1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学 参考公式：锥体的体积 13V Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在 答题卡相应位置上 1已知集合 0,1,2,8A ， 1,1,6,8B ，那么 AB 2若复数 z 满足 i 1 2iz ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 5函数 2( ) log 1f x x的定义域为 6某
2、兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 7已知函数 s in ( 2 )( )22yx 的图象关于直线3x 对称，则 的值是 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 22 1( 0 , 0)xy abab 的右焦点 (,0)Fc 到一条渐近线的距离为 32c，则其离心率的值是 9函数 ()fx满足 ( 4) ( )( )f x f x x R，且在区间 (2,2 上， c o s , 0 2 ,2()1| |, 2 0 ,2x xfxxx -则 ( (15)ff 的值为 10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的
3、多面体的体积为 11若函数 32( ) 2 1( )f x x ax a R在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 ()fx 在 1,1 上的最大值与最小值的和为 12在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 :2l y x 上在第一象限内的点， (5,0)B ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 0AB CD，则点 A 的横坐标为 13在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 120ABC ， ABC 的平分线交 AC 于 点 D，且 1BD ，则 4ac的最小值为 14已知集合 * | 2 1, A x x n n N， * | 2 , nB x x
4、n N将 AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na 记 nS 为数列 na 的前 n 项和，则使得 112nnSa 成立的 n 的最小值为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1 1 1 1,AA AB AB B C 求证：（ 1） 11AB ABC平 面 ；（ 2） 1 1 1ABB A A BC平 面 平 面 16 （本小题满分 14 分） 已知 ,为锐角， 4tan3， 5cos( )5 （ 1）求 cos2 的值；
5、（ 2）求 tan( ) 的值 17 （本小题满分 14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （ P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米 现 规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 内的地块形状为矩形 ABCD，大棚 内的地块形状为 CDP ，要求 ,AB均在线段 MN 上， ,CD均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （ 1）用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围； （ 2）若大棚 内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之
6、比为 4:3 求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 1(3, )2，焦点12( 3, 0), ( 3, 0)FF ，圆 O 的直径为 12FF （ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点若 OAB 的面积为 267， 求直线 l 的方程 19 （本小题满分 16 分） 记 ( ), ( )f x g x分别为函数 ( ), ( )f x g x
7、的导函数若存在 0xR ，满足 00( ) ( )f x g x 且 00( ) ( )f x g x ，则称 0x 为函数()fx与 ()gx的一个 “ S 点 ” （ 1）证明：函数 ()f x x 与 2( ) 2 2g x x x 不存在 “ S 点 ” ；（ 2）若函数 2( ) 1f x ax与 ( ) lng x x 存在 “ S 点 ” ，求实数 a 的值； （ 3）已知函数 2()f x x a ， e() xbgxx对任意 0a ，判断是否存在 0b ，使函数 ()fx 与 ()gx 在区间 (0, )内存在 “ S 点 ” ，并说明理由 20 （本小题满分 16 分） 设
8、 na 是首项为 1a ，公差为 d 的等差数列， nb 是首项为 1b ，公比为 q 的等比数列 （ 1）设 110, 1, 2a b q ，若 1|nna b b对 1,2,3,4n 均成立，求 d 的取值范围； （ 2）若 *11 0 , , (1, 2 ma b m q N，证明：存在 dR ，使得 1|nna b b对 2,3, , 1nm均成立，并求 d 的取值范围（用 1,bmq 表示） 数学试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题 5 分，共计 70 分 1 1， 8 2 2 3 90 4 8 5 2， +） 6 3107 68 2 9 2210
9、 4311 3 12 3 13 9 14 27 二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分14 分 证明： （ 1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB A1B1 因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB 平面 A1B1C （ 2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，因此 AB1 A1B 又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC又因为 A1BBC=B， A
10、1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC， 所以 AB1 平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1 平面 A1BC 16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分 14 分 解： （ 1）因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此， （ 2）因为 为锐角，所以 又因为 ，所以 ， 因此 因为 ，所以 ， 因此， 4tan 3 sintan cos 4sin cos322sin cos 1 2 9cos 25 2 7c o s 2 2 c o s 1 25 , (0,)5cos( ) 5 2 25s i n ( ) 1 c
