数的函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，分类讨论的 4 个标准：二次项系数的正负 f (x)=0根的个数 f (x)=0根的大小 f (x)=0的根与给定 区间的位置关系，另外需要优先判断能否利用因式分解法求出根 4.已知函数有 n 个单调区间，求参数范围，等同于方程 f (x)=0 在此区间上有 n-1 个根，并且根不是重根。 5.已知函数在给定区间上不单调 f (x)在此区间上有异号零点 f (x)=0 有根（且根不是重根） 6.已知函数在给定区间上有单调区间，等同于 f (x) 0 或 f (x) 0 在给定区间上有解 常考题型：利用导数研究已知函数的单调
15、性导数含参求单调区间已知含参函数单调性求参数范围 函数有几个单调区间的问题 三 跟踪练习 1.已知函数 f（ x） =kx3+3（ k-1） x2-k2+1（ k 0）的单调减区间是（ 0,4），则 k 的值是 . 2.（ 2016 全国卷）若函数 f（ x） =x-31 sin2x+asinx 在（ -， +）单调递增，则 a 的取值范围是 A.-1， 1 B.-1， 31 C.-31 ， 31 D.-1， -31 3.(2015 四川 )如果函数 f（ x） =21 （ m-2） x2+（ n-8） x+1（ m 0， n 0）在区间 21 ,2上单调递减，那么 mn 的最大值为 A.16
16、 B.18 C.25 D. 281 4.（ 2014 新课标全国）若函数 f（ x） =kx-lnx 在区间（ 1， +）单调递增，则 k 的取值范围是 A.(-， -2 B.(-， -1 C.2， + ) D.1， + 5.(2016 全国卷第一小题 )已知函数 f（ x） =（ x-2） ex+a（ x-1） 2，讨论函数 f（ x）的单调性 . 6.设函数 f（ x)=ax2+bx+k(k 0)在 x=0 处取得极值，且曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. （）求 a， b 的值 （）若函数 g（ x） = )(xfxe ，讨论 g（ x）的
17、单调性 . 7.已知函数 f（ x） =x3+（ 1-a） x2-a（ a+2） x+b（ a， b R） （）若函数 f（ x）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是 -3，求 a， b 的值 . （）若函数 f（ x）在区间（ -1,1）上不单调，求 a 的取值范围 . 8.设 a 为实数，函数 f（ x） =ax3-ax2+（ a2-1） x 在（ -， 0）和（ 1， +）都是增函数，求 a的取值范围 . 9. 设 f（ x） =ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求出这 3 个单调区间 . 10.已知函数 f（ x） =x+alnx 在 x=1 处的切线与直线 x+
18、2y=0 垂直，函数 g（ x） =f(x)+21 x2-bx (1).求实数 a 的值 (2).若函数 g(x)存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围 (3).设 x1， x2（ x1 x2）是函数 g（ x）的两个极值点，若 b 27 ，求 g（ x1） -g（ x2）的最小值 导数专题四 利用导数研究函 数的极值和最值 一 知识点睛 1.可导函数的极值： 如果函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小 ,f (a)=0；而且在点 x=a 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，我们就把 a 叫做函数的极小值点， f(a)叫做函数
19、的极小值 . 如果函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大， f (b)=0；而且在点 x=b 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，我们就把 b 叫做函数的极大值点， f(b)叫做函数的极大值 . 注意： .可导函数 y=f（ x）在点 x0 取得极值的充要条件是 f (x0)=0，且在点 x0 左侧和右侧，f (x)异号 .导数为 0 的点不一定是极值点，比如 y=x3 即导数为 0 的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。 .若极值点处的导数存在，则一定为 0 2.求可导函数极值的步骤： .确定函数的定义域求导 f (x
