1、1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时 ,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt及 21xyz都平行且过原点的平面方程为_. 2z(4)设 L为取正向的圆周 29,则曲线积分 2(2)(4)Lxydxdy:= _.(5)已知三维向量空间的基底为 123(,0)(1,)(0,1)则向量(2,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxtdba
2、成立.三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufxyvgxy求 ,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,A=B其中301,4A求矩阵 .B四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) ()fx的导数存在,且 ()0fa(B) ()fx取得极大值(C) 取得极小值 (D) 的导数不存在(2)设 ()fx为已知连续函数 0,(),st
3、Ifxd其中 0,ts则 I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和 x(C)依赖于 、 ,不依赖于 s(D)依赖于 ,不依赖于 t(3)设常数 0k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 A的行列式 |0,a而 *A是 的伴随矩阵，则*|等于(A)a (B) 1a(C) 1n (D) n 六、（本题满分 10 分）求幂级数 112nnx:的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 3()0 zf绕 轴旋转一周而成的曲面 ,其法
4、向量与 y轴正向的夹角恒大于 .2 八、（本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间 0,1内,且 ()f1,证明在 (,)内有且仅有一个 使得 .x九、（本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 p现进行 n次独立试验,则 A至少发生一次的概率为_;而事件 至多发生一次的概率为 _.(2)有两个箱子,第
5、 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为 21()e,xf则 X的数学期望为_, 的方差为_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量 ,XY相互独立,其概率密度函数分别为 ()fx10 其, ()Yfy e0y,求 2Z的概率密度函数.1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、(本题共 3 小题,每
6、小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xffx且 ()0,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 yz的外侧,计算曲面积分333.Ixdzxd:二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21)lim()txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 2 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 x处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中 234,均为 4 维列向量,且已知行列式 1
7、则行列式 A= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 4y的一个解且 00(),(),fxf则函数()fx在点 0处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A) 124dv (B)
8、 124dvy(C) 12zz (D) 12xzxzdv (4)设幂级数 1()nnax在 1处收敛,则此级数在 处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使 120skk(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求22.uxy五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程 32e,xy其图
9、形在点 (0,1)处的切线与曲线 21在该点处的切线重合 ,求函数 ().y六、（本题满分 9 分）设位于点 (0,)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 M之间的距离 ),质点 沿直线 2yx自 ,)B运动到 (,)O求在此运动过程中质点 对质点 的引力所作的功.七、（本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.A八、（本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、（本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明:在 (,)ab内
10、存在唯一的 ,使曲线 ()yf与两直线 yf所围平面图形面积 1S是曲线()yfx与两直线 ,x所围平面图形面积 2S的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 1927则事件 在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,)内任取两个数,则事件”两数之和小于 5”的概率为_.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布 ,已知21()e,(.)0938uxd则 X落在区间 (9.5,10内的概率为_.十一、（本题满分 6 分）设随机
11、变量 的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量 31YX的概率密度函数 ().Yfy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2f则 0()(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10),fxftd则 ()fx=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 2,y则曲线积分2()Lxyds=_.(4)向量场 ivu在点 (1,0)P处的散度 divu=_.(5)设矩阵34,1AI则矩阵 1(2)AI=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给
12、出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时 ,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面 210,xyz则点的坐标是(A) (1,) (B) (1,) (C) 2(D) 2 (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B) 12123()cycy(C) 12123()cy(D) 12123() (4)设函数 ),0,fx而 1()sin,S
13、xbx其中102()sin,12,3nbfxd 则 1()2S等于(A)(B) 4 (C) 14 (D) (5)设 A是 n阶矩阵 ,且 的行列式 0,A则 中(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)()zfxygx其中函数 (ft二阶可导 ,()guv具有连续二阶偏导数,求 .(2)设曲线积分 2()cxydxy与路径无关,其中 ()x具有连续的导数,且(0),计算1,2(0)()xydxy的值.(3)计算三重积分 (),zd
14、v其中 是由曲面 2zxy与21zxy所围成的区域 .四、(本题满分 6 分)将函数 1(arctnxfx展为 的幂级数.五、(本题满分 7 分)设 0)si(),xfxtfd其中 f为连续函数,求 ().fx六、（本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exx在区间 (0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 13x24136x有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1) 1为 的特征值 .(2) A为 的伴随矩阵 *的特征值.九、（本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定球面 22(0
15、)xyza上,问当 R为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大 ?十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件 A的概率 ()0.5P随机事件 B的概率 ()0.6P及条件概率 (|)0.8,PB则和事件 B的概率 ()A=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量 在 (1,6)上服从均匀分布,则方程 210x有实根的概率是_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立,且 服从均值为 1、标准差 (均方差)为 2的正态分布,
16、而 Y服从标准正态分布 .试求随机变量 23ZXY的概率密度函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 4y垂直的平面方程是_.1zt(2)设 a为非零常数,则 lim()xxa=_.(3)设函数 ()f 10 ,则 (f=_.(4)积分 220eyxd的值等于 _.(5)已知向量组 1234(,34),(,5),(,6),(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx是连续函数 ,且 e()(),xFftd则 ()Fx等于(A) e(fx (B) e)(xff(C) )xf (D) (x (2)已知函数 (具有任意阶导数,且 2(),ff则当 n为大于 2 的正整数时 ,()fx的 n阶导数 ()nfx是(A) 1! (B) 1()nfx (C) 2()nfx (D) 2! (3)设 a为常数,则级数 21sin()a(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与 a的取值有关