11、o s ( ) 5 tan( ) 2 4tan 3 22 ta n 2 4ta n 2 1 ta n 7 t a n 2 t a n ( ) 2t a n ( ) t a n 2 ( ) 1 + t a n 2 t a n ( ) 1 1 17本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分 14 分 解： （ 1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH MN，所以 OH=10 过 O 作 OE BC 于 E，则 OE MN，所以 COE=， 故 OE=40cos， EC=40sin， 则矩形 ABCD 的面积为 24
12、0cos（ 40sin+10） =800（ 4sincos+cos）， CDP 的面积为 12240cos（ 4040sin） =1600（ cossincos） 过 N 作 GN MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10 令 GOK=0，则 sin0=14， 0 （ 0， 6） 当 0， 2）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是 14， 1） 答：矩形 ABCD 的面积为 800（ 4sincos+cos）平方米， CDP 的面积为 1600（ cossincos）， sin 的取值范围是 14， 1） （ 2）因为甲、乙两种蔬菜的单
13、位面积年产值之比为 4 3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（ k0）， 则年总产值为 4k800（ 4sincos+cos） +3k1600（ cossincos） =8000k（ sincos+cos）， 0， 2）设 f（ ） = sincos+cos， 0， 2）， 则 2 2 2( ) c o s s i n s i n (2 s i n s i n 1 ) (2 s i n 1 ) ( s i n 1 )f 令 ( )=0f ，得 =6， 当 （ 0， 6）时， ( )0f ，所以 f（ ）为增函数； 当 （ 6， 2）时， ( )0，设 32( )
14、3h x x x ax a 因为 ( 0) 0 (1 ) 1 3 2 0h a h a a ， ，且 h（ x）的图象是不间断的， 所以存在 0x （ 0， 1），使得 0( ) 0hx ，令03002e (1 )x xb x ，则 b0 函数 2 e( ) ( ) xbf x x a g xx ，则2e ( 1 )( ) 2 ( )xbxf x x g x x ， 由 f（ x） =g（ x）且 f（ x） =g（ x），得22ee ( 1)2xxbxaxbxxx ，即 0032 0030202 ee (1 )2 e ( 1 )2e (1 )xxxxxxaxxx xxxx （ *） 此时，
15、0x 满足方程组（ *），即 0x 是函数 f（ x）与 g（ x）在区间（ 0， 1）内的一个 “ S 点 ” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（ x）与 g（ x）在区间（ 0， +）内存在 “ S 点 ” 20 解：（ 1）由条件知： 因为 1|nna b b对 n=1， 2， 3， 4 均成立， 即 对 n=1， 2， 3， 4 均成立，即 1 1， 1 d 3， 3 2d 5， 7 3d 9，得 因此， d 的取值范围为 （ 2）由条件知： 若存在 d，使得 1|nna b b（ n=2， 3， ， m+1）成立， 即 ，即当 时， d 满足 因为 ，则 ，从而 ， ，对
16、均成立 因此，取 d=0 时， 1|nna b b对 均成立 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ） 当 时， ， 当 时，有 ，从而 因此，当 时，数列 单调递增，故数列 的最大值为 设 ，当 x0 时， ， 所以 单调递减，从而 f（ 0） =1当 时， ， 因此，当 时，数列 单调递减，故数列 的最小值为 因此， d 的取值范围为 112( ,) nnna n d b 1 1 2 |() 1| nnd 7532d75 , 32111( 1) , nnna b n d b b q 11 1 1 | 1 | 2 , 3 , ,( 1( ) )nb n d b q b n m 2,3,
17、, 1nm 11112nnqqb d b (1, 2mq 112nmqq 1 12 01nq bn 1 1 01nq bn 2,3, , 1nm2,3, , 1nm1 21nqn 11nqn 2,3, , 1nm2 nm 1 1 1 2 2 2 21 1 1()( ) ( )n n n n n n n nq q n q q n q n q q qn n n n n n 112mq 2nmqq 1() 2 0n n nn q q q 21nm 1 21nqn 1 21nqn 2mqm( ) ( )21xf x x ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x ()fx ()fx 2 n
18、m 11 1 1 12 1 11() ( ) ( )nnnqqnn fq n n nn 21nm 11nqn 11nqn mqm11( 2) , mmb q b q数学 (附加题 ) 21【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 41：几何证明选讲 (本小题满分 10 分 ) 如图，圆 O 的半径为 2， AB 为圆 O 的直径， P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 23PC ，求 BC 的长 B 选修 42：矩阵与变换 (本小
19、题满分 10 分 )已知矩阵 2312A （ 1）求 A 的逆矩阵 1A ； （ 2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 (3,1)P ，求点 P 的坐标 C 选修 44：坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分 ) 在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin( ) 26，曲线 C 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 D 选修 45：不等式选讲 (本小题满分 10 分 ) 若 x， y， z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 2 2 2x y z的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应