20、)求方程 f (x)=0 的根把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查 f (x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（ x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（ x）在这个根处取得极小值。 二 方法 点拨： 1.已知具体函数求极值 2.已知含参函数的极值点和极值，确定参数：极值点处导数为 0由极值点，极值组成的坐标在曲线上，由这两点建立有关参数的方程，求出参数值以后还须检验，看参数是否符合函数取得极值的条件。 3.已知含参函数极值点个数，确定参数范围 : 函数 f（ x）的极值点 导函数 f (x) 的异号零点 f (x)=0 的根 函数 y=k 与函数 y=g（ x）图像交点
21、的横坐标注意：导函数 f (x)的零点并不是函数 f（ x）的极值点，导函数 f (x)的异 号零点才对应函数 f（ x）的极值点。因此方程 f (x)=0 的根及函数 y=k 与函数 y=g（ x）图像交点的横坐标，必须对应 f (x) 的异号零点。 方法总结：解决函数的零点，极值点，及方程根的关系问题时，优先考虑分离参数法，若分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（ 1）研究函数图像与 X 轴的位置关系研究非水平的动直线（定点直线系或者斜率不为 0 的平行直线系）与固定函数曲线的位置关系研究动态曲线与曲线的位置关系。 4.含参数的函数极值（或最值）问题常在以下情
22、况下需要分类讨论： （ 1）导数为 0 时自变量的大小不确定需要讨论（ 2）导数为 0 时自变量是否在给定区间内不确定需要讨论（ 3）端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论（ 4）参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论。 常考题型：已知函数的解析式求极值根据极值点和极值求参数根据极值个数求参数范围（ 4）求极值函数的最值 三跟进练习 1.（ 2016 四川）已知 a 为函数 f（ x） =x3-12x 的极小值点，则 a= A.-4 B.-2 C.4 D.2 2.（ 2015 东北八校月考）已知函数 f（ x） =x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值，其
23、图像在 x=1 处的切线平行于直线 6x+2y+5=0，则 f（ x）的极大值与极小值之差为 3.（ 2016 山东模拟）已知函数 f（ x） = x xln1 ， a 0，若函数 f（ x）在区间（ a， a+ 21 ）上存在极值，求实数 a 的取值范围 . 4.函数 f（ x） =31 e3x+me2x+（ 2m+1） ex+1 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是 5.函数 y=x3-2ax+a 在区间（ 0,1）内有极小值，则实数 a 的取值范围是 6.已知函数 f（ x） =x3-3ax-1， a 0. （）求 f（ x）的单调区间 （）若 f（ x）在 x=-1 处取得极值，直线
24、 y=m 与 y=f（ x）的图像有三个不同的交点，求 m的取值范围 . 7.设函数 f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点 x1， x2，且 x1 x2. ( )求 a 的取值范围，并讨论 f(x)的单调性；（）证明： f（ x2） 4 2ln21 . 导数专题五 知零点个数求参数范围 一 知识点睛： (1)函数 f（ x）零点 方程 f（ x） =0 的根 函数 f（ x）的图像与 x 轴交点的横坐标 函数 g（ x）与 h（ x）图像交点的横坐标（ f（ x） =g（ x） -h（ x） (2)零点存在性定 理 :如果函数 y=f（ x）在区间 a,b上的图像是连续不断的一条曲线，
25、并且有 f（ a） f（ b） 0，那么函数 y=f（ x）在区间（ a， b）内有零点，即存在 c（ a， b），使得 f（ c） =0，这个 c 也就是方程 f（ x） =0 的根 . 二 .方法点拨： 1.根据零点情况求参数的值或范围 （ 1） 数形结合法：将函数解析式（方程）适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差的等式，在同一坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性 ,周期性 ,奇偶性等性质及图像求解 . （ 2） 分离参数法：将参数分离，化为 a=g（ x）的形式，进而转化为求函数最 值的问题，对于解答题，这种解法还需要用零点存在性定理严格证明个数 . （ 3） 直
