第七章 线性变换 习题答案.doc

第七章 线性变换3在中，证明：解题提示直接根据变换的定义验证即可证明 任取，则有，于是 4设是线性变换，如果，证明： 解题提示利用数学归纳法进行证明证明 当时，由于，可得，因此结论成立假设当时结论成立，即那么，当时，有，即对结论也成立从而，根据数学归纳法原理，对一切结论都成立特别提醒由可知，结论对也成立5证明：可逆映射是双射解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可证明 设是线性空间上的一个可逆变换对于任意的，如果，那么，用作用左右两边，得到，因此是单射；另外，对于任意的，存在，使得，即是满射于是是双射特别提醒由此结论可知线性空间上的可逆映射是到自身的同构 6设是线性空间的一组基，是上的线性变换，证明可逆当且仅当线性无关证法1若是可逆的线性变换，设，即而根据上一题结论可知是单射，故必有，又由于是线性无关的，因此从而线性无关反之，若是线性无关的，那么也是的一组基于是，