1、1用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学 朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式 当且仅 当 a = b 时， “=”号成立；，、 )(222 Rbaabba 当且仅 当 a = b 时， “=”号成立；，、 当且仅当 a = b = c 时,“= ”，、 )(333cbaabccba号成立； ,当且仅当 a = b = c 时,“= ”)(3 R、号成立.注： 注意运用均 值不等式求最 值时的条件：一“ 正”、二“ 定”、三“ 等”； 熟悉一个重要的不等式链： 。b
2、a122ab2二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例 1、求函数 的最小值。21()yxx解析： 2()yx21()()x21(1)2()xx，当且仅当 即 时， “=”号成311()352()x立，故此函数最小值是 。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：2 23(3)0)2yxx2sinco(0)2yx解析： ，, 23(3)0)()yxx，当且仅当 即 时， “=”号成立，故此函数最大值是3(2)1xx1
3、1。 ，则 ，欲求 y 的最大值，可先求 y2 的0,sin0,cosx y最大值。242sincoyx2i221(incos)xx,当且仅当 ，即31s4()7x s(0)tan2x时，不等式中的“ =”号成立，故此函数最大值是 。tan2xrc 239评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式 进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若 x、y ，求 的最小值。R4()fx)10(x解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，ba、 (0,1x函数 是减函数。4()fx证明：
4、任取 且 ，则12,(0,12x1212124()()()fxfxx，12()4xx 124) ， ，12010,x则 ，即 在 上是减函数。12()()()fxfff4()fx(0,1故当 时， 在 上有最小值 5。4x0,解法二：（配方法）因 ，则有 ，易知当 时， ()fx2()4x01x且单调递减， 则 在 上也是减函数，即20x2()4f0,1在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值 5。4()f(,11x()fx(,3解法三：（导数法）由 得 ，当 时， ，4()fx24()1fx(0,1x24()10fx则函数 在 上是减函数。故当 时， 在 上有最小4()fx0,1 )f,值
5、5。解法四：（拆分法） ，当且仅当4()fx)1(x3(x125时“=”号成立，故此函数最小 值是 5。1x评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特 别是单调性法、 导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实 用得方法。4、条件最值问题。例 4、已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。812xy解法一：（利用均值不等式）,当且仅当 即2xy816()20xyx1608yx816xy时“ =”号成立，故此函数最小 值是 18。1,3解法二：（消元法）由 得 ，由 则81xy8x0088xyx又 2y。当且仅当2()61162() 162()即 时“ =”号成立，故此函数最小值是 18。68
6、x1,3xy此 时解法三：（三角换元法）令 则有2sin1coxy28sin1coxy则 28sinx222222se8(ct)(1tan)08cotanxx，易求得 时“ =”号成立，故最小值是 18。10(ct)(a)x1,3xy此 时评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一8812()228yxy致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。xy、 xyxy解法一：由 ，则 ，即 解得0,x22()30xy4，当且 仅当 即 时取“ =”号，故 的13xyxy(舍 )或
7、3xy且 xyxy取值范围是 。9,又 ，当且2()2()4()102()6舍 或仅当 即 时取“= ”号，故 的取 值范围是3xy且 xyxy,解法二：由 ， 知 ，0,()31则 ，由 ，则：1yx01yxx，当223(1)5()4()5x42()591x且仅当 ，并求得 时取“=” 号，故 的取值范围是 。4031x即 3yy,)，34441()2(1)26yxxx当且仅当 ，并求得 时取 “=”号，故 的取值范围是1(0)3xx即 3yy。9,)三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项） 例 1 求函数22163yx的最小值. 分析：2263x是二 项“和”的形式，但
8、其 “积”的形式不为定值.而21可与 2相约，即其积为定积 1，因此可以先添、减项 6，即2263yx，再用均值不等式. 2222160,33()168yxxx解 ：5当且仅当22163()xx，即243时,等号成立. 所以 y的最小值是 86. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项） 例 2 已知 0,xy，且满足 321xy，求 lgxy的最大值. 分析 lgl(), 是二项“积”的形式，但不知其 “和”的形式xy是否定值， 而已知是 3x与 2y的和为定值 12，故应先配系数，即将 xy变形为
9、326xy，再用均值不等式. 220,3lgl()lg6131ll6gxyxy解 ：当且仅当 32xy，即 ,3xy时，等号成立. 所以 lgxy的最大值是 lg6. 评注 本题是已知和 为定值，要求 积的最大值，可逆用均值不等式，即利用2ab来解决. 3、 裂项 例 3 已知 1x，求函数521xy的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出 ，借助于裂项解决问题. 614110,4()52()59xxxy解 ：当且仅当 1x，即 1x时，取等号. 所以 min9y. 4、 取倒数 例 4 已知102x，求函数2()1xy的最小值. 分析 分母是 与 ()的积，可通过配系数，使它们的和为定值；
10、也可通过配系数，使它们的和为 (x (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由102x，得 0x，12x. 取倒数，得 22()331yx当且仅当312x，即15x时，取等号. 故 y的最小值是 . 5、 平方 例 5 已知 0,xy且283yx求 26xy的最大值. 分析 条件式中的 与 都是平方式，而所求式中的 x是一次式， y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 26y平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决. 72222(6)(6)3(1)1933()2yxyxyx解 ：当且仅当22(1)3yx，即 x，42y时，等号成立. 故 26xy的最
11、大值是9. 评注 本题也可将 x纳入根号内，即将所求式化为 26xy，先配系数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例 6 求函数25xy的最大值. 分析 可先令 t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 22,0,()10;12421=.32,.24xtxttytttttx解 ： 令 则当 时 ，当 时 ，当 且 仅 当 ， 即 时 ， 取 等 号所 以 时 取 最 大 值 为7、 逆用条件 例 7 已知19(0,)xy,则 xy的最小值是（ ） . 分析 直接利用均值不等式，只能求 的最小值，而无法求 xy的最8小值.这时可逆用条件，即由19xy，得19()x
12、y，然后展开即可解决问题. 190,()109216,4,2.xyxyxyx解 ： 由 ， 得当 且 仅 当 即 时 ， 等 号 成 立故 的 最 小 值 是评注 若已知 0,xy1x (或其他定 值) ，要求19xy的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组 合 例 8 若 ,0abc且 ()423abc,求 abc的最小值 . 分析 初看， 这是一个三元式的最值问题，无法利用 2ab+b 来解决.换个思路，可考虑将 2c重新组合，变成 ()，而()abc等于定值 43，于是就可以利用均值不等式了. 2,0,()2()43,1.223abcacbcaa解 ： 由 知 当 且 仅 当即 时 ，
13、等 号 成 立故 的 最 小 值 为9、 消元 例 9、设 ,xyz为正实数， 230xyz，则2yxz的最小值是. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32z，则可对2yxz进行消元，用 ,xz表示，即 变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 92223,0,96=,443,=3.xzxzyyzyxzyz解 ： 由 可 得当 且 仅 当 即 时 ， 取 “”故 的 最 小 值 为练习： 1、试填写两个正整数，满足条件 ，且使这两个正整数的41 和最小。2、试分别求： ； 最大值。21()xy1xy3、求 最小值。22log()l3总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。2011 年 1 月 2 日