26、接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过不等式确定参数范围 . 2.解答题中零点存在区间端点的选取方法 在给定区间上寻找一个函数 g（ x），通过先证明 f（ x） g(x)(或 f（ x） g(x)），再求 g（ x）的零点 x0，或找到 x0 使 g（ x0) 0（或 g（ x0) 0）就得到 f（ x0） 0 （或 f（ x0） 0） 跟踪练习： 1.（ 2015 安徽）设 x3+ax+b=0，其中 a， b 均为实数 .下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 a=-3， b=-3 a=-3， b=2 a=-3， b 2 a=0， b=2 a=1， b=2 2.（ 2015
27、 新课标全国）设函数 f（ x） =ex（ 2x-1） -ax+a，其中 a 1，若存在唯一的整数 x0使得 f（ x0） 0，则 a 的取值范围是 A.- e23 ， 1） B.- e23 ， 43 ） C. e23 ， 43 ） D. e23 ， 1） 3.方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 4.（ 2013 年山东卷）设函数 f（ x） =xex2+c，（ 1）求 f（ x）的单调区间 .最大值（ 2）讨论关于 x 的方程 lnx =f（ x）根的个数 . 5.（ 2016 全国卷）已知函数 f（ x） =（ x-2） ex+a 2)
28、1( x . ( )讨论 f（ x）的单调性；（）若 f（ x）有两个零点，求 a 的取值范围 . 6.（ 2015 全国卷）已知函数 f（ x） =x3+ax+41， g（ x） =-lnx.（ 1）当 a 为何值时， x 轴为曲线 y=f（ x）的切线（ 2）用 min m,n表示 m， n 中的最小值，设函数 h（ x） = min f（ x） ,g（ x） （ x 0），讨论 h（ x）零点的个数 . 专题六 极值点偏移问题 一知识点睛 （ 1）产生原因：函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。 （ 2）极值点 x0 偏左：极值点附近图像左陡右缓， f（ x1） =
29、f（ x2)，则 x1+x2 2x0， x= 2 21 xx处切线与 x 轴不平行 若 f（ x）上凸（ f (x) 递减 ），则 f ( 2 21 xx ) f (x0)=0， 若 f（ x）下凸（ f (x) 递增 ），则 f ( 2 21 xx ) f (x0)=0 （ 3）极值点 x0 偏右：极值点附近图像左缓右陡 ， f（ x1） =f（ x2)，则 x1+x2 2x0， x= 2 21 xx处切线与 x 轴不平行 若 f（ x）上凸（ f (x) 递减 ），则 f ( 2 21 xx ) f (x0)=0， 若 f（ x）下凸（ f (x) 递增 ），则 f ( 2 21 xx )
30、 f (x0)=0 二，方法点睛 1.不含参的极值点偏移问题 方法一： 1.构造函数 F（ x） =f（ x） -f（ 2x0-x）（ x x0） 2.对函数 F（ x）求导，判断导数符号，确定 F（ x）的单调性 3.结合 F（ x0） =0，判断 F（ x）的符号，确定 f（ x）与 f（ 2x0-x）（ x x0）的大小关系 4.由 f（ x1） =f（ x2) f（ 2x0-x2），得 f（ x1） f（ 2x0-x2） 或者 由 f（ x1） =f（ x2) f（ 2x0-x2），得 f（ x1） f（ 2x0-x2） 5.结合 f(x)单调性得 x1 2x0-x2 或 x1 2x0-x2，从而 x1 +x2 2x0 或 x1 +x2 2x0 方法二：利用对数平均不等式 ab ba ba lnln 2ba （ a 0， b 0， a b） 指数平均不等式 e 2nm nm neme 2 neme 利用对数均值不等式证明极值点偏移问题，关键是通过变形得到三个式子： x1+x2， x1-x2， 21xx 方法三：引入一个变量 21xx =t，结合题目所给条件解出 x1、 x2，把所要证明的多变量不等式转化为单变量 t 的不等式，构造函数 g（ t），不等式变为 g（ t） 0 或者 g（ t） 0，求出 g（ t）的最值即得到证明 . 2.含有参数的极值点偏移问题