20、写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=AA1=2，点 P， Q 分别为 A1B1， BC 的中点 （ 1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （ 2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值 23 (本小题满分 10 分 ) 设 *nN ，对 1， 2， ， n 的一个排列 12nii i ，如果当 st 时，有 stii ，则称 (, )stii 是排列 12nii i 的一个逆序，排列 12nii i 的所有逆序的总个数称为其逆序数 例如：对 1， 2， 3 的一个排列 231，只有两个逆序
21、(2， 1)， (3， 1)，则排列 231 的逆序数为 2 记 ()nfk为 1， 2， ， n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数 （ 1）求 34(2), (2)ff的值； （ 2）求 (2)( 5)nfn 的表达式 (用 n 表示 ) 数学 (附加题 )参考答案 21【选做题】 A 选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明： 连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，所以 OC PC又因为 PC=23， OC=2， 所以 OP= 22PC OC =4又因为 OB=2，从而 B 为 Rt OCP 斜边的中点，所以 BC=2 B
22、 选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分 解： （ 1）因为 2312A， de t( ) 2 2 1 3 1 0 A ，所以 A 可逆，从而 1A 2312 （ 2）设 P(x， y)，则 2 3 31 2 1xy ，所以1 3311xy A，因此，点 P 的坐标为 (3， 1) C 选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分 解： 因为曲线 C 的极坐标方程为 =4cos， 所以曲线 C 的圆心为（ 2， 0），直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为 sin(
23、) 26，则直线 l 过 A（ 4， 0），倾斜角为 6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则 OAB=6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而 OBA=2，所以 4 cos 2 36AB 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 23 D 选修 45：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分 证明： 由柯西不等式，得 2 2 2 2 2 2 2( ) (1 2 2 ) ( 2 2 )x y z x y z 因为 2 2 =6x y z ，所以 2 2 2 4x y z ，当且仅当1 2 2x y z时，不等式取等号，此时 2
24、 4 43 3 3x y z ， ， 所以 2 2 2x y z的最小值为 4 22【 必做题 】 本小题主要考查空间向量 、 异面直线所成角和线面角等基础知识 ， 考查运用空间向量解决问题的能力 满分 10 分 解 ： 如图 ， 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中 ， 设 AC， A1C1 的中点分别为 O， O1， 则 OB OC， OO1 OC， OO1 OB，以 1,OB OC OO 为基底 ， 建立空间直角坐标系 Oxyz 因为 AB=AA1=2， 所以 1 1 10 , 1 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 ,1 , 0 , 0 , 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) (2
25、 , 3 , 0 , 2 , 0 ,1 , 2) ( )A B C A B C （ 1） 因为 P 为 A1B1 的中点 ， 所以 31( , ,2)22P ， 从而131( , , 2 ) (0 , 2 , 222 ),B P A C，故 11 1| | 1 4 | 3 1 0| c o s , | 20| | | | 5 2 2B P A CB P A C B P A C 因此 ， 异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 31020 （ 2） 因为 Q 为 BC 的中点 ， 所以 31( , ,0)22Q， 因此 33( , ,0)22AQ ， 11( 0 , 2 , 2 ) , (
26、 0 , 0 , 2 )A C C C 设 n=（ x， y， z） 为平面 AQC1 的一个法向量 ， 则10,0,AQACnn 即 330,222 2 0.xyyz 不妨取 ( 3, 1,1)n ， 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ， 则111| 25s i n | c o s |, | | | 552CCCC C C | nn n，所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 55 23【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分 10 分 解： （ 1）记 ()abc 为排列 abc 的逆序数，对 1， 2， 3 的所有排列，
27、有 ( 12 3 ) = 0 ( 13 2) = 1 ( 21 3 ) = 1 ( 23 1 ) = 2 ( 31 2) = 2 ( 32 1 ) =3 ， ， ， ， ，所以 3 3 3( 0 ) 1 (1) ( 2 ) 2f f f ， 对 1， 2， 3， 4 的排列，利用已有的 1， 2， 3 的排列，将数字 4 添加进去， 4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 4 3 3 3( 2 ) ( 2 ) (1 ) ( 0 ) 5f f f f （ 2）对一般的 n（ n4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个： 12n，所以 (0) 1nf 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n
28、 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 (1) 1nfn 为计算 1(2)nf ，当 1， 2， ， n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列， n+1 在新排列中的位置只能 是最后三个位置因此， 1 ( 2 ) ( 2 ) (1 ) ( 0 ) ( 2 )n n n n nf f f f f n 当 n5 时， 1 1 2 5 4 4( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n n n n nf f f f f f f f 24 2( 1 ) ( 2) 4 ( 2) 2nnn n f ， 因此， n5 时， (2)nf 2 22nn
